第五章變換法

第五章積分變換法§5.1Fourier變換定義和性質(zhì)

§5.2

Fourier變換應(yīng)用

§5.3Fourier變換解波動(dòng)方程§5.4Fouier變換解熱傳導(dǎo)方程一.

積分變換用可逆的積分運(yùn)算,把一函數(shù)轉(zhuǎn)變成另一函數(shù)選擇不同的積分域和積分核,就得到不同的積分變換，即Fourier變換和Laplace變換?！?.1Fourier變換定義和性質(zhì)記作：其中，f(x)

在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件：即只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極值，在上絕對(duì)可積。二.Fourier變換定義：傅立葉逆變換記作：當(dāng)

f(x)

連續(xù)時(shí)，有三:Fourier積分與Fourier逆變換設(shè)在R上絕對(duì)可積，且則可以展開為Fourier

級(jí)數(shù)其中連續(xù)、分段光滑令則可得到

f的復(fù)型

Fourier級(jí)數(shù)展開其中把系數(shù)代入復(fù)型

Fourier級(jí)數(shù)展開式假設(shè)f(x)在R上絕對(duì)可積，令有：記：即：例1.求函數(shù)的Fourier變換。例2.求函數(shù)的Fourier變換。三.Fourier變換性質(zhì):1.線性性質(zhì):

對(duì)于任意常數(shù)

2.微分性質(zhì)：

偏微分方程變常微分方程3.位移性質(zhì)

：4.相似性質(zhì)：5.積分性質(zhì)：6.導(dǎo)數(shù)性質(zhì)(對(duì)傅立葉變換求導(dǎo)數(shù))：7.卷積性質(zhì)：

例：設(shè)例3：設(shè)利用相似性質(zhì)，有

(1)卷積定義與運(yùn)算如果對(duì)于f(x)與g(x),使得存在，則定義f(x)與g(x)的卷積為證明§3用Fourier變換法解弦振動(dòng)Cauchy問(wèn)題：解：考慮到自變量的取值范圍，對(duì)x

進(jìn)行Fourier變換。設(shè)方程轉(zhuǎn)化為：特征方程和特征根為：根據(jù)Fourier變換微分性質(zhì):方程的解為：于是有：可得：將初始條件代入求積分常數(shù):故，方程的解為(無(wú)限長(zhǎng)弦的d’Alembert公式)：對(duì)上式關(guān)于λ作Fourier逆變換，可得：§4Fourier變換法解熱傳導(dǎo)方程：解：考慮到自變量的取值范圍，對(duì)x進(jìn)行傅立葉變換。設(shè)方程轉(zhuǎn)化為于是為了求出原方程的解,下面對(duì)關(guān)于進(jìn)行傅立葉逆變換.根據(jù)Fourier變換微分性質(zhì):回憶1(第一章)：1.2.3.4.方程化簡(jiǎn)，直接積分回憶2：方程簡(jiǎn)化3.變量替換：1.偏微分方程：2.特征方程與特征根：4.解方程：回憶2：例3.變量替換：1.偏微分方程：2.特征方程與特征根：4.解方程：例:解波動(dòng)方程3.變量替換：1.波動(dòng)方程：2.特征方程與特征根：4.解方程：5.利用初始條件解f1、f2：Fourier變換是一種把分析運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算的有效方法,但:1.Fourier變換要求原象函數(shù)在R上絕對(duì)可積，大部分函數(shù)不能作Fourier變換。2.Fourier變換要求函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上有定義，研究混合問(wèn)題時(shí)失效。第五章：復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一．名詞解釋：1.Fourier變換，F(xiàn)ourier逆變換；2.Fourier變換線性性質(zhì)；3.Fourier位移性質(zhì)；4.Fourier微分性質(zhì)；5.Fourier多項(xiàng)式性質(zhì)；6.Fourier積分性質(zhì)。二．簡(jiǎn)述Fourier變換法求解偏微分方程定解問(wèn)題的基本步驟

。三．簡(jiǎn)述Fourier變換存在的條件四.簡(jiǎn)述Fourier變換求解偏微分方程的不足之處。五.（1）用Fouri