電動力學(xué)鏡像法

電動力學(xué)鏡像法第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日1.

靜電場標(biāo)勢及其微分方程2.唯一性定理3.拉普拉斯方程分離變量法4.鏡像法5.格林函數(shù)6.電多級矩本章內(nèi)容：本章重點：本章難點：分離變量法（柱坐標(biāo)）、電多極子靜電勢及其特性、分離變量法、鏡象法第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日§2.1靜電勢及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialequationforelectrostaticfield一、靜電場的標(biāo)勢二、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系

三．靜電場的能量本節(jié)主要內(nèi)容第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日在靜止情況下，電場與磁場無關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的電場部分為靜電場的無旋性是它的一個重要特性，由于無旋性，我們可以引入一個標(biāo)勢來描述靜電場，和力學(xué)中用勢函數(shù)描述保守力場的方法一樣。一、靜電場的標(biāo)勢這兩方程連同介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決靜電問題的基礎(chǔ)。第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日無旋性的積分形式是電場沿任一閉合回路的環(huán)量等于零，即設(shè)C1和C2為P1和P2點的兩條不同路徑。C1與C2合成閉合回路，因此電荷由P1點移至P2點時電場對它所作的功與路徑無關(guān)，只和兩端點有關(guān)。第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日把單位正電荷由P1點移至P2點，電場E對它所作的功為這功定義為P1點和P2點的電勢差。若電場對電荷做了正功，則電勢下降。由此第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日由這定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，一點上的電勢的絕對數(shù)值是沒有物理意義的。但在實際計算中，為了方便，常常選取某個參考點，規(guī)定其上的電勢為零，這樣整個空間的電勢就單值地確定了。參考點的選擇是任意的，在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，常常選無窮遠點作為參考點。令()=0有第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日相距為dl的兩點的電勢差由于因此，電場強度E等于電勢的負梯度當(dāng)已知電場強度時，可以求出電勢；反過來，已知電勢φ時，通過求梯度就可以求得電場強度。第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日點電荷Q激發(fā)的電場強度r為源點到場點的距離。把此式沿徑向由場點到無窮遠點積分，電勢為下面來計算給定電荷分布所激發(fā)的電勢一組點電荷Qi激發(fā)的電勢若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ，設(shè)r為源點x'到場點x的距離，則場點x處的電勢為第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日二、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系電勢滿足的方程適用于均勻介質(zhì)

泊松方程

導(dǎo)出過程

拉普拉斯方程

適用于無自由電荷分布的均勻介質(zhì)第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日2．靜電勢的邊值關(guān)系(1)兩介質(zhì)分界面0

PQ電荷沿法線方向移動,切線分量不做功，沿法線方向做功為零（因電場有限，且間距趨于零）第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日導(dǎo)體的特殊性1、導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；2、導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；3、導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢面，整個導(dǎo)體的電勢相等。設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為σ，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為ε，導(dǎo)體表面的邊界條件為導(dǎo)體1自由電荷σε介質(zhì)2（2）導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日三．靜電場的能量一般方程：

能量密度

總能量

僅討論均勻介質(zhì)若已知

總能量為

導(dǎo)出過程：第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日討論：（1）適用于靜電場，線性介質(zhì)；（2）適用于求總能量；（3）不能把看成是電場能量密度，它只能表示能量與存在著電荷分布的空間有關(guān)。真實的靜電能量是以密度的形式在空間連續(xù)分布，場強大的地方能量也大，不僅在電荷分布區(qū)域內(nèi)；（4）中的是由電荷分布激發(fā)的電勢；（5）在靜電場中，電場決定于電荷分布，在場內(nèi)沒有獨立的運動，因而場的能量就由電荷分布所決定；（6）若全空間充滿了介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)，可以得到電荷分布ρ所激發(fā)的電場總能量式中r為與點的距離。第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日此題也可用高斯定理（積分形式）求解。

=

=

電荷分布在有限區(qū)，參考點選在無窮遠。根據(jù)對稱性，導(dǎo)體產(chǎn)生的場具有球?qū)ΨQ性，電勢也應(yīng)具有球?qū)ΨQ性。當(dāng)考慮較遠處場時，導(dǎo)體球可視為點電荷。滿足

例1：帶電Q的導(dǎo)體球（半徑為a）產(chǎn)生的電勢。第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日[例2]求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場總能量。解整個導(dǎo)體為等勢體,導(dǎo)體球的電荷分布于球面上因此靜電場總能量為方法之一:按電荷分布方法之二:按電場分布因為球內(nèi)電場為零，故只須對球外積分第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日[例3]求均勻電場的電勢。Solution:因為均勻電場中每一點強度相同，其電力線為平行直線，選空間任一點為原點，并設(shè)原點的電勢為。如果，oxpθy第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日

[例4]均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度的τ，求空間的電勢。場點pRozz'電荷源Solution:選取柱坐標(biāo)：源點的坐標(biāo)為（0,z），場點的坐標(biāo)為（R,0），電荷元到P點的距離無窮大的積分結(jié)果與電荷不是有限區(qū)域內(nèi)分布有關(guān)。計算兩點P和P0的電勢差可以不出現(xiàn)無窮大。設(shè)P0點與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則P點與P0點的電勢差為第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日若選P0為參考點（即），則第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日例題5:電偶極子產(chǎn)生的電勢P點電勢：（無窮遠為零點）構(gòu)成的系統(tǒng)，其偶極矩

求近似值：解：電偶極子：兩個相距為的同量異號點電荷同理

2222cos2coscos211RllRlrrrrrrqqq?-?-=--++--+Pzxy-QQ第二十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日若電偶極子放在均勻介質(zhì)中（無限大介質(zhì)）：