(整理)9廣義積分習(xí)題課

.第九章廣義積分習(xí)題課包括定義在內(nèi)的廣義積分的各種判別法都有特定的作用對(duì)象和原那么，定例1判斷廣義積分I=j+dx的斂散性。0xp+xq從結(jié)構(gòu)看，主要是分析分母中兩個(gè)因子的作用。jdxxp+xq21xp+xq對(duì)I，先討論簡(jiǎn)單情形。1p豐q，不妨設(shè)p<q，那么I=j1dx，故，p共0時(shí)為常義積分，10xp(1+xq-p)x)0+xp(1+x)0+xp(1+xq-p)112p豐q，不妨設(shè)p<q，那么I=j+wdx，由于21xq(1+xp-q)limxq=1x)+wxq(1+xp-q)222xm分析積分結(jié)構(gòu)中包含有正弦函數(shù)的因子，注意利用它的兩個(gè)特性：本身收斂性。注意驗(yàn)證積分片段有界性時(shí)的配因子方法。..x于xxmxmxmxm2x2x2x2x2xx2x2xsinxcosxxmxmxmxmxmxm2xm2xm2xm2xm2xmx2xmxI由于1x0+1x0+111.對(duì)I，2x)+w對(duì)I，2x)+wxm故I收斂。2x)+wxm故I發(fā)散。2esinxsin2x例4討論例4討論I0x0分析分段處理，對(duì)第一局部的無(wú)界函數(shù)廣義積分，是非負(fù)函數(shù)的廣義積解：記I=j1esinxsin2xdx，I=j+wesinxsin2xdx10x入21x入1x)0+x入1x)0+x入.1對(duì)I，由于22x21x入1x入1x入x入20因子中，較難處理12120111Ip<-1時(shí)I(p)時(shí)收斂，p之-1時(shí)I(p)發(fā)散，故q=0時(shí)，I發(fā)散。222qtxqa么qt對(duì)I=j1tasintdt，由于limtasint=1，故I與j1ta+1dt同時(shí)斂散。因而，10t)0+ta+1101I=j+wtasintdt，由于tasint元ta，故，a<-1時(shí)，I絕對(duì)收斂；當(dāng)22122n"02qqq注、此題的證明思想：過(guò)程：由易到難；矛盾集中，突出重點(diǎn)，抓住主要注、也可以用配因子法處理。0Lx」10Lx」I=j+w「|(1-sinx)dx。從被積函數(shù)結(jié)構(gòu)看，被積函數(shù)形式較為復(fù)雜，處理21Lx」的方法一般是通過(guò)階的分析，估計(jì)其速度，從而估計(jì)斂散性，并進(jìn)一步驗(yàn)證。.0對(duì)I，分析奇點(diǎn)附近被積函數(shù)的階。由于01sinx=x-x3+o(x3),sinx=1-x2+o(x2)，3!x3!對(duì)I2，對(duì)被積函數(shù)作階的分析，由于x充分大時(shí)x1，因此，利LxLx」對(duì)I，利用L’Hosptial法那么，1xx2limx1limx()3)()3)1xx0xx2xx3xx2x2x21x21xx2x21x21x收斂，故I條件收斂。2注、對(duì)復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)利用函數(shù)展開(kāi)理論判斷廣義積分的斂散性也是一個(gè)..ln(1+sin1)xsin1)0，故xaln(1+sin1)~sin1~1，xaxaxax2x2x3ln(1+sin1)~所以xa1，證明過(guò)程就是驗(yàn)證上述函數(shù)關(guān)系。~xln(1+sin1)ln(1+sin1)limxa+b一2.xa=limxxwxlncost)0lncostxI發(fā)散。下述的一個(gè)命題反映了判別斂散性的又一思想方法。21那么j+wf(x)dx與j+wf(x)g(x)dx同時(shí)斂散。aaaa.假設(shè)j+f(x)g(x)dx收斂，那么aj+f(x)dx＝j(luò)+f(x)g(x)1dxaag(x)仍有1單調(diào)且111>0，由Abel判別法，那么j+f(x)dx收斂。g(x)Cg(x)Ca12注、本命題結(jié)論非常簡(jiǎn)單，但命題中表達(dá)出來(lái)的思想非常有用。即在討論廣義積分的斂散性時(shí)，分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，抓住主要因素，解決主要矛盾，略去次要因素，即將一個(gè)復(fù)雜的廣義積分轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的廣義積分討論其斂散性。下面，通過(guò)一個(gè)例子，說(shuō)明例8的作用。xpsinx=xpqsinx1xq1+xq,由于1非負(fù)單調(diào)且111，因此，利用例8的結(jié)論，其與j+sinxdxxq1+xq21xqpaaaa.分析題目類(lèi)似極限的兩邊夾定理，但是條件較弱，證明思路是通過(guò)條件尋找它們之間的關(guān)系，利用性質(zhì)或定義或比擬法進(jìn)行判斷。證明：由所給的關(guān)系式，那么0g(x)f(x)h(x)f(x)，由條件和廣義積分性質(zhì)，那么(h(x)f(x))dx收斂，由比擬判別法，a(g(x)f(x))dx收斂，由于g(x)g(x)f(x)f(x)，再次利aa掉一些次要因素的影響，由此得到收斂性，表達(dá)了研究廣義積分收斂性的又一aax+x+aaaajwf(x)dx與j+wf(x)sin2xdx同時(shí)斂散。aa假設(shè)limf(x)＝b>0，此時(shí)j+wf(x)dx發(fā)散。由極限定義，存在A>a，使得x)+wa224A,8a例12討論I=j+wsinxdx的斂散性。2xp+sinxsinxsinxsin2xxpxpsinxxpxp(xp+sinx)xp22xp(xp+sinx)sin2xsin2xsin2xsin222xp(xp+sinx)2x2p2x2p22xp(xp+sinx)2x2p2x2p22p2xp+sinx22注、這類(lèi)題目的討論技巧性高，得到的結(jié)論也深刻。事實(shí)上，和j+wsinxdx2xp小。這也反映了廣義積分?jǐn)可⑿缘膹?fù)雜性。利用其本身有界和積分片段的有界性得到一些斂散性結(jié)論；但是，當(dāng)這個(gè)因子..即limxf(x)0x處在分母上時(shí)，其變號(hào)且非單調(diào)的性質(zhì)起到了很大的作用，從而影響到了廣義積分的斂散性。也即limxf(x)0x例13假設(shè)j+f(x)dx收斂，f(x)在[a,+)單調(diào)，那么f(x)=o(1)(x+)，ax橋梁為Cauchy收斂準(zhǔn)那么。因此，證明的關(guān)鍵就是如何從Cauchy片段A證明：設(shè)f(x)單調(diào)遞減，由j+f(x)dx收斂，那么f(x)0。由Cauchy收a存在充分大A>0，使得對(duì)任意A>A>A，成立0210AA2f(t)dtA1，對(duì)任意x>2A，0取A=x,A=x，那么212xxf(t)dt，x2xfx，x+0x0=x+.那么limxp1f那么limxp1f(x)0x0ax+xxtxt210例14設(shè)假設(shè)f(x)在[a,+)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(x)單調(diào)遞減趨于0xaa分析從要證明的結(jié)論看，建立兩個(gè)廣義積分的聯(lián)系的橋梁是分部積分法，Af(x)dxAf(x)dxaaaa決極限limxf(x)的存在性。x決極限limxf(x)的存在性。xax+.txf(x)x()dt(())xx(())fxtxf(x)x()dt(())xx(())fxaaaaaaaalimflimf(x)=0，下面利用j+xf(x)dx的收斂性研究極限ax+limxf(x)的存在性，由于ax+xxxftdtxftdtxxxax+aaaaaaalimf(x)dx0AA事實(shí)上，記f(x)dx＝I，那么a]limf(x)dxlim[IAf(x)dx0。]AAAaaa收斂，那么limf(x)=0x+.f(x)dx＝limAf(x)dxlim[f(A)f(a)]aAaAAax注、此例還說(shuō)明，對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成立的收斂性的必要條件對(duì)廣義積分并不成立，必須增加一定的條件才能保證其成立。1分析此題要求在兩種不同形式間進(jìn)行比擬，處理這類(lèi)問(wèn)題的思想方法是nn證明：由于f(x)0且f(x)在[1,)單調(diào)減少，故f(n)f(x)f(n1),x[n,n1]f(n)n1f(n)dxn1f(x)dxn1f(n1)dxf(n1)nnn故，故nf(k)n1f(x)dxf(k)，11.x)+wn)+waa證明：由limf(x)=0和limjnf(x)dx=A，那么對(duì)任意c>0，存在x)+wn)+waaa對(duì)任意M>N+1，存在nN，使得nM1aaaajMf(x)dx_A=jMf(x)dxaaaanaa下面給出幾個(gè)廣義積分的計(jì)算題目。關(guān)于廣義積分的計(jì)算，根本思路和方法是利用N-L公式、分部積分、極限分j+wf(x)dx收斂，那么I=j+wf(ax)_f(bx)dx=f(0)lnbAx0xa分析解題思想是將待計(jì)算的未知的積分轉(zhuǎn)化為的積分，手段是利用變量的是積分形式j(luò)+wf(x)dx，待計(jì)算的量是形式Axfax)f(bxfax)f(bx)0xdx，因此，可以利用極限將兩種形式，也將和未知的.xatxbtI=limj+f(ax)f(bx)dx=limjbf(x)dx0+x0+axI=limf()jb1dx=f(0)lnb。0+axa0xaa分析從證明的結(jié)論中可以發(fā)現(xiàn)所應(yīng)該采取的方法和手段，即應(yīng)該是選擇一個(gè)適宜的變換，使得ax+b=t2+4ab，從這一關(guān)系式中可以發(fā)現(xiàn)，變換不x證明：令axb=t，那么ax+b=t2+4abxx且x=1(t+t2+4ab),dx=1t+t2+4abdt，故a2at2+4ab0x2at2+4ab2a0t2+4ab又j0f(t2+4ab)t+t2+4abdt=j+f(t2+4ab)t2+4abtdt，tab0t2+4ab.x(taxx(taxtx0分析這類(lèi)題目是無(wú)法直接計(jì)算出來(lái)的，常用的技巧是分段，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，在兩個(gè)積分段之間尋找連續(xù)。解、由于j+lnxdxtj1lnxdx，而二者都收斂，故，I=j1lnxdx+j+lnxdx＝0。例21證明I=j+1dx(>0)與無(wú)關(guān)。0(1+x2)(1+x)1證明：由于j+1dxtj1tdt1(1+x2)(1+x)0(1+t2)(1+t)Ijdx+j+1dx=j11dt0(1+x2)(1+x)1(1+x2)(1+x)01+t2下面討論廣義積分和無(wú)窮和的極限的關(guān)系。00n+nnk=1證明:設(shè)f(x)在〔0，1]單調(diào)遞增，那么f(x)dx1f(k)(x)dx,k1nnknn00k1nnnnnkn1nknnlimnn!limelnn!limlnelnxdxe1nnnnatt0用條件，只需分段處理即可，即分別研究0AtAtlimfx)a，故存在M>0,使得x>M時(shí)，|f(x)a|1；又..0t)0000A0A00t)0000Aa0A