2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市吳中區(qū)、吳江區(qū)、相城區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市吳中區(qū)、吳江區(qū)、相城區(qū)九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相應(yīng)位置上。1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝±22．蘇州某地2022年十月國慶假期間每日最高溫度如表：日期1日2日3日4日5日6日7日氣溫（單位：℃）33383817121218則關(guān)于這組數(shù)據(jù)下列結(jié)果不正確的是（）A．極差是26 B．平均數(shù)是24 C．中位數(shù)是18 D．眾數(shù)是383．⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為2，若點(diǎn)P在⊙O外，則（）A．0＜r＜2 B．r＝2 C．r＞2 D．r≥24．如圖，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，則AB的長度為（）A．1 B．2 C．8 D．165．如圖，點(diǎn)C是半圓AOB的一點(diǎn)，連接CA，CO，CB，若∠OCA＝28°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．52° B．56° C．62° D．72°6．關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．必有兩個正根 C．必有兩個負(fù)根 D．必有一個實(shí)數(shù)根為x＝﹣17．一個容器盛滿純藥液63L；第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是28L，若設(shè)每次倒出液體為xL，則可列方程為（）A． B． C． D．8．如圖，⊙O的半徑為3，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)C作CD垂直AB于點(diǎn)D，若CD＝4，AC＝5，則BC長為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上.9．若x2+2x+m＝（x+1）2，則m＝．10．已知正六邊形的半徑是4，則這個正六邊形的周長為．11．圓錐的底面圓周長為2π，側(cè)面積為4π，則圓錐的母線長為．12．如圖，燃燒的蠟燭AB經(jīng)小孔O在屏幕上成像A′B′，設(shè)AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距離分別為32cm、20cm，則像A′B′的長是cm．13．a(chǎn)，b是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2b+b2a＝．14．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在△ABC中，D是邊BC的“黃金分割”點(diǎn)，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，則AC的長度是．15．如圖，四邊形OABC的三個頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，對角線AC，OB交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑是，且四邊形OABC是菱形，則圖中陰影部分的面積是．16．如圖，在矩形ABCD中，P是AD上的動點(diǎn)，連接BP，CP，若AD上存在三個不同位置的點(diǎn)P，使△ABP與△CDP相似，設(shè)，則d的取值范圍是．三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明.作圖時(shí)用2B鉛筆或黑色墨水筆字筆.17．解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x+3＝0．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)A，B，C，的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（0，1），C（2，0），先以原點(diǎn)O為位似中心在第三象限畫一個△A1B1C1使它與△ABC位似，且相似比2：1．（1）畫出△A1B1C1，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為；（2）求△A1B1C1的面積．19．已知一個數(shù)的平方與25的差等于這個數(shù)與5的和，求這個數(shù)．20．如圖，在邊長為2的等邊△OAB中，以點(diǎn)O為圓心畫弧，與AB邊相切于點(diǎn)C，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，求的長．21．“秋風(fēng)響，蟹腳癢”，正是食蟹好時(shí)節(jié)．某蟹農(nóng)在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，為趕在食蟹旺季前上市銷售，該蟹農(nóng)于九月中旬在蟹塘中隨機(jī)試捕了4次，獲得如下數(shù)據(jù)：數(shù)量/只平均每只蟹的質(zhì)量/g第1次試捕4166第2次試捕4167第3次試捕6168第4次試捕6170（1）四次試捕中平均每只蟹的質(zhì)量為g；（2）若蟹苗的成活率為75%，試估計(jì)蟹塘中蟹的總質(zhì)量為kg；（3）若第3次試捕的蟹的質(zhì)量（單位：g）分別為：166，170，172，a，169，167．①a＝；②求第3次試捕所得蟹的質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差．22．如圖，線段AD上有一點(diǎn)B，作BE∥AC，DE∥BC．（1）求證：△ABC∽△BDE；（2）若AD＝15，DE＝8，BC＝16，求AB的長度．23．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0，且k＞﹣1．（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，滿足x1﹣x2＝3，求k的值．24．如圖，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD?AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CD為直徑畫⊙O與AB交于點(diǎn)E．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若AD＝DO＝1，求BE的長度．25．如圖，一個邊長為8m的正方形花壇由4塊全等的小正方形組成．在小正方形ABCD中，點(diǎn)G，E，F(xiàn)分別在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五邊形EFBCG三個區(qū)域上種植不同的花卉，每平方米的種植成本分別是20元、20元、10元．（1）當(dāng)x＝2時(shí)，小正方形ABCD種植花卉所需的費(fèi)用；（2）試用含有x的代數(shù)式表示五邊形EFBCG的面積；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，大正方形花壇種植花卉所需的總費(fèi)用是715元？26．如圖1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求證：DE∥AB；（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三點(diǎn)共線，求∠DEB的度數(shù)．27．如圖，在⊙O中，AB為直徑，CD與AB交于點(diǎn)E，CD＝CB，過O點(diǎn)作OF∥CD，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：CO平分∠DCB；（2）若⊙O的半徑為6，CF＝4，求EC的長；（3）設(shè)＝k，△COE的面積為S1，△COF的面積為S2，△BOF的面積為S3，若S1?S3＝3S22，求k的值．

參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相應(yīng)位置上。1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝±2【分析】用直接開方法解方程即可．解：∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程﹣直接開方法，熟練掌握直接開方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．2．蘇州某地2022年十月國慶假期間每日最高溫度如表：日期1日2日3日4日5日6日7日氣溫（單位：℃）33383817121218則關(guān)于這組數(shù)據(jù)下列結(jié)果不正確的是（）A．極差是26 B．平均數(shù)是24 C．中位數(shù)是18 D．眾數(shù)是38【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，極差，即可做出判斷．解：國慶假期間每日最高溫度按從小到大的順序排列為12，12，17，18，33，38，38，中位數(shù)為18；平均數(shù)為（12+12+17+18+33+38+38）÷7＝24；眾數(shù)為12和38；極差為38﹣12＝26；所以A、B、C正確，D錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了極差，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，熟練掌握各自的求法是解本題的關(guān)鍵．3．⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為2，若點(diǎn)P在⊙O外，則（）A．0＜r＜2 B．r＝2 C．r＞2 D．r≥2【分析】根據(jù)點(diǎn)P在圓外?d＞r作出判斷即可．解：∵點(diǎn)P在⊙O外，∴r＜d，∵⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為2，∴0＜r＜2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．4．如圖，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，則AB的長度為（）A．1 B．2 C．8 D．16【分析】利用相似三角形的面積間的關(guān)系確定相似比，從而求得結(jié)論．解：∵△ABC∽△A1B1C1，，∴面積比為4：1，∴相似比為2：1，∵A1B1＝4，∴AB＝2A1B1＝8，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，了解相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．5．如圖，點(diǎn)C是半圓AOB的一點(diǎn)，連接CA，CO，CB，若∠OCA＝28°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．52° B．56° C．62° D．72°【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠A，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣28°＝62°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．必有兩個正根 C．必有兩個負(fù)根 D．必有一個實(shí)數(shù)根為x＝﹣1【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4（m﹣2）2≥0，進(jìn)而可得出原方程有兩個實(shí)數(shù)根，再利用因式分解法解原方程，即可得出結(jié)論．解：∵a＝1，b＝2m，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣2）2≥0，∴原方程有兩個實(shí)數(shù)根．∵x2+2mx+2m﹣1＝0，∴（x+1）[x+（2m﹣1）]＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1﹣2m，∴原方程必有一個實(shí)數(shù)根為x＝﹣1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法，求出原方程的兩個實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．7．一個容器盛滿純藥液63L；第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是28L，若設(shè)每次倒出液體為xL，則可列方程為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)每次倒出液體xL，則第一次倒出后容器內(nèi)剩下純藥液（63﹣x）L，加滿水后藥液的濃度為，利用第二次倒出后容器內(nèi)剩下純藥液的數(shù)量＝第二次倒出后容器內(nèi)剩下藥液的數(shù)量×此時(shí)藥液的濃度，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．解：設(shè)每次倒出液體xL，則第一次倒出后容器內(nèi)剩下純藥液（63﹣x）L，加滿水后藥液的濃度為，依題意得＝28，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，⊙O的半徑為3，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)C作CD垂直AB于點(diǎn)D，若CD＝4，AC＝5，則BC長為（）A． B． C． D．【分析】連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠E＝∠A，∠EBC＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：連接CO并延長交⊙O于E，連接BE，則∠E＝∠A，∠EBC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠EBC＝90°，∴△ACD∽△ECB，∴＝，∴＝，∴BC＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上.9．若x2+2x+m＝（x+1）2，則m＝1．【分析】應(yīng)用完全平方公式把等號右邊展開，便可求得m的值．解：∵x2+2x+m＝（x+1）2，∴x2+2x+m＝x2+2x+1，∴m＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．10．已知正六邊形的半徑是4，則這個正六邊形的周長為24．【分析】根據(jù)正六邊形的半徑可求出其邊長為4，進(jìn)而可求出它的周長．解：正六邊形的半徑為4，則邊長是4，因而周長是4×6＝24．故答案為：24．【點(diǎn)評】此題主要考查了正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，正六邊形的半徑與邊長相等是需要熟記的內(nèi)容．11．圓錐的底面圓周長為2π，側(cè)面積為4π，則圓錐的母線長為4．【分析】直接利用扇形的面積公式列式求得母線長即可．解：設(shè)母線長為R，根據(jù)S扇形＝lR得：4π＝×2πR，解得：R＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，弧長為圓錐的底面周長，難度不大．12．如圖，燃燒的蠟燭AB經(jīng)小孔O在屏幕上成像A′B′，設(shè)AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距離分別為32cm、20cm，則像A′B′的長是cm．【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．解：由題意可得：△ABO∽△A′B′O，則＝＝，解得：A′B′＝．答：像A′B′的長為cm，故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．a(chǎn)，b是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2b+b2a＝4．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，可得出a+b＝4，ab＝1，再將其代入a2b+b2a＝ab（a+b）中即可求出結(jié)論．解：∵a，b為一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴a+b＝4，ab＝1，∴a2b+b2a＝ab（a+b）＝1×4＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，將a2b+b2a變形為ab（a+b）是解題的關(guān)鍵．14．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在△ABC中，D是邊BC的“黃金分割”點(diǎn)，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，則AC的長度是+1．【分析】過A作AE⊥BD于E，由黃金分割的定義得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性質(zhì)得BE＝DE＝，則CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解決問題．解：如圖，過A作AE⊥BD于E，∵D是邊BC的“黃金分割”點(diǎn)，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案為：+1．【點(diǎn)評】本題考查的是黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，比值叫做黃金比．15．如圖，四邊形OABC的三個頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，對角線AC，OB交于點(diǎn)D，若⊙O的半徑是，且四邊形OABC是菱形，則圖中陰影部分的面積是2π．【分析】根據(jù)四邊形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等邊三角形，根據(jù)S△ADB＝S△OCD，所以圖中陰影部分的面積＝S扇形COB．解：∵四邊形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴圖中陰影部分的面積＝S扇形COB＝＝2π．故答案為：2π．【點(diǎn)評】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在矩形ABCD中，P是AD上的動點(diǎn)，連接BP，CP，若AD上存在三個不同位置的點(diǎn)P，使△ABP與△CDP相似，設(shè)，則d的取值范圍是0＜d＜．【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)列出方程，即可求解．解：當(dāng)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，則AP＝PD，∴，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABP∽△DCP，當(dāng)點(diǎn)P不是AD的中點(diǎn)時(shí)，若，∠A＝∠D＝90°，則△ABP∽△DPC，∴，∴AB2﹣BC?AP+AP2＝0∵AD上存在三個不同位置的點(diǎn)P，∴Δ＞0，∴BC2﹣4AB2＞0，∴0＜＜，∴0＜d＜，故答案為：0＜d＜．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，列出方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明.作圖時(shí)用2B鉛筆或黑色墨水筆字筆.17．解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x+3＝0．【分析】（1）方程利用直接開平方法求解即可；（2）先把常數(shù)項(xiàng)3移到方程右邊，再把方程兩邊加上3，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．解：（1）（x﹣1）2﹣9＝0，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，解得x1＝4，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x+3＝0，x2﹣2x＝﹣3，x2﹣2x+3＝﹣3+3，＝0，∴．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法以及解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1的正方形，點(diǎn)A，B，C，的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（0，1），C（2，0），先以原點(diǎn)O為位似中心在第三象限畫一個△A1B1C1使它與△ABC位似，且相似比2：1．（1）畫出△A1B1C1，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）；（2）求△A1B1C1的面積．【分析】（1）利用位似變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．故答案為：（﹣2，﹣4）；（2）△A1B1C1的面積＝4×4﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×2＝6．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣位似變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，學(xué)會用割補(bǔ)法求三角形面積．19．已知一個數(shù)的平方與25的差等于這個數(shù)與5的和，求這個數(shù)．【分析】設(shè)這個數(shù)是x，根據(jù)一個數(shù)的平方與25的差等于這個數(shù)與5的和，列一元二次方程求解即可．解：設(shè)這個數(shù)是x，根據(jù)題意得x2﹣25＝x+5，即x2﹣x﹣30＝0，解得x1＝6，x2＝﹣5．所以這個數(shù)是6或﹣5．【點(diǎn)評】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確找出題目中的相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．20．如圖，在邊長為2的等邊△OAB中，以點(diǎn)O為圓心畫弧，與AB邊相切于點(diǎn)C，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，求的長．【分析】連接AC，由⊙O與AB相切于點(diǎn)C，可知∠ACO＝90°，而△OAB是邊長為2等邊三角形，則OA＝AB＝2，∠DOE＝60°，所以O(shè)A＝1，根據(jù)勾股定理求得OC＝，即⊙O的半徑長為，而所對的圓心角為60°，即可根據(jù)弧長公式求出的長．解：如圖，連接AC，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)C，∴AB⊥OC，∴∠ACO＝90°，∵△OAB是邊長為2等邊三角形，∴OA＝AB＝2，∠DOE＝60°，∴AC＝BC＝AB＝1，∴OC＝＝＝，∴＝＝，∴的長是．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、弧長的計(jì)算等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．21．“秋風(fēng)響，蟹腳癢”，正是食蟹好時(shí)節(jié)．某蟹農(nóng)在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，為趕在食蟹旺季前上市銷售，該蟹農(nóng)于九月中旬在蟹塘中隨機(jī)試捕了4次，獲得如下數(shù)據(jù)：數(shù)量/只平均每只蟹的質(zhì)量/g第1次試捕4166第2次試捕4167第3次試捕6168第4次試捕6170（1）四次試捕中平均每只蟹的質(zhì)量為168g；（2）若蟹苗的成活率為75%，試估計(jì)蟹塘中蟹的總質(zhì)量為151.2kg；（3）若第3次試捕的蟹的質(zhì)量（單位：g）分別為：166，170，172，a，169，167．①a＝164；②求第3次試捕所得蟹的質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差．【分析】（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的公式列式計(jì)算即可；（2）先求出成活蟹的只數(shù)，再根據(jù)總質(zhì)量＝平均質(zhì)量×總只數(shù)列式計(jì)算即可；（3）①根據(jù)平均數(shù)的定義列式計(jì)算即可；②根據(jù)方差公式計(jì)算即可．解：（1）四次試捕中平均每只蟹的質(zhì)量為＝168（g）．故答案為：168；（2）∵蟹苗的成活率為75%，∴成活蟹的只數(shù)為1200×75%＝900（只），∴估計(jì)蟹塘中蟹的總質(zhì)量為168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．故答案為：151.2；（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，∴a＝164．故答案為：164；②S2＝×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．即第3次試捕所得蟹的質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差為7．【點(diǎn)評】本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．也考查了加權(quán)平均數(shù)以及利用樣本估計(jì)總體．22．如圖，線段AD上有一點(diǎn)B，作BE∥AC，DE∥BC．（1）求證：△ABC∽△BDE；（2）若AD＝15，DE＝8，BC＝16，求AB的長度．【分析】（1）由BE∥AC，得∠A＝∠EBD，由DE∥BC，得∠ABC＝∠D，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△ABC∽△BDE；（2）由△ABC∽△BDE，得＝＝2，則AB＝2（15﹣AB），得AB＝10．【解答】（1）證明：∵BE∥AC，∴∠A＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠D，∴△ABC∽△BDE．（2）解：∵AD＝15，DE＝8，BC＝16，∴BD＝15﹣AB，∵△ABC∽△BDE，∴＝＝＝2，∴AB＝2BD，∴AB＝2（15﹣AB），∴AB＝10，∴AB的長度為10．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地找到相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明∠A＝∠EBD，∠ABC＝∠D，是解題的關(guān)鍵．23．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0，且k＞﹣1．（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，滿足x1﹣x2＝3，求k的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝4+4k，再結(jié)合k＞﹣1，可得出4+4k＞0，即Δ＞0，進(jìn)而可證出方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k，結(jié)合x1﹣x2＝3，即可得出關(guān)于k的無理方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出k的值．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝2，c＝﹣k，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝4+4k，又∵k＞﹣1，∴4+4k＞0，即Δ＞0，∴方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k，又∵x1﹣x2＝3，即＝3，∴＝3，解得：k＝，經(jīng)檢驗(yàn)，k＝是原方程的解，且符合題意，∴k的值為．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”．24．如圖，Rt△ABC中∠BCA＝90°，AE2＝AD?AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CD為直徑畫⊙O與AB交于點(diǎn)E．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若AD＝DO＝1，求BE的長度．【分析】（1）連接OE，則∠OEC＝∠ACE，再證明△ADE∽△AEC，得∠AED＝∠ACE，則∠AED＝∠OEC，所以∠OEA＝∠AED+∠OED＝∠OEC+∠OED＝90°，即可證明AB是⊙O的切線；（2）由AD＝DO＝OC＝1，得AC＝3，則AE2＝AD?AC＝3，所以AE＝，再證明△AOE∽△ABC，求得BC＝3，即可根據(jù)切線長定理求得BE＝BC＝3．【解答】（1）證明：連接OE，則OE＝OD＝OC，∴∠OEC＝∠ACE，∵AE2＝AD?AC，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEC，∴∠AED＝∠ACE，∴∠AED＝∠OEC，∵CD是⊙O的直徑，∴∠OEA＝∠AED+∠OED＝∠OEC+∠OED＝∠CED＝90°，∵AB經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端，且AB⊥OE，∴AB是⊙O的切線．（2）解：∵AD＝DO＝OC＝OE＝1，∴AC＝3，∴AE2＝AD?AC＝1×3＝3，∴AE＝，∵∠OEA＝∠BCA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC，∴＝，∴BC＝＝＝3，∵OC是⊙O的半徑，且CB⊥OC，∴BC是⊙O的切線，∴BE＝BC＝3，∴BE的長度是3．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查圓的切線的判定、切線長定理、直角所對的圓周角等于90°、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．25．如圖，一個邊長為8m的正方形花壇由4塊全等的小正方形組成．在小正方形ABCD中，點(diǎn)G，E，F(xiàn)分別在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五邊形EFBCG三個區(qū)域上種植不同的花卉，每平方米的種植成本分別是20元、20元、10元．（1）當(dāng)x＝2時(shí)，小正方形ABCD種植花卉所需的費(fèi)用；（2）試用含有x的代數(shù)式表示五邊形EFBCG的面積；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，大正方形花壇種植花卉所需的總費(fèi)用是715元？【分析】（1）當(dāng)x＝2時(shí)，可分別求出△AEF和△DFG的面積，再得到五邊形EFBCG的面積，再根據(jù)種植成本可得出花卉所需的費(fèi)用；（2）設(shè)AE＝AF＝x米，則DF＝（4﹣x）米．先求出△AEF和△DFG的面積，再得到五邊形EFBCG的面積，（3）根據(jù)正方形花壇種植花卉所需的總費(fèi)用是715元列出方程，解方程即可．解：（1）若x＝2，則DE＝2，∴S△AEF＝AE×AF＝2，S△DFG＝DG×DF＝×1×2＝1，∴S五邊形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣×4﹣2+×1＝13．∴所需費(fèi)用為：20×2+20×1+10×13＝190（元）；（2）設(shè)AE＝AF＝x米，則DF＝（4﹣x）米．∴S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DFG＝DG×DF＝×1×（4﹣x）＝2﹣x，∴S五邊形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣x2﹣2+x＝﹣x2+x+14，（3）根據(jù)題意得4×[20×x2+20×（2﹣x）+10×（﹣x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2＝．答：當(dāng)AE＝AF＝米時(shí)，正方形花壇種植花卉所需的總費(fèi)用是715元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．26．如圖1，在直角△ABC中∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，△ABC∽△DEC，AC＝2，BC＝4．（1）求證：DE∥AB；（2）如圖2，將△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AD，BE．①求的值；②若A，D，E三點(diǎn)共線，求∠DEB的度數(shù)．【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)，