建筑力學(xué)講義之應(yīng)力和變形

PAGEPAGE1067應(yīng)力和變形7.1軸心拉壓桿的應(yīng)力和變形7.1.1截面上一點處的應(yīng)力內(nèi)力在一點處的集度稱為應(yīng)力平均應(yīng)力：②全應(yīng)力（總應(yīng)力）：垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”：位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”：7.1.2軸心拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1.變形規(guī)律試驗及平面假設(shè)：變形前aabcd受載后PPPd′a′c′b′平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。縱向纖維變形相同。均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布。2.拉伸應(yīng)力：N(x)P軸力引起的正應(yīng)力——s：在橫截面上均布。3.危險截面及最大工作應(yīng)力：危險截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應(yīng)力最大的點。例7-4三角形支架如圖所示，AB為圓截面鋼桿，直徑d=30mm，AC為正方形木桿，邊長a=100mm，已知荷載FP=50kN，求各桿的工作應(yīng)力。FNAC=-100FNAC=-100kNCAB30°FPA30°FNABFNAC50kNFNAB=86.6kN（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）7.1.3軸心拉（壓）桿的應(yīng)變與變形lll1aa1縱向變形:⊿l=l1-l橫向變形:⊿a=a-a1桿件的縱向變形量⊿l或橫向變形量⊿a，只能表示桿件在縱向或橫向的總變形量，不能說明桿件的變形程度。單位長度的縱向變形ε稱為縱向線應(yīng)變，簡稱線應(yīng)變。ε的正負(fù)號與⊿l相同，拉伸時為正值，壓縮時為負(fù)值；ε是一個無量綱的量。單位長度的橫向變形、ε′稱為橫向線應(yīng)變。ε′的正負(fù)號與⊿a相同，壓縮時為正值，拉伸時為負(fù)值；ε′也是一個無量綱的量。二、泊松比ε與ε′正負(fù)相反。通過實驗表明：當(dāng)軸向拉（壓）桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向線應(yīng)變ε′與縱向線應(yīng)變ε的比值的絕對值為一常數(shù)，通常將這一常數(shù)稱為泊松比或橫向變形系數(shù)。用μ表示。三、胡克定律7.2扭轉(zhuǎn)軸的應(yīng)力和變形7.2.1剪應(yīng)力互等定理、剪切虎克定律剪應(yīng)力互等定理：該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因g無量綱，故G的量綱與t相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。7.2.2圓截面扭轉(zhuǎn)軸橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：橫截面上距圓心為r處任一點剪應(yīng)力計算公式對于實心圓截面：對于空心圓截面：確定最大剪應(yīng)力：Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：7.2.3圓截面扭轉(zhuǎn)軸橫截面上的變形：一、扭轉(zhuǎn)時的變形二、單位扭轉(zhuǎn)角q：GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。7.3平面彎曲梁的應(yīng)力7.3.1純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。=EzIyMy正應(yīng)力公式的使用條件：(1)梁產(chǎn)生純彎曲。(2)正應(yīng)力不超過材料的比例極限二、橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力=zIyxM)(三、梁的正應(yīng)力強度計算1.梁的最大正應(yīng)力max]≤[2.梁的正應(yīng)力強度條件max]≤[3.梁的正應(yīng)力強度在工程中的應(yīng)用(1)正應(yīng)力強度校核(2)設(shè)計截截面(3)確定許許用荷載例T形截面外伸梁如如圖，已知知：荷載FFP1=440kN，F(xiàn)P2=115kN，材料的的彎曲許用用應(yīng)力分別別為[σt]=445MPaa，[σc]=1175MPPa，截面對對中性軸的的慣性矩Iz=55.73××10-66m4，下邊緣緣到中性軸軸的距離yy1=722mm，上邊緣緣到中性軸軸的距離yy2=388mm，其它尺尺寸如圖。試試校核該梁梁的強度。解(1))求梁在圖圖示荷載作作用下的最最大彎maxmaxM=3kN·m；B截面上彎矩取得得最大負(fù)值值，MB==4.5kN·mmaxMC截面上彎矩取得得最大正=4.5kN·mmaxM(2)校核梁梁的正應(yīng)力力強度。B截面上邊緣產(chǎn)生生最大拉應(yīng)應(yīng)力，下邊邊緣產(chǎn)生最最大壓應(yīng)力力。=19.9MPa=19.9MPa＜[σt]MPa=37.7MPa＜[c]B截面滿足正應(yīng)力力強度條件件。C截面上邊緣產(chǎn)生生最大壓應(yīng)應(yīng)力，下邊邊緣產(chǎn)生最最大拉應(yīng)力力。MPa=29.8MPaMPa=29.8MPa＜[бc]MPa=56.5MPa＞[t]C截面不滿足正應(yīng)應(yīng)力強度條條件。該梁的正應(yīng)力強強度不滿足足要求7.4平面彎彎曲梁的變變形7.4.1平面彎曲曲梁的變形形1.撓度：橫截面形形心沿垂直直于軸線方方向的線位位移。用vv表示。與f同向為為正，反之之為負(fù)。2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞繞其中性軸軸轉(zhuǎn)動的角角度。用qq表示，順順時針轉(zhuǎn)動動為正，反反之為負(fù)。7.4.2梁的撓曲曲線近似微微分方程小變形小變形式（2）就是撓曲線近近似微分方方程。對于等截面直梁梁，撓曲線線近似微分分方程可寫寫成如下形形式：7.4.3用積分法法求梁的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角和撓度度對于等截面直梁梁，抗彎剛剛度為常數(shù)數(shù)，M(x)通常為x的函數(shù)，將將式（7-9）兩邊積積分一次可可得到轉(zhuǎn)角角方程。（7-9）再積分一次，得得到梁的撓撓曲線方程程積分式中出現(xiàn)的的積分常數(shù)數(shù)C、D可通過梁梁的邊界條條件確定。所所謂邊界條條件是指：：梁產(chǎn)生彎彎曲變形時時撓曲線上上由變形相相容條件確確定的一些些已知位移移條件。用積分法計算梁梁的轉(zhuǎn)角和和撓度時基基本步驟是是：⑴建立坐標(biāo)系，列列出梁的彎彎矩方程。⑵對應(yīng)各梁段的彎彎矩方程，列列出撓曲線線近似微分分方程，并并進(jìn)行積分分。⑶利用邊界條件確確定積分常常數(shù)。⑷確定轉(zhuǎn)角方程和和撓曲線方方程，并按按要求計算算指定截面面的轉(zhuǎn)角和和撓度或求求最大轉(zhuǎn)角角、最大撓撓度等。例圖示簡支支梁受滿跨跨向下均布布荷載q作用，已已知梁為等等截面直梁梁，在全梁梁范圍內(nèi)抗抗彎剛度為為常數(shù)，試試求A、B支座處的的轉(zhuǎn)角及梁梁的最大撓撓度。解(1)建建立圖示坐坐標(biāo)，并列列梁的彎矩矩方程彎矩方程為(2)