2020版高中數(shù)學第三章導數(shù)其應用312瞬時速度與導數(shù)學案新人教B版

剎時速度與導數(shù)學習目標化率就是導數(shù)

1.理解從均勻變化率過渡到剎時變化率的過程.3.掌握函數(shù)在某一點處的導數(shù)的定義．

.2.

認識導數(shù)的觀點，知道剎時變知識點一剎時變化率1．物體運動的剎時速度設物體運動的行程與時間的關系是s＝f(t)，當t0到t0＋t時，當t趨近于0時，函數(shù)f(t)在t00ft0＋t－ft0趨近于常數(shù)，這個常數(shù)稱為0時刻到t＋t的均勻變化率tt的剎時速度．2．函數(shù)的剎時變化率設函數(shù)y＝f(x)在x0鄰近有定義，當自變量在x＝x0鄰近改變x時，函數(shù)值相應地改變y＝f(x0＋x)－f(x0)，假如當fx0＋x－fx0x趨近于0時，均勻變化率趨近于一x個常數(shù)l，則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的剎時變化率．知識點二函數(shù)的導數(shù)1．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的剎時變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y|x＝x0fx0＋x－fx0，即f′(x0)＝limx.x→02．導函數(shù)定義假如f(x)在開區(qū)間(a，)內每一點x導數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，)可導，這樣，對開bb區(qū)間(a，b)內每個值x，都對應一個確立的導數(shù)f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內f′(x)組成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)．記為f′(x)(或yx′、y′)．3．函數(shù)y＝(x)在點x0處的導數(shù)f′(0)就是導函數(shù)f′( )在點x＝0處的函數(shù)值，即′(0)fxxxfxfx|x＝x0.1．函數(shù)在某一點處的導數(shù)即是函數(shù)在該點處的剎時變化率．(√)2．均勻變化率刻畫函數(shù)在區(qū)間上的變化的快慢，剎時變化刻畫的是函數(shù)在某一點處的變化情況．(√)3．f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是導數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．(√)題型一求函數(shù)在某一點處的導數(shù)例1求y＝x2在點x＝1處的導數(shù)．解y＝(1＋x)2－12＝2x＋(x)2，y2x＋x2＝2＋x，＝xx∴l(xiāng)imy＝lim(2＋xxx→0x→0反省感悟求函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的步驟求函數(shù)的增量y＝f(x0＋x)－f(x0)；(2)求均勻變化率y＝fx0＋x－fx0x；x(3)取極限，得導數(shù)yf′(x0)＝lim.x→0x追蹤訓練1fx0＋x－fx0(1)若limx＝k，x→0fx0＋2·x－fx0等于()則limxx→0A．2kB．k1C.2kD．以上都不是答案Afx＋2·x－fx0分析lim0x，x→0fx＋2·x－fx0＝2lim0＝2k.2·x2x→0求y＝2x2＋4x在點x＝3處的導數(shù)．解y＝2(3＋x)2＋4(3＋x)－(2×32＋4×3)2(x)2＋16x，yx＝2x＋16，limy＝lim(2x＋16)＝16，x→0xx→0因此y′|x＝3＝16.題型二求物體運動的剎時速度例2某物體的運動行程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的剎時速度．解∵s＝s＋t－stt＋t2＋＋t＋1－2＋1＋＝t＝3＋t，∴l(xiāng)ims＝lim(3＋t)＝3.t→0tt→0∴物體在t＝1處的剎時變化率為3，即物體在t＝1s時的剎時速度為3m/s.引申研究1．若本例的條件不變，試求物體的初速度．解∵s＝s＋t－stt＋t2＋＋t＋1－1＝t＝1＋t，∴l(xiāng)ims＝lim(1＋t)＝1.t→0tt→0∴物體在t＝0處的剎時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.2．若本例的條件不變，試問物體在哪一時刻的剎時速度為9m/s.解設物體在

t0時刻的剎時速度為

9m/s，s∵t＝

s

t0＋

t

t

－s

t0＝2t0＋1＋t.∴l(xiāng)ims＝lim(2t0＋1＋t)＝20＋1.t→0tt→0t則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時的剎時速度為9m/s.反省感悟(1)不可以將物體的剎時速度轉變?yōu)楹瘮?shù)的剎時變化率是致使無從下手解答此題的常有問題．求運動物體剎時速度的三個步驟①求時間改變量

t

和位移改變量

s＝s(t0＋

t)－s(t0)．②求均勻速度v＝st.③求剎時速度，當t無窮趨近于s無窮趨近于的常數(shù)v即為剎時速度，即v＝s′(t)．t0追蹤訓練2一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點在t＝2s時的剎時速度為8m/s，求常數(shù)a的值．M解質點M在t＝2時的剎時速度即為函數(shù)在t＝2處的剎時變化率．∵質點M在t＝2鄰近的均勻變化率ss＋t－sa＋t2－4t＝t＝t＝4a＋at，∴l(xiāng)ims＝4＝8，即a＝2.t→0ta題型三導數(shù)的實質意義例3一條水管中流出的水量32y(單位：m)是時間x(單位：s)的函數(shù)y＝f(x)＝x＋7x＋15(0≤x≤8)．計算2s和6s時，水管流量函數(shù)的導數(shù)，并說明它們的實質意義．在2s和6sf′(2)和f′(6)，當x＝2時，y解時，水管流量函數(shù)的導數(shù)為x＝f＋x－fx＝＋x2＋＋x＋15－2＋7×2＋x4x＋x2＋7xx＋11，＝x＝因此f′(2)＝limy＝lim(x＋11)＝11，x→0xx→0即在2s時的水流速度為11m3/s.同理可得在36s時的水流速度為19m/s.在2s與6s時，水管流量函數(shù)的導數(shù)分別為11與19.它說明在2s時鄰近，水流大概以311m/s的速度流出，3的速度流出．在6s時鄰近，水流大概以19m/s反省感悟導數(shù)實質上就是剎時變化率，它描繪物體的剎時變化，比如位移s對于時間t的導數(shù)就是運動物體的剎時速度，氣球體積V對于半徑r的導數(shù)就是氣球的剎時膨脹率．追蹤訓練3服藥后，人體血液中藥物的質量濃度y(單位：μg/mL)對于時間t(單位：min)的函數(shù)為y＝f(t)，假定函數(shù)y＝f(t)在t＝10和t＝100處的導數(shù)分別為f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，試解說它們的實質意義．解f′(10)＝1.5表示服藥后10min時，血液中藥物的質量濃度上漲的速度為1.5g/(mL·min)．f′(100)＝－0.6表示服藥后100min時，血液中藥物的質量濃度降落的速度為0.6g/(mL·min)．2末1．假如某物體的運動方程為s＝2(1－t)(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2s的剎時速度為()A．－4.8m/sB．－0.88m/sC．0.88m/sD．4.8m/s答案A分析物體運動在1.2s末的剎時速度即為s在1.2處的導數(shù)，利用導數(shù)的定義即可求得．f2．設函數(shù)f(x)可導，則limx→0A．f′(1)1f′(1)C.3答案A分析f＋3x－flim3xx→03．函數(shù)f(x)在x0處可導，則

3x－f3xB．3f′(1)D．f′(3)f′(1)．fx0＋h－flimh→0h

等于( )x0( )A．與x0，h都相關B．僅與x0相關，而與h沒關C．僅與h相關，而與x0沒關D．與x0，h均沒關答案B4．設函數(shù)( )在點0鄰近有定義，且有(0＋)－(0＋(2為常數(shù))，fxfxxxaxxxfbab則()A．′( )＝aB．′( )＝bfxfxC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b考點函數(shù)在某一點處的導數(shù)題點依據(jù)定義求函數(shù)在某點處的導數(shù)答案C分析f′(x0)＝limfx0＋x－fx0＝lim(a＋b·x)＝a.xx→0x→0a5．已知函數(shù)f(x)＝x在x＝1處的導數(shù)為－2，則實數(shù)a的值是________．答案2a分析f′(1)1＋x－a－a＝－a.＝lim＝limx→0xx→01＋x由題意知，－＝－2，∴＝2.aa利用導數(shù)的定義求導數(shù)三步曲作差求函數(shù)的增量y＝f(x0＋x)－f(x0)；(2)作比求均勻變化率yfx0＋x－fx0＝；xx(3)取極限，得導數(shù)yf′(x0)＝lim.x→0x簡記為一差，二比，三極限．一、選擇題1．一質點的運動方程為s＝5－3t2，若該質點在時間段－6，則該質點在t＝1時的剎時速度是( )A．－3B．3C．6D．－6

[1

，1＋

t]內相應的均勻速度為－

3t答案

D分析

由均勻速度和剎時速度的關系可知，質點在

t＝1

時的剎時速度為

s′＝lim(－3

tt→06)＝－6.2．設函數(shù)f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于( )A．2B．－2C．3D．－3答案C分析f＋x－f∵f′(1)＝limxx→0x＋＋3－a＋＝limx＝a，x→0又∵f′(1)＝3，∴a＝3.fx＝－1，則f′(0)等于( )3．若可導函數(shù)f(x)的圖象過原點，且知足limxx→0A．－2B．－1C．1D．2答案B分析∵f(x)的圖象過原點，∴f(0)＝0，∴f′(0)f＋x－ffx＝lim＝lim＝－1.x→0xx→0x4．物體的運動方程是s＝－4t2＋16t，在某一時刻的速度為0，則相應時刻為( )A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4答案B分析設在t0時刻速度為0，st0＋t－st0∵s′(t0)＝limtt→0－t0＋t2t0＋t2＋＋4t0－16t0＝limtt→0＝lim(－8t0＋16－4t)t→0＝－8t0＋16＝0，t0＝2.5．已知f(x)＝x2－3，則f′(0)等于()xA．x－3B．(x)2－3xC．－3D．0答案C分析f′(0)f＋x－fx2－3x＝lim＝limxx→0xx→0＝lim(x－3)＝－3.x→06．設函數(shù)＝()在＝0處可導，且limfx－3x－fx＝1，則′(0)等于( )yfxxx00fxx→0xA．1B．－111C．－3D.3答案Cfx－3x－fx0分析由于lim0xx→0＝－limfx0－fx0－3x3x·3x→01＝－3f′(x0)＝1，因此f′(x0)＝－，應選C.37．已知點(0，0)是拋物線y＝(x)＝3x2＋6＋1上一點，且′(0)＝0，則點P的坐標Pxyfxfx為()A．(1,10)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1,10)答案B分析fx0＋x－fx0y＝xx0＋x2＋x0＋x＋1－302－6x0－1xx＝x3x＋6x0＋6，∴f′(x0)＝limy＝lim(3x＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，x→0xx→0x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y0＝－2.∴點P的坐標為(－1，－2)．二、填空題8．已知f(3)＝2，f′(3)2x－3fx＝－2，則lim＝________.x→3x－3答案8分析2x－3fx2x－6＋6－3fxlimx－3＝limx－3x→3x→36－3fx]＝2＋3lim2－fx＝lim[2＋x－3x－3x→3x→3fx－f＝2－3f′(3)＝8.＝2－3limx－3x→319．對于函數(shù)y＝x2，其導數(shù)值等于函數(shù)值的點是________．1答案－2，4分析設導數(shù)值等于函數(shù)值的點是(x，f(x))，00fx0＋x－fx0則f′(x0)＝limxx→012－1x0＋x22＝limx0x＝－3.x→0x021由題意知，f′(x0)＝f(x0)，即－3＝2，x0x01解得x0＝－2，進而y0＝4.1因此導數(shù)值等于函數(shù)值的點是－2，4.如下圖，水波的半徑以1m/s的速度向外擴充，當半徑為5m時，則水波面的圓面積的膨脹率是________．答案10π分析s＝limπ＋r2－25π＝lim(10π＋πr)＝10π.rr→0rr→011．已知函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)為fx0－2x－fx011，則lim＝________.x→0x答案－22分析fx0－2x－fx0limxx→0fx0－2x－fx0＝－2lim－2xx→0＝－2f′(x0)＝－22.三、解答題23212．某一運動物體，在x(s)時離出發(fā)點的距離(單位：m)是f(x)＝x＋x＋2x.求在第1s內的均勻速度；求在1s末的剎時速度；經過多長時間該物體的運動速度達到14m/s?f－f11解(1)物體在第1s內的均勻變化率(即均勻速度)為1－0＝3m/s.(2)yf＋x－fx＝x232113＋x＋＋x＋＋x－3＝x22＝6＋3x＋(x).3x→0時，y當x→6，因此物體在1s末的剎時速度為6m/s.(3)fx＋x－fxy＝xx2x＋x3＋x＋x2＋x＋x－2x3＋x2＋2x＝33x＝2x22x2＋2·x＋x.＋2＋2＋()x3x2當x→0時，x→2x＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍)，即經過2s該物體的運動速度達到14m/s.13．已知f(x)＝x2，(x)＝x3，求合適f′(0)＋2＝′(0)的x0的值．gxgx解由導數(shù)的定義知，22f′(x0)＝limx0＋x－x0＝2x0，x→0xg′(x0)＝limx0＋x3－x032x＝3x0.x→0由于f′(x0)＋2＝g′(x0)，2因此2x0＋2＝3x0，2即3x0－2x0－2＝0，01－701＋73314．已知函數(shù)f(x)＝1，則f′(1)等于()xA．－1B．121C．2D.3答案A1fx－f－1分析＋＝lim1＋xf′(1)＝limxxx→0x→0＝lim－111＋x＝－.x→01＋x＋215