圓的專題講義

經(jīng)典word整理文檔，僅參考，雙擊此處可刪除頁眉頁腳。本資料屬于網(wǎng)絡(luò)整理，如有侵權(quán)，請聯(lián)系刪除，謝謝！與圓有關(guān)的證明及計算1．已知，如圖，直線MN交⊙O于AB兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DEMN于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE=6cm，，求⊙O的半徑．2．如圖，在△，，以AB為直徑的⊙O分別交、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若∠DBC=30°，，求BD的長．第1頁（共39頁）4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙，AC是⊙O的直徑，D是的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交、CA的延長線E、F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若EF=8，O的半徑．5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠∠，（1）求證：∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．6．如圖，直線EFO于A、B兩點，ACO直徑，DEO的切線，且DE⊥EF，垂足為E．（1）求證：ADCAE；（2）若DE=4cm，，求⊙O的半徑．第2頁（共39頁）7．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE．（1）求證：DEO的切線．（2）若∠，DE=2，求AD的長．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2M為線段BCMDMO相切？并說明理由．9．如圖，已知ABO的直徑，點P在BAPDO于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點，連接AD并延長，交BE于點E．（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長．第3頁（共39頁）10．如圖AB是⊙O的直徑，PAPC與⊙O分別相切于點APC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E．（1）求證：∠EPD=；（2）若PC=6tan∠PDA=，求OE的長．第4頁（共39頁）11．如圖，⊙O半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向中點F，G運動．連接PB，QE，設(shè)運動時間為t（s（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；（2）填空：①當(dāng)t=②當(dāng)t=s時，四邊形PBQE為菱形；s時，四邊形PBQE為矩形．12．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB延長線上一點，動點P從點A出發(fā)沿AC方向以lcm/sQ從點C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運動，當(dāng)兩點相遇時停止運動，過點P作AB的垂線，分別交⊙O于點M和點N，已知⊙O的半徑為l，設(shè)運動時間為t秒．（1）若，則當(dāng)t=與⊙O相切；時，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t=時，NQ（2）當(dāng)AC的長為多少時，存在t的值，使四邊形AMQN時t的值．第5頁（共39頁）13．如圖，在Rt△ABC中，∠，∠B=60°，以邊上AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若BC=2，E是半圓上一動點，連接AE、AD、DE．填空：①當(dāng)?shù)拈L度是②當(dāng)?shù)拈L度是時，四邊形ABDE是菱形；時，△ADE是直角三角形．14．如圖，點A，B，C分別是⊙O上的點，且∠B=60°，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）若，填空：①當(dāng)?shù)拈L為②當(dāng)?shù)拈L為時，以A，，，D為頂點的四邊形為矩形；時，△ABC的面積最大，最大面積為．第6頁（共39頁）15．四邊形ABCD的對角線交于點E，且，BE=ED，以AB為直徑的半圓過點E，圓心為．（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．（22CD的延長線與半圓相切于點F，且直徑AB=8．①△ABD的面積為．②的長．16．在圓O中，ACAB是圓的直徑，AB=6，∠ABC=30°，過點C作圓的切線交BA的延長線于點P，連接．（1）求證：△PAC；（2）點Q在半圓ADB上運動，填空：①當(dāng)AQ=②當(dāng)AQ=時，四邊形AQBC的面積最大；時，△ABC與△ABQ全等．第7頁（共39頁）．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與ACP作PEAB，垂足為E，射線EP交于點F，交過點C的切線于點D．（1）求證：DC=DP；（2）若直徑AB=12cm，∠CAB=30°，①當(dāng)E是半徑OA中點時，切線長DC=cm：②當(dāng)AE=cm時，以A，，，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形．18O的直徑AB=4，點C為⊙O上的一個動點，連接，過點A作⊙O的切線，與BC的延長線交于點D，點E為AD的中點，連接CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）填空：①當(dāng)CE=時，四邊形AOCE為正方形；②當(dāng)CE=時，△CDE為等邊三角形．第8頁（共39頁）19．如圖，△ABC是半徑為2的⊙O的內(nèi)接三角形，連接、，點D、E、F、G分別是CA、、、CB的中點．（1）試判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由；（2）填空：①若AB=3，當(dāng)CA=CB時，四邊形DEFG的面積是；②若AB=2，當(dāng)∠CAB的度數(shù)為時，四邊形DEFG是正方形．20．如圖，在△ABC中，，點O為邊AB的中點，OD⊥BC于點D，AM⊥BC于點M，以點O為圓心，線段OD為半徑的圓與AM相切于點．（1）求證：AN=BD；（2）填空：點PO上的一個動點，①若AB=4，連結(jié)，則PC的最大值是；②當(dāng)∠BOP=時，以，D，，P為頂點四邊形是平行四邊形．第9頁（共39頁）第10頁（共39頁）1．已知，如圖，直線MN交⊙O于AB兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DEMN于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE=6cm，，求⊙O的半徑．1）證明：連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠．∵∠OAD=DAE，∴∠ODA=DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．連接CD．∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠，∴△∽△ADE．第11頁（共39頁）∴∴．．則AC=15（cm∴⊙O的半徑是7.5cm．2．如圖，在△，，以AB為直徑的⊙O分別交、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF第12頁（共39頁）∴∠+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線．（2）解：過點C作⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=ABsin∠1=，∵，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵∥，∴△∽△ABF，∴∴BF==3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．第13頁（共39頁）（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若∠DBC=30°，，求BD的長．1）證明：連接，∵DA平分∠BDE，∴∠∠．∵OA=OD，∴∠ODA=∠，∴∠OAD=∠，∴∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥．∴AE是⊙O的切線．（2）解：∵BD是直徑，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠∠．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的長是1cm，第14頁（共39頁）∴BD的長是4cm．4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙，AC是⊙O的直徑，D是的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交、CA的延長線E、F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若EF=8，O的半徑．1）證明：連接OD交于AB于點G．∵D是的中點，OD為半徑，∴．∵，∴OG是△ABC的中位線．∴∥BC，即OD∥CE．又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線．（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，∴CF=10．設(shè)半徑，則OF=10﹣r，∵OD∥CE，第15頁（共39頁）∴△∽△，∴∴，=，∴r=，即：⊙O的半徑為．5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點E，點P在⊙O上，∠∠，（1）求證：∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．1）證明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴∥PD；（2）解：連接AC∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，第16頁（共39頁）∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直徑為5．6．如圖，直線EFO于A、B兩點，ACO直徑，DEO的切線，且DE⊥EF，垂足為E．（1）求證：ADCAE；（2）若DE=4cm，，求⊙O的半徑．1）證明：連接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE=90°，⊥，又∵DE⊥EF，∴OD∥EF，∴∠ODA=DAE，第17頁（共39頁）∴∠DAE=∠，∴AD平分∠CAE；（2）解：連接CD，∵AC是⊙O直徑，∴∠ADC=90°，在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，∴根據(jù)勾股定理得：AD=cm，由（1）知：∠，∠AED=ADC=90°，∴△ADC∽△AED，∴，即，∴AC=10，∴⊙O的半徑是5．7．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE．（1）求證：DEO的切線．（2）若∠，DE=2，求AD的長．1）證明：連接OD，OE，BD，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°，第18頁（共39頁）在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△≌△ODE（SSS∴∠ODE=∠ABC=90°，則DE為圓O的切線；（2）在Rt△ABC中，∠，∴BC=，∵BC=2DE=4，∴，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，則AD=AC﹣DC=6．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2M為線段BCMDMO相切？并說明理由．第19頁（共39頁）1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；解：連接DO，∵，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直線DM與⊙O相切，故當(dāng)MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切．第20頁（共39頁）9．如圖，已知ABO的直徑，點P在BAPDO于點D，過點B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點，連接AD并延長，交BE于點E．（1）求證：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半徑的長．1）證明：連接OD，∵PD切⊙O于點D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：由（1OD∥，第21頁（共39頁）∴∠POD=∠，∴∠POD=cosB=，在Rt△POD中，∠POD==，∵OD=OA，PO=PA++，∴，∴，∴⊙O半徑=3．10．如圖AB是⊙O的直徑，PAPC與⊙O分別相切于點APC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E．（1）求證：∠EPD=；（2）若PC=6tan∠PDA=，求OE的長．1）證明：PA，PC與⊙O分別相切于點A，，∴∠APO=∠EPD且PA⊥，∴∠，∵∠AOP=∠，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠；第22頁（共39頁）（2）解：連接，∴，∵tanPDA=，∴在Rt△PAD，PD=10，∴CD=4，∵tanPDA=，∴在Rt△OCD中，，OD=5，∵∠EPD=∠，∴△DEP∽△OED，∴===2，∴DE=2OE在Rt△OED中，OE+DE=OD，即5OE=5，22222∴OE=．11．如圖，⊙O半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向中點F，G運動．連接PB，QE，設(shè)運動時間為t（s（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；（2）填空：①當(dāng)t=2s時，四邊形PBQE為菱形；②當(dāng)t=0或4s時，四邊形PBQE為矩形．第23頁（共39頁）1）證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙，∴，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，∵點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度，運動時間為t（s∴AP=DQ=t，則PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中∴△ABP≌△（）∴，同理可證，PE=QB，∴四邊形PEQB是平行四邊形．（2）解：①當(dāng)四邊形PBQE為菱形時，，∴△ABP≌△≌△PFE≌△，∴AP=PF=DQ=QC，即t=4﹣t，得t=2，故答案為：2；②當(dāng)t=0時，∠EPF=PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此時四邊形PBQE為矩形；當(dāng)t=4時，∠ABP=∠，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此時四邊形PBQE為矩形．故答案為：0或4．12．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB延長線上一點，動點P從點A出發(fā)沿第24頁（共39頁）AC方向以lcm/sQ從點C出發(fā)以相同的速度沿CA方向運動，當(dāng)兩點相遇時停止運動，過點P作AB的垂線，分別交⊙O于點M和點N，已知⊙O的半徑為l，設(shè)運動時間為t秒．（1）若，則當(dāng)t=與⊙O相切；時，四邊形AMQN為菱形；當(dāng)t=時，NQ（2）當(dāng)AC的長為多少時，存在t的值，使四邊形AMQN為正方形？請說明理由，并求出此時t的值．1）AP=t，，則PQ=5﹣2t，∵NM⊥AB，∴PM=PN，∴當(dāng)PA=PQ時，四邊形AMQN為菱形，即t=5﹣2t，解得t=；當(dāng)∠ONQ=90°時，NQ與⊙O相切，如圖，OP=t﹣1，﹣﹣QC=5﹣1﹣t=4t，∵∠NOP=∠QON，∴Rt△ONP∽Rt△，∴=，即=，整理得t﹣5t5=0，解得t=，t=（1≤t≤212即當(dāng)t=時，NQ與⊙O相切；故答案為，；第25頁（共39頁）（2）當(dāng)AC的長為3時，存在t=1，使四邊形AMQN為正方形．理由如下：∵四邊形AMQN為正方形．∴∠MAN=90°，∴MN為⊙O的直徑，而∠MQN=90°，∴點Q在⊙O上，∴AQ為直徑，∴點P在圓心，∴MN=AQ=2，AP=1，∴t=AP=1，CQ=t=1，∴++1=3．13．如圖，在Rt△ABC中，∠，∠B=60°，以邊上AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若BC=2，E是半圓上一動點，連接AE、AD、DE．填空：①當(dāng)?shù)拈L度是②當(dāng)?shù)拈L度是π時，四邊形ABDE是菱形；π或π時，△ADE是直角三角形．1）證明：連接OD，如圖，∵∠，點D為BC的中點，∴DB=DA=DC，∵∠B=60°，第26頁（共39頁）∴△ABD為等邊三角形，∴∠∠ADB=60°∠C=30°，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=60°+30°=90°，∴OD⊥，∴BD是⊙O的切線；（2）解：①∵△ABD為等邊三角形，∴AB=BD=AD=CD=，在Rt△ODC中，OD=CD=1，當(dāng)DE∥AB時，DE⊥，∴AD=AE，∵∠ADE=∠BAD=60°，∴△ADE為等邊三角形，∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴AB=BD=DE=AE，∴四邊形ABDE為菱形，此時的長度==；②當(dāng)∠ADE=90°時，AE為直徑，點E與點F重合，此時的長度=當(dāng)∠DAE=90°時，DE為直徑，∠AOE=2∠ADE=60°，此時的長度=所以當(dāng)?shù)拈L度為π或π時，△ADE是直角三角形．故答案為；π或．=π；=，第27頁（共39頁）14．如圖，點A，，C分別是⊙O上的點，且∠B=60°，CD是⊙OP是CD延長線上的一點，且AP=AC．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）若，填空：①當(dāng)?shù)拈L為②當(dāng)?shù)拈L為π時，以A，，，D為頂點的四邊形為矩形；π時，△ABC的面積最大，最大面積為．1）證明：連接．∵∠B=60°，∴∠∠B=120°，又∵，∴∠∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴⊥AP，∴AP是⊙O的切線，第28頁（共39頁）（2）①連接ADADC=∠B=60°，CD是直徑，∴∠DAC=90°，∵，∴AD=，CD=2，OC=，當(dāng)AB是直徑時，四邊形ADBC是矩形，此時=②∵∠B=60°，=．∴當(dāng)BA=BC時，△ABC的面積最大，此時△ABC是等邊三角形，∴=，SABC=×3==．215．四邊形ABCD的對角線交于點E，且，BE=ED，以AB為直徑的半圓過點E，圓心為．（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．（2）如圖2，若CD的延長線與半圓相切于點F，且直徑AB=8．①△ABD的面積為16．②的長π．1）∵，BE=ED，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB為直徑，且過點E，第29頁（共39頁）∴∠AEB=90°，即⊥BD．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．（2）①連結(jié)OF．∵CD的延長線與半圓相切于點F，∴OF⊥CF．∵∥AB，∴OF即為△ABD中AB邊上的高．∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，∵點O是AB中點，點E是BD的中點，∴S△OBE=S△ABD=4．②過點D作DH⊥AB于點．∵AB∥CD，OF⊥CF，∴⊥AB，∴∠F=∠∠DHO=90°．∴四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4．∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，∴∠DAH=30°．∵點，E分別為AB，BD中點，∴OE∥AD，∴∠∠DAH=30°，∴的長度==．故答案為：16，π．第30頁（共39頁）16．在圓O中，ACAB是圓的直徑，AB=6，∠ABC=30°，過點C作圓的切線交BA的延長線于點P，連接．（1）求證：△PAC；（2）點Q在半圓ADB上運動，填空：①當(dāng)AQ=3時，四邊形AQBC的面積最大；時，△ABC與△ABQ全等．②當(dāng)AQ=3或31）證明：如圖1所示，連接．∵PC是圓O的切線，OC是半徑，∴⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠PCA+∠，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠+∠CAB=90°，∵，∴∠∠，∴∠+∠OCA=90°，∴∠PCA=∠，又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB；（2）解：①當(dāng)點Q運動到⊥AB時，四邊形AQBC的面積最大；如圖2所示：連接、，∵，⊥AB，∴，∵AB是直徑，第31頁（共39頁）∴∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形，∴AQ=AB=3，故答案為：3；②如圖3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=3，BC=AC=3，分兩種情況：a．當(dāng)AQ=AC=3時，在Rt△ABC和Rt△ABQ中，∴△≌△（HL，b．當(dāng)AQ=BC=3時，同理△≌△；綜上所述：當(dāng)AQ=3或3時，△ABC與△ABQ全等．AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與ACP第32頁（共39頁）作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交于點F，交過點C的切線于點D．（1）求證：DC=DP；（2）若直徑AB=12cm，∠CAB=30°，①當(dāng)E是半徑OA中點時，切線長DC=4cm：②當(dāng)AE=3cm時，以A，，，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形．1）連接．∵CD是⊙O的切線，∴∠，∵，∴∠∠，∵PE⊥AB，∴∠PEA=90°，∴∠+∠APE=90°+∠PCD=90°，∴∠APE=∠PCD，∵∠APE=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴DC=DP．（2）①連接，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°∵∠A=30°，AB=12，∵AC=ABcos30°=6，第33頁（共39頁）在Rt△APE中，∵AE=，∴AP=AE÷，∴﹣AP=4，∵∠APE=∠DPC=60°DP=DC，∴△DPC是等邊三角形，∴DC=4，故答案為4．②當(dāng)AE=EO時，四邊形AOCF是菱形．理由：連接AF、OF．∵，F(xiàn)E⊥，∴，∴△AFO是等邊三角形，∴∠，∵∠CAB=30°，∴∠，∠∠，∴△FOC是等邊三角形，∴，∴四邊形AOCF是菱形，∴AE=3cm時，四邊形AECF是菱形．故答案為3．18O的直徑AB=4，點C為⊙O上的一個動點，連接，過點A作⊙O的切線，與BC的延長線交于點D，點E為AD的中點，連接CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；第34頁（共39頁）（2）填空：①當(dāng)CE=2時，四邊形AOCE為正方形；②當(dāng)CE=時，△CDE為等邊三角形．1）證明：連接、OE，如圖（1∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴△ACD為直角三角形，又∵E為AD的中點，∴，在△OCE和△OAE中，，∴△≌△（SSS∴∠∠OAE=90°，∴CE⊥，∴CE是⊙O的切線；（2）解：①C在線段BD的中點時，四邊形AOCE為正方形．理由如下：當(dāng)C為邊BD的中點，而E為AD的中點，∴CE為△BAD的中位線，∴CE∥AB，CE=，∴四邊形OAEC為平行四邊形，∵∠OAE=90°，∴平行四邊形OCEA是矩形，又∵，∴矩形OCEA是正方形，第35頁（共39頁）∴CE=OA=2，故答案為：2；②連接，如圖（2∵△CDE為等邊三角形，∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，在Rt△ABC中，AC=AB=2，在Rt△ACD中，∵∠D=