第七章隨機變量的數(shù)字特征

第七章隨機變量的數(shù)字特征第一頁，共八十四頁，2022年，8月28日

3、在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。從上面的例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征。隨機變量的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機變量的分布特點，在理論和實踐上都具有重要的意義。第七章隨機變量的數(shù)字特征第二頁，共八十四頁，2022年，8月28日第七章隨機變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望方差和標準差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)切比雪夫不等式及大數(shù)定理中心極限定理第三頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望從平均數(shù)說起，設(shè)以數(shù)據(jù)集

{2，3，2，4，2，3，4，5，3，2}為總體，求其平均數(shù)（設(shè)為μ）μ=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10=（2×4+3×3+4×2+5×1）/10=2×4/10+3×3/10+4×2/10+5×1/10=3概括得：第四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望下面我們逐步分析如何由分布來求“均值”：（1）算術(shù)平均：如果有n個數(shù)x1,x2,…,xn，那么求這n個數(shù)的算術(shù)平均，只需將此n個數(shù)相加后除以n，即

（2）加權(quán)平均：如果這n個數(shù)中有相同的，不妨設(shè)其中有ni個取值為xi(i=1,2,…,k)，列表為

頻率頻數(shù)取值第五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望其實，這個“加權(quán)”平均的權(quán)數(shù)ni/n就是出現(xiàn)數(shù)值xi的頻率，而頻率在n很大時，就穩(wěn)定在其概率附近。（3）對于一個離散隨機變量X，如果其可能取值為x1,x2,…,xn，若將這n個數(shù)相加后除以n作為“均值”，則肯定是不妥的，原因在于X取各個值的概率是不同的，概率大的出現(xiàn)的機會就大，在計算中其權(quán)數(shù)就應(yīng)該大。用取值的概率作為一種“權(quán)數(shù)”作加權(quán)平均是十分合理的。第六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.定義

設(shè)離散隨機變量X的分布律為

一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。

若級數(shù)不收斂,則稱X的期望不存在。如果則稱XPx1x2…xn…p1p2…pn…第七頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(1)X的期望E(X)是一個數(shù)，它形式上是X的可能值的加權(quán)平均，其權(quán)重是其相應(yīng)的概率，實質(zhì)上它體現(xiàn)了X取值的真正平均，為此我們又稱它為X的均值。因為它完全由X的分布所決定，所以又稱為分布的平均值。(2)E(X)作為刻劃X的某種特性的數(shù)值，不應(yīng)與各項的排列次序有關(guān)。所以，定義中要求級數(shù)絕對收斂。注釋第八頁，共八十四頁，2022年，8月28日所以A的射擊技術(shù)較B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098擊中環(huán)數(shù)BA射手名稱例:有A，B兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問哪一個射手本領(lǐng)較好？解A射擊平均擊中環(huán)數(shù)為B射擊平均擊中環(huán)數(shù)為第九頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:設(shè)有某種產(chǎn)品投放市場，每件產(chǎn)品投放可能發(fā)生三種情況：按定價銷售出去，打折銷售出去，銷售不出去而回收。根據(jù)市場分析，這三種情況發(fā)生的概率分別為0.6，0.3，0.1。在這三種情況下每件產(chǎn)品的利潤分別為10元，0元，－15元（即虧損15元）。問廠家對每件產(chǎn)品可期望獲利多少？解:設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤（單位元），X是隨機變量，且X的分布律為X100-15P0.60.30.1

依題意，所要求的是X的數(shù)學(xué)期望

E(X)=10×0.6+0×0.3+(-15)×0.1=4.5(元)第十頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望i.X服從參數(shù)為p的(0,1)分布：

ii.若Xb(n,p),則E(X)=np；證明：X的分布律為E(X)=0×(1-p)+1×p=p；X

0

1

P

q

p

第十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.幾種典型的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望iii.若XP(λ)，則E(X)=λ。

證明：X的分布律為第十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.定義

設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，

如果則稱

為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X).第十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為試求X的數(shù)學(xué)期望解第十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

i.若XU(a,b),則E(X)=(a+b)/2.證：X的概率密度為第十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望證：X的概率密度為ii.若XN(μ,σ2)，則E(X)=μ.特別地，若XN(0,1)，則E(X)=0.第十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.幾種典型的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望證：X的概率密度為iii.若X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則E(X)=1/λ

.第十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))，(1)X是離散型隨機變量，它的分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若絕對收斂，則有(2)

X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)，若絕對收斂，則有第十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日例已知隨機變量的分布律如下求解0.20.10.10.30.3-2-1012

0.20.10.10.30.30.10.40.5014對相同的值合并，并把對應(yīng)的概率相加，可得所以或的數(shù)學(xué)期望。的分布律為第十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日例：某公司生產(chǎn)的機器其無故障工作時間X有密度函數(shù)公司每出售一臺機器可獲利1600元,若機器售出后使用1.2萬小時之內(nèi)出故障,則應(yīng)予以更換,這時每臺虧損1200元;若在1.2到2萬小時之間出故障,則予以維修,由公司負擔(dān)維修費400元;在使用2萬小時以后出故障,則用戶自己負責(zé).求該公司售出每臺機器的平均獲利.解:設(shè)Y表示售出一臺機器的獲利.則第二十頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定理:設(shè)Z是隨機變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù)).(1)設(shè)二維隨機向量(X,Y)的分布律為(2)設(shè)二維隨機向量(X,Y)的分布密度為f(x,y),若若則則第二十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解

XY

123

010.10.150.25

0.250.150.1

第二十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日例：設(shè)(X，Y)服從A上的均勻分布,其中A為由x軸，y軸及直線x+y/2=1圍成的平面三角形區(qū)域,求E(XY)x+y/2=1201xy解：第二十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.若C是常數(shù),則E(C)=C.2.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,若E(X),E(Y)存在,則對任意的實數(shù)a、b,E(aX+bY)存在,且有

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)3.設(shè)X,Y是互相獨立的隨機變量,則有

E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)2、3都可推廣到有限個互相獨立的隨機變量之積的情況.第二十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)2E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)證明(1)設(shè)離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊緣分布列分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則第二十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)2E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(2)設(shè)連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x),fY(y)則第二十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3如X,Y是互相獨立,則E(XY)=E(X)E(Y)證明(1)設(shè)離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…則第二十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3如X,Y是互相獨立,則E(XY)=E(X)E(Y)(2)設(shè)連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x),fY(y)則第二十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日例：將n個球隨機地放入M個盒子中去，設(shè)每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望解：記i=1,2,…,M,則P(第i個盒無球)因而第二十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:拋擲6顆骰子，X表示出現(xiàn)的點數(shù)之和，求E(X).從而由期望的性質(zhì)可得

練習(xí)第三十頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差引例有兩批鋼筋(每批10根)它們的抗拉強度為：第一批110,120,120,125,125,125,130,130,135,140第二批90,100,120,125,125,130,135,145,145,145可以計算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126,但直觀上第二批數(shù)據(jù)與平均數(shù)126有較大的偏離因此,欲描述一組數(shù)據(jù)的分布,單單有中心位置的指標是不夠的,尚需有一個描述相對于中心位置的偏離程度的指標.通?？捎肊[X-E(X)]2描述相對于期望的偏離第三十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差一、方差的定義

定義設(shè)X是一個隨機變量，若E[X-E(X)]2存在，則稱E[X-E(X)]2為X的方差，記為D(X)，即:D(X)=E[X-E(X)]2注釋：(1)方差是隨機變量X與其“中心”E(X)的偏差平方的平均。它表達了X的取值與其期望值E(X)的偏離程度。若X取值較集中，則D(X)較小，反之，若取值較分散，則D(X)較大。(2)應(yīng)用上，常用量，稱為標準差或均方差，記為(X)=。第三十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差二、方差的計算公式

方差實際上是隨機變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.于是(1)對于離散型隨機變量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…則(2)對于連續(xù)型隨機變量X,若其概率密度為f(x),則第三十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差二、方差的計算公式(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2

證明：D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2-2X·E(X)+[E(X)]2)=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第三十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差三、常見分布的方差1.（0-1）分布的方差定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,則D(X)=pq.證明X

0

1

P

q

p

第三十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差三、常見分布的方差2.二項分布的方差定理:若隨機變量X服從二項分布X~B(n,p),則

D(X)=npq.證明第三十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差三、常見分布的方差3.泊松分布的方差定理：設(shè)隨機變量X服從泊松分布X~P(λ),則D(X)=λ.證明第三十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差三、常見分布的方差4.均勻分布的方差定理:設(shè)隨機變量X服從均勻分布X~U(a,b),則

D(X)=(b-a)2/12.證明第三十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差三、常見分布的方差5.指數(shù)分布的方差定理:設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則證明第三十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差三、常見分布的方差6.正態(tài)分布的方差定理:設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2),則D(X)=σ2證明第四十頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差常見分布的期望和方差表第四十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差四、方差的性質(zhì)假定以下所遇到的隨機變量的方差存在:(1)設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；(2)設(shè)X是隨機變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X),從而

D(aX+b)=a2D(X)；(3)設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有

D(XY)=D(X)+D(Y)；(2)證:D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}=E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}=E{[aX-E(aX)]2}=E{[a(X-E(X))]2}=a2E{[X-E(X)]2}=a2D(X)第四十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差由于X，Y相互獨立，X－E(X)與Y－E(Y)也相互獨立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，

2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]=0于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y).四、方差的性質(zhì)(3)證:D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}

+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況。

第四十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.2方差和標準差四、方差的性質(zhì)若相互獨立，為常數(shù)則若X,Y相互獨立第四十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日例設(shè)X1,X2,…,Xn獨立同分布，E(X)=μ,D(X1)=σ2.記若用X1,X2,…,Xn表示對某物件重量的n次重復(fù)測量的誤差,而σ2為測量誤差大小的度量，公式表明n次重復(fù)測量的平均誤差是單次測量誤差的1/n，換言之，重復(fù)測量的平均精度比單次測量的精度高.證明:證注第四十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日已知X的概率密度函數(shù)為其中A,B是常數(shù)，且E(X)=0.5.求A,B.設(shè)Y=X2,求E(Y),D(Y)練習(xí)第四十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日解(1)第四十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日(2)第四十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)引言對于二維隨機向量(X,Y)來說,數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息.但二維隨機向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.第四十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差定義：設(shè)二隨機向量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]若X，Y為連續(xù)型隨機變量(1)用定義求：若X，Y為離散型隨機變量

計算

第五十頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差①協(xié)方差有計算公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(2)用公式求證由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得第五十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差②任意兩個隨機變量X與Y的和的方差

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(2)用公式求證由方差公式及協(xié)方差的定義，得第五十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日例設(shè)（X，Y）有聯(lián)合分布律YX01∑∑011/41/41/31/67/125/121/21/21求cov(X，Y）.解E（X）=0×1/2+1×1/2=1/2E（Y）=0×7/12+1×5/12=5/12E（XY）=1×1/6=1/6cov(X,Y)=E（XY）-E（X）E（Y）=1/6-5/24=1/24第五十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:設(shè)(X，Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，求cov(X,Y)

Y～N(μ2,σ22)，解:X～N(μ1,σ12),E(X)=μ1,D(X)=σ12；E(Y)=μ2,D(X)=σ22；令第五十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；(3)Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)，a,b,c,d為常數(shù)；(2)Cov(X,X)=D(X)；性質(zhì)

證Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[(Y-E(Y))(X-E(X))]=Cov(Y,X)證Cov(aX+b,cY+d)=E[(aX+b-E(aX+b))(cY+d-E(cY+d))]=E{[a(X-E(X))][c(Y-E(Y))]}=acE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=acCov(X,Y)第五十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)定義:設(shè)二維隨機變量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,協(xié)方差Cov(X,Y)均存在,則稱為隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)或標準協(xié)方差.一般地，數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的隨機變量的分布稱為標準分布，故ρXY又稱為標準協(xié)方差。第五十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)性質(zhì)1.|ρXY|≤1；3.|ρXY|=1，稱之為X與Y完全相關(guān)，其充要條件為,存在常數(shù)a,b使得P{Y=aX+b}=1.2.ρXY=0，稱之為X與Y不相關(guān)；意義:|ρXY|=1當(dāng)且僅當(dāng)Y跟X幾乎有線性關(guān)系。這在一定程度上說明了相關(guān)系數(shù)的概率意義。ρXY并不是刻畫X，Y之間的“一般”關(guān)系，而只是刻畫X，Y之間線性相關(guān)的程度。說明：假設(shè)隨機變量X，Y的相關(guān)系數(shù)ρXY存在，當(dāng)X與Y相互獨時,ρXY=0,即X與Y不相關(guān)，反之若X與Y不相關(guān)，X與Y卻不一定相互獨立。第五十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)oXYoooXXXYYY0<ρ<1-1<ρ<0ρ=1ρ=-1相關(guān)情況示意圖第五十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日XY-10100.070.180.1510.080.320.20解X與Y的分布律分別為X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6例：二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如下表，求，第五十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日解

第六十頁，共八十四頁，2022年，8月28日第六十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日例設(shè)(X,Y)服從二元正態(tài)分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，則因為(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)且，所以證(1)必要性X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)所以故X與Y相互獨立第六十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日證(2)充分性因為X,Y相互獨立所以,f(x,y)=f(x)f(y)所以ρ=0第六十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日小結(jié)：結(jié)論1：X與Y相互獨立ρXY=0X與Y不相關(guān)；

反之，ρXY=0不能推出X與Y相互獨立。結(jié)論2：對任意X與Y，以下結(jié)論等價

ρXY=0Cov(X,Y)=0E(XY)=E(X)E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)。結(jié)論3：若(X，Y)～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，則X與Y相互獨立ρXY=0X與Y不相關(guān)。7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第六十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)三、隨機變量的矩

定義:設(shè)X和Y是隨機變量,(1)若E(Xk)(k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階原點矩,簡稱k階矩.(2)若E{[X-E(X)]k}(k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階中心矩.例如：期望是一階原點矩，方差D（X）是二階中心矩(3)對正整數(shù)k與l，稱E(XkYl)為X和Y的k+l階混合矩；(4)若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。第六十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)三、隨機變量的矩

推廣對于n維隨機向量(X1,X2,…,Xn),把向量(X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并記為X，即X=(X1,X2,…,Xn)。定義設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)為n維隨機向量,并記μi=E(Xi)，則稱μ=(μ1,μ2,…,μn)為向量X的數(shù)字期望或均值，稱矩陣為向量X的協(xié)方差矩陣。第六十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]},第六十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:設(shè)(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求X和Y的協(xié)方差矩陣.解第六十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.4切比雪夫不等式及大數(shù)律(1)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù).(2)在實踐中人們還認識到大量測量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.現(xiàn)象：第六十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.4切比雪夫不等式及大數(shù)律一、伯努利大數(shù)律設(shè)X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),則對于任意給定的ε>0,恒有其中若上式對任何ε>0成立，則稱依概率收斂于μ，且可表示為第七十頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.4切比雪夫不等式及大數(shù)律一、伯努利大數(shù)律例如:意思是:當(dāng)a而意思是:時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當(dāng)?shù)谄呤豁?，共八十四頁?022年，8月28日7.4切比雪夫不等式及大數(shù)律切比雪夫(Chebyshev)不等式:設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,則對于任意正數(shù)ε,有二、切比雪夫(Chebyshev)不等式第七十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.4切比雪夫不等式及大數(shù)律證明(1)設(shè)X的概率密度為p(x),則有(2)設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk,則有二、切比雪夫(Chebyshev)不等式第七十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標準差為2度,試估計住房溫度與平均溫度的偏差的絕對值小于4度的概率的下界.解第七十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.4切比雪夫不等式及大數(shù)律三、切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律設(shè)X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差D(Xi)[i=1,2,...].若存在常數(shù)C,使得D(Xi)≤C(i=1,2,…),則對于任意給定的ε>0,恒有證明第七十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.5中心極限定理在一定條件下,許多隨機變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個隨機變量X可以看著許多微小而獨立的隨機因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則X一般都可以認為近似地服從正態(tài)分布.”例如對某物的長度進行測量,在測量時有許多隨機因素影響測量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對測量儀器的影響,使測量產(chǎn)生誤差X1;測量者觀察時視線所產(chǎn)生的誤差X2;測量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機的,而且相互沒有影響.測量的總誤差是上述各個因素產(chǎn)生的誤差之和,即∑Xi.第七十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日7.5中心極限定理一般地,在研究許多隨機因素產(chǎn)生的總影響時,很多可以歸結(jié)為研究相互獨立的隨機變量之和的分布問題,而通常這種和的項數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個項數(shù)越來越多的隨機變量和的序列:我們關(guān)心的是當(dāng)n→∞時,