第三章概率電子教案

第三章概率電子教案第一頁，共六十六頁，2022年，8月28日例2考察某地的一天的天氣情況,即同時考慮最高氣溫、最低氣溫、氣壓、風(fēng)力、降雨量，這就需要5個變量來表示可能的試驗結(jié)果，這就是五維隨機(jī)變量.

本章主要討論二維隨機(jī)變量,對于二維以上隨機(jī)變量的性質(zhì)都可以由二維隨機(jī)變量的性質(zhì)推廣.第二頁，共六十六頁，2022年，8月28日第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)條件分布第四節(jié)相互獨立的隨機(jī)變量第五節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第三頁，共六十六頁，2022年，8月28日1定義：E是一個隨機(jī)試驗，樣本空間S={e}，設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)變量.X(e)SeY(e)§3.1二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)[注]:二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X和Y有關(guān),且還依賴X與Y的相互關(guān)系.第四頁，共六十六頁，2022年，8月28日2定義:設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù),或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。3分布函數(shù)的幾何意義設(shè)則xyO(x,y)D第五頁，共六十六頁，2022年，8月28日1)F(x,y)是變量

x

和y

的不減函數(shù),即對任意固定的y,當(dāng)x2>x1時,有F(x2,y)

F(x1,y);對任意固定的x,當(dāng)y2>y1時,有F(x,y2)

F(x,y1).4分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì):2)0F(x,y)1,且

F(-,y)=0,

F(x,-)=0,F(-,-)=0,

F(+,+)=1.3)F(x,y)關(guān)于

x右連續(xù),關(guān)于y右連續(xù).第六頁，共六十六頁，2022年，8月28日xOx1y2x2y1y4)對于任意x1<x2,y1<y2,有

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0第七頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、二維離散型隨機(jī)變量1定義：如果(X,Y)的所有可能取值是有限對或可列對.則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量.2分布律：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為:(xi,yj),i,j=1,2…,記則稱為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布或分布律;或稱為隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律.第八頁，共六十六頁，2022年，8月28日(2)(1)3分布律的性質(zhì)4表格表示分布律XY第九頁，共六十六頁，2022年，8月28日5二維離散型隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)具有形式例1

設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,另一隨機(jī)變量Y在中等可能地取一整數(shù)值.試求(X,Y)的分布律.解:X=i,i=1,2,3,4,Y=j,ji.第十頁，共六十六頁，2022年，8月28日123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX第十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日例２

某產(chǎn)品８件，其中有２件次品．每次從中抽取一件，不放回，抽取兩次，分別以X、Y表示第一、二次取到的次品件數(shù)，試求(X,Y)的分布律．YX0101解(X,Y)的所有取值為(i,j),i,j=0,1由乘法公式有第十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量1定義對于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在一個非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對任意x,y，有

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x,y)稱為(X,Y)的概率密度，或稱為X和Y的聯(lián)合概率密

度．此時第十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日2f(x,y)的性質(zhì)1) 2) 4)設(shè)G是平面上一區(qū)域3) 若在點(x,y)處連續(xù)，則第十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日3常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1°均勻分布則稱(X,Y)在G上服從均勻分布，其中A為平面區(qū)域G的面積.若注:

(X,Y)在G上服從均勻分布即(X,Y)落在G內(nèi)各點是等可能的.第十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日2°二維正態(tài)分布若其中都是常數(shù),且

稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.記為第十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)確定常數(shù)C；(2)求概率P{X+Y1}．解(1)故C=15.(2)x+y=1x+y1Oxy1第十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日(x,y)xyO解(1)例4設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度

求(1)分布函數(shù)F(x,y)；(2)

第十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日y(2)設(shè)xO第十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日(1)設(shè)E是一隨機(jī)試驗，S是其樣本空間，X1,X2,...Xn是定義S在上的n個隨機(jī)變量，則稱n維向量(X1,X2,...Xn)為定義在S上的n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量．(2)對個任意實數(shù)，令

稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)．(3)類似可以定義離散型及連續(xù)型n維隨機(jī)變量的分布律及概率密度，它們都具有類似于二維時的性質(zhì)．

三、多維隨機(jī)變量第二十頁，共六十六頁，2022年，8月28日§3.2邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)定義1

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x,y)(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)注：邊緣分布函數(shù)可以由X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)

唯一確定,反之不成立.事實上同理第二十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律若(X,Y)分布律為

(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律1.邊緣分布律的定義第二十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日2.邊緣分布律的性質(zhì)(1)(2)1XY3.邊緣分布律表格形式第二十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日例1

設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,另一隨機(jī)變量Y在中等可能地取一整數(shù)值.試求(X,Y)的邊緣分布律.解:X=i,i=1,2,3,4,Y=j,ji.123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX25/4813/487/483/481/41/41/41/4第二十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度(X,Y)概率密度為f(x,y)，則由此知，X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為同理，Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為分別稱為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度．第二十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日例2設(shè)(X,Y)在區(qū)域G:(如圖)上服從均勻分布，求其邊緣概率密度．x解：由于（X，Y）服從均勻分布，故其概率密度為Gr第二十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日例３

設(shè)二維隨機(jī)變量求(X,Y)的邊緣概率密度．解：由已知條件得即X和Y的邊緣分布均為正態(tài)分布，,但只有邊緣分布不能確定聯(lián)合分布.第二十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日§3.3條件分布一、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律對于固定的j,若，則稱為在條件下,隨機(jī)變量X的條件分布律。定義設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，其分布律為對于固定的i,若，則稱為在條件下,隨機(jī)變量Y的條件分布律．第二十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日例1

將兩封信隨機(jī)到往編號為1,2,3的三個信箱內(nèi)投．以X表示第一個信箱內(nèi)信的數(shù)目，Y表示第二個信箱內(nèi)信的數(shù)目，求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律．解據(jù)題意(X,Y)的所有可能取值為(i,j),i,j=0,1,2012YX1/92/91/92/92/901/9000124/94/91/94/94/91/9第二十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日012i1/41/21/41/21/20100P{X=i|Y=0}P{X=i|Y=1}P{X=i|Y=2}

條件分布律用表格表示:012j1/41/21/41/21/20100P{Y=j|X=0}P{Y=j|X=1}P{Y=j|X=2}

第三十頁，共六十六頁，2022年，8月28日例2一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為，射擊直至中目標(biāo)兩次為止。設(shè)以表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律．第三十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度類似地定義

1.定義給定y，設(shè)對于任意的>0，

若對于任意實數(shù)x，極限

存在，則稱此極限值為在條件Y=y下隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù),記為或第三十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度f(x,y)在(x,y)處連續(xù)，邊緣概率密度fY(y)連續(xù)，fY(y)>0,則2.條件概率密度與聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度之間的關(guān)系在條件Y=y的條件概率密度為類似可得推導(dǎo)第三十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日返回第三十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日yxO11例3

設(shè)(X,Y)在區(qū)域G(如圖)上服從均勻分布，求條件概率密度.解對于任意給定的值x

(0<x<1),在X=x條件下,有第三十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日對于任意給定的值y(0<y<1),在Y=y條件下,有第三十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日§3.4相互獨立的隨機(jī)變量

定義１設(shè)F(x,y),FX(x),FY(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)．若對所有x,y，有即則稱隨機(jī)變量X與Y是相互獨立的.(1)X與Y相互獨立的條件等價于

（離散型）（連續(xù)型）一、兩個隨機(jī)變量相互獨立的概念注第三十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日(3)定理設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，令其中為連續(xù)函數(shù)，則U與V也相互獨立．(2)二維正態(tài)隨機(jī)變量X與Y相互獨立第三十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

X

Y0100.04a

1b0.64若X和Y相互獨立,則

a=_______b=_______0.160.16第三十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日圖例2

學(xué)生甲,乙到達(dá)教室的時間均勻分布在7~9時,設(shè)兩人到達(dá)的時刻相互獨立，求兩人到達(dá)教室的時間相差不超過5分鐘的概率．解設(shè)X，Y分別表示甲，乙到達(dá)教室的時刻

由于X與Y相互獨立，故(X,Y)的概率密度為 第四十頁，共六十六頁，2022年，8月28日7979GxOyG1返回第四十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日例3設(shè)X和Y都服從參數(shù)的指數(shù)分布,且X與Y相互獨立,求解:由已知得由于X與Y相互獨立，故(X,Y)的概率密度為 圖第四十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日xyoG第四十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、n個隨機(jī)變量的概念1.n維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義為2.若存在非負(fù)函數(shù)，使得對任意實數(shù)，有

則稱為的概率密度函數(shù)3.邊緣分布函數(shù)第四十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日5.設(shè)n維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為滿足對任意實數(shù)，均有

則稱相互獨立．4.邊緣概率密度第四十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日則稱與相互獨立．6.若7.(定理)設(shè)與相互獨立．則和相互獨立；又若h,g是連續(xù)函數(shù)，則與相互獨立.第四十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日§3.5兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律5/203/202/203/206/201/20-112-12例1設(shè)(X,Y)的分布律為求X+Y及X-Y的分布律.XY第四十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日解:

(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011340-2-3310(X,Y)X+YX-Y5/202/206/203/203/201/20(1)X+Y-201345/202/209/203/201/20(2)X-Y-3-20136/202/206/203/203/20第四十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日(1)Z=X+Y的分布(積分區(qū)域G:x+yz)Gx+y=zyxO設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),Z=X+Y的分布函數(shù)為二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度第四十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日Z=X+Y的概率密度為或特別，當(dāng)X,Y相互獨立時,第五十頁，共六十六頁，2022年，8月28日Z=X+Y~N(0,2)解:例2

設(shè)X~N(0，1)，Y~N(0，1),且X與Y相互獨立，求Z=X+Y的概率密度。第五十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日結(jié)論：(1)若且X與Y相互獨立，則X+Y仍服從正態(tài)分布，且且相互獨立,則(2)若(3)有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布第五十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日例3

在一簡單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)聯(lián)接，設(shè)R1,R2相互獨立，它們的概率密度均為試求總電阻的概率密度.01020z第五十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日例4

設(shè)X1,X2相互獨立分別服從參數(shù)為1,;2,的分布,即X1,X2的概率密度分別為

試證明X1+

X2服從參數(shù)為1+2,的分布.第五十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日當(dāng)z>0時,證：A亦即Z=X1+X2服從參數(shù)為1+2,的分布．第五十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日A的計算：[注]：函數(shù)若X1,X2,…Xn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為i,(i=1,2,…n)的的分布，則X1+X2+…+Xn服從參數(shù)為1+2+...+n,的分布.推廣第五十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日設(shè)