第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

第十章2第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用3第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì)的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)4第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).5第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日6第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日3.性質(zhì)（k為常數(shù))(由組成)(l為曲線弧

的長(zhǎng)度)7第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義8第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則9第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此10第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則11第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日12第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三.幾何與物理意義Oyxz13第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日14第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例1.計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)15第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:建立坐標(biāo)系如圖,則16第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得17第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.

計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線18第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例5.計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知19第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日思考:

例5中改為計(jì)算解:令,則圓的形心在原點(diǎn),故,如何20第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例6.

計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則21第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例7.

有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.22第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

的長(zhǎng)度)23第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧24第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日思考與練習(xí)1.已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:25第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解:設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)26第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日故重心坐標(biāo)為27第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日備用題1.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:分段積分28第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日29第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日2.

L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個(gè)坐標(biāo)解:如圖所示,交線長(zhǎng)度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為30第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)2.3.31第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日32第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例2解例3解33第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日34第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日35第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日36第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日37第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日38第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)1.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算3.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的應(yīng)用39第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日思考題1,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定