第一講 什么是數學建模

第一講什么是數學建模第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1高跟鞋問題女孩子都愛美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起來最美嗎？第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日穿高跟鞋是為了身高在視覺上得到增加，但是身高越高看起來越美嗎？理解問題第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日由黃金分割原理，我們不妨假定，當人的下肢和身高的比為0.618時，看起來最美。合理化假設設某人身高為h厘米，下肢長l厘米，高跟鞋的鞋跟為x厘米。第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日轉化為數學問題穿上高跟鞋后，身高為h+x厘米，下肢長l+x厘米。得到一個關于x的一次方程：第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的求解解該一次方程，得：第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的檢驗以身高168CM，下肢長為102CM的人為例，其所穿鞋的鞋跟高度與好看程度的關系可由下表說明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０．６０７１０．６０７１０．６０７１０．６０７１１６８１６８１６８１６８２．５３．５５４．５４．７７４８０．６１２９０．６１５１０．６１７３０．６１８第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的檢驗又如，按照上述模型，身高153CM，下肢長為92CM的女士，應穿鞋跟高為6.6CM的高跟鞋顯得比較美。第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日評價和應用由此看來，女孩們愛穿高跟鞋是有科學依據的，也使人聯想到為什么人們觀看芭蕾舞的時候有一種美的感受，可當你看踩高翹表演時就沒有這種感覺。這下女生知道應該如何選擇合適的高跟鞋了吧！第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日例2烏鴉能喝到水嗎？小學課文：一只烏鴉口渴了，到處找水喝。烏鴉看見一個瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，烏鴉喝不著水，怎么辦呢？烏鴉看見旁邊有許多小石子，想出辦法來了。烏鴉把小石子一個一個地放進瓶子里。瓶子里的水漸漸升高，烏鴉就喝著水了。可是，烏鴉真的能喝到水嗎？第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日顯然水的體積大于空隙的體積，烏鴉才能喝到水。因此我們可以從幾何體積計算的角度，重新認識烏鴉喝水問題。理解問題不難想象，當烏鴉把各種各樣的小石子扔到瓶子里時，石子之間是不可能沒有空隙的。如果石子之間的空隙較大，而瓶子里的水又較少，那么烏鴉即使將瓶子填滿也無法喝到水。那么瓶子里到底應當有多少水，烏鴉才能喝到水呢？第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日顯然該問題與瓶子和石子的形狀及其排列方式有關，為簡單起見我們假設：合理化假設圖1瓶子是正方體的且不考慮瓶口的體積。烏鴉投進的石子是大小相同的球體。瓶子中擺放的方法如圖1所示第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日瓶子的邊長是石子直徑的整數倍，不妨設為n倍（顯然，如果不是整數倍的話，那石子間的空隙會更大，不利于烏鴉喝到水）石頭內部滲進的水忽略不計。合理化假設第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日轉化為數學問題一個邊長為n*a的正方體中放入n3個邊長為a的球，求其空隙部分的體積占總體積的比例。第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日問題的求解下面我們首先證明球體的大小與球體占據正方體空間的總和無關，為此我們設瓶中僅放入一個最大的球體（假如能放入的話）如圖2所示。

圖2第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日由于圖1中有n3個小正方體，而每個小正方體與圖2的情況相同，每個小球都內切于一個小正方體。設大立方體的體積為V，其內切球體積為V球，小立方體的體積為Vi，小球的體積為Vi球，顯然：

由等比定理得：

第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日由此可知球的大小與所占空間總和無關，于是容易計算出球體所占空間體積與瓶子體積比為

即空隙部分的體積與瓶子體積比約為48%。這表明，按上述條件，當瓶中的水不足瓶子容積的48%時，烏鴉將難以喝到水。第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日評價和應用假如烏鴉聰明得很，能使石子彼此之間挨得更緊密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是計算麻煩些，讀者可舉一實例驗證之）上述計算盡管只是對特殊情況的一種粗略計算，但這也實在難為烏鴉了，不過這不能不使我們考慮這樣一個事實，在日常生活中，應當怎樣地充分利用空間，減少浪費，獲得更高的效益，這正是數學所需要解決的問題。第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日例3航行問題用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；求解得到數學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日我們用數學方法解決以上3個實際問題的過程，其實就是數學建模的過程對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日數學建模的一般步驟模型準備模型假設建立模型模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中建立模型用數學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力盡量采用簡單的數學工具數學建模的一般步驟第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數學建模的一般步驟第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)現實世界數學世界表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐理論實踐第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日本課程的任務和內容《生活中的數學智慧》用盡量簡單的數學知識，通過建立數學模型，來解決大家生活中的一些經常碰到的實際問題，從而開拓大家善于發(fā)現問題的數學眼光和培養(yǎng)善于思考問題的數學大腦。在本課程里你將接觸到以下問題：用一定量的水，怎樣洗衣服才能洗得更干凈？外出的時候，關掉飲水機更省電嗎？剛燒開的水在室溫下過多久能喝？為什么北方人家的窗戶要用雙層玻璃？第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日怎樣分配代表席位最合理？怎樣計算每月房貸的還款數額？你有一筆錢，怎樣儲蓄可以獲得最大利益？家具怎樣才能搬進門？怎樣設計最佳的電梯運行方案？怎樣布置輸油管道最合理？怎樣讓有限的資源發(fā)揮最大的作用？怎樣減肥效果好？等諸如此類的問題。第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日全國大學生數學建模競賽為了鍛煉大學生應用數學解決問題的能力，我國每年舉辦全國大學生數學建模競賽。競賽每年九月舉行，在指定網站公布競賽題，參賽選手屆時通過網絡下載并完成題目。三人一組報名參加，72小時合作完成一個題目。共四題，本科A、B中選1題，?？艭,D中選1題。解答過程寫成論文提交。一般要用計算機軟件編寫程序計算出結果?？梢圆殚唸D書及網絡等資料，但要保證自己的獨創(chuàng)性，不能與他人雷同。第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日我院從2006年開始參加全國大學生數學建模競賽，共獲得江蘇省賽區(qū)一等獎1項，二等獎2項，三等獎3項。2006年劉萬里、胡育、仇唐兵省二等獎2007年仇唐兵、李兆兵、萬麗娜省三等獎2008年萬麗娜、潘才林、許磊省二等獎2008年馮士霞、祁金花、趙日亮省三等獎2009年王宏之、繆振中、皋乾省三等獎2010年周潔、鐘陽陽、陳榮榮省一等獎《生活中的數學智慧》成績優(yōu)秀者，可參加全國大學生數學建模競賽。第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日題目：四月是菠蘿上市的季節(jié)，大家都知道，吃菠蘿前要削皮去籽。削皮去籽的方法有多種，有些人從菠蘿上部削到下部，有些人從左往右一圈一圈地削，水果店的人一般是斜著削，削完后菠蘿上留下的是一條條螺線，這是一個很有藝術性的刨削過程。你認為哪種削菠蘿的方法最好，能否從數學角度證明你的結論？請寫出你的結論，并盡量詳細地將自己的思考過程以及問題解答過程書寫下來。數學建模水平測試第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日各位同學，本次調查是匿名的，不作為課程成績的依據，下面各題沒有對錯之分，請你根據自己在數學學習中的真實情況，選擇合適的選項，謝謝你的配合。1．你認為學習高等數學很重要嗎?（）A.非常重要B.比較重要C.一般D.學不學無所謂2．你認為數學與你的日常生活聯系有多大?（）A．密切相關B．比較密切C．一般D.沒聯系3.你認為數學與專業(yè)課有多大聯系?（）A．密切相關B.比較密切C.一般D.沒聯系4．你學習數學的主要目的是什么?（）A．探索知識，充實自己B．掌握專業(yè)知識，謀求就業(yè)發(fā)展C．將來繼續(xù)深造有用D．毫無目的,應付考試而已數學學習情況調查第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日5.我認為學好數學對我來說：（）A.很有價值B．價值一般C．價值很小D．毫無價值6.你認為可以用數學方法、數學知識解決實際問題嗎?（）A.非常同意B.同意C.有點同意D.不同意7.你曾經用過數學方法、數學知識解決實際問題嗎?（）A.經常B.多次C.偶爾D.從沒有8.你覺得學了數學的收獲有多大?（）A.很大B.比較大C.有一點收獲D.沒收獲9．我的數學學習中成敗的經驗情況（）A．成功多B．失敗多C．兩者差不多D．不知道10．我認為數學學業(yè)方面的成敗主要取決于（）A．自身努力程度B．學習任務的難度C．學校教育質量D．數學學習能力

第三十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日11．我認為數學教材對我學習數學的驅動作用A．顯然存在B.存在但不顯然C.不存在D．不確定12．我認為促使我探究數學的主要原因是（）A．愛好B．興趣C.好奇D．與原有知識矛盾13．我的數學老師對學生：（）A．很關心，呵護B．比較關心C．一點點關心D．漠然14．我的數學老師主導情緒狀態(tài)是：（）A．熱情、投入B．平靜溫和C．冷漠不悅D．易怒生氣15．我對我的數學老師是：（）A．尊敬愛戴B．敬畏C．感情平平D．憎恨討厭第三十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日16．我在學習數學一般情緒狀態(tài)為：（）A．快樂感興趣B