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第三節(jié)曲面及其方程第一頁,共二十六頁,2022年,8月28日一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)
和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段
AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.
機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁,共二十六頁,2022年,8月28日定義1.如果曲面
S
與方程
F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面
S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0
叫做曲面
S
的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁,共二十六頁,2022年,8月28日故所求方程為例1.
求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:
設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為
R
的軌跡表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁,共二十六頁,2022年,8月28日例2.
研究方程解:
配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程
(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁,共二十六頁,2022年,8月28日定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面
繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁,共二十六頁,2022年,8月28日建立yoz面上曲線C
繞
z
軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞
z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz
面上曲線
C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁,共二十六頁,2022年,8月28日思考:當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí),方程如何?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁,共二十六頁,2022年,8月28日例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z
軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁,共二十六頁,2022年,8月28日例4.
求坐標(biāo)面xoz
上的雙曲線分別繞
x軸和
z
軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞
x
軸旋轉(zhuǎn)繞
z
軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁,共二十六頁,2022年,8月28日三、柱面引例.
分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上,表示圓C,沿曲線C平行于
z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對任意
z,平行
z
軸的直線
l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁,共二十六頁,2022年,8月28日定義3.平行定直線并沿定曲線C
移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于
z
軸;準(zhǔn)線為xoy
面上的拋物線.
z
軸的橢圓柱面.z
軸的平面.表示母線平行于(且z
軸在平面上)表示母線平行于C
叫做準(zhǔn)線,l
叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁,共二十六頁,2022年,8月28日一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x
軸;平行于
y
軸;平行于
z
軸;準(zhǔn)線
xoz
面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線
xoy
面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線
yoz面上的曲線l2.母線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁,共二十六頁,2022年,8月28日四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁,共二十六頁,2022年,8月28日1.橢球面(1)范圍:(2)與坐標(biāo)面的交線:橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁,共二十六頁,2022年,8月28日與的交線為橢圓:(4)當(dāng)a=b
時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a=b=c
時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁,共二十六頁,2022年,8月28日2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q
同號)(2)雙曲拋物面(鞍形曲面)特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞
z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁,共二十六頁,2022年,8月28日3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x
軸;虛軸平行于z軸)平面上的截痕情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束雙曲線:第十八頁,共二十六頁,2022年,8月28日虛軸平行于x軸)時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z
軸;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束相交直線:雙曲線:第十九頁,共二十六頁,2022年,8月28日(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結(jié)束圖形第二十頁,共二十六頁,2022年,8月28日4.橢圓錐面橢圓在平面x=0或y=0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x
或y方向的伸縮變換得到,見書P316)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁,共二十六頁,2022年,8月28日內(nèi)容小結(jié)1.
空間曲面三元方程
球面
旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z
軸的旋轉(zhuǎn)曲面:
柱面如,曲面表示母線平行z
軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁,共二十六頁,2022年,8月28日2.二次曲面三元二次方程
橢球面
拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面
雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面
橢圓錐面:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁,共二十六頁,2022年,8月28日斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y
軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁,共二十六頁,2022年,8
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