第三章應(yīng)變理論

第三章應(yīng)變理論第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日dr'duu'Q點位移:

u'=u(r+dr)或

u'=u(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)P..Qdrrr+drx1x2x3o3.1變形位移矢量位移梯度張量uP點位移：u=u(r)或u=u(x1,x2,x3)

drP'Q'..uQ''變形位移第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日變形位移矢量du

或

第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日稱為位移梯度。稱為位移梯度張量。第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日位移梯度張量的矩陣表示在有限元法中有重要應(yīng)用。第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日對稱張量反對稱張量位移梯度張量分解變形張量轉(zhuǎn)動張量第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日應(yīng)變張量：反映點的應(yīng)變或展開第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)動張量：反映點的剛體轉(zhuǎn)動或展開第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.2應(yīng)變張量及應(yīng)變分量A′B″C″C′u2x1方向的線應(yīng)變同理B′u1dx2dx1ACBx1x2ox1x2平面上的變形第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日βx1x2平面上的切應(yīng)變同理則定義A′dx2dx1αAB′B″C″CC′u1u2x1x2oB第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日βA′dx3dx2αAB′B″C″CC′u2u3x2x3oBx2x3平面上的切應(yīng)變同理x3x1平面上的切應(yīng)變第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日定義角應(yīng)變（工程應(yīng)變）同理有第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日應(yīng)變分量第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日工程應(yīng)變分量第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日應(yīng)變的矩陣表示（兩種表示）應(yīng)變工程應(yīng)變第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日應(yīng)變的列陣表示Voigt標記第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.3轉(zhuǎn)動位移與轉(zhuǎn)動張量x1x2BACDBACDx1x2第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動位移即繞軸的轉(zhuǎn)動位移BADx1x2C第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日同理有繞軸的轉(zhuǎn)動位移。第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日PQP'Q'u'rr+drPQdr3.4任意方向上的線應(yīng)變坐標變換x1x2x3oP'Q'dr'uu'dudru(l1,l2,l3)e3e2e1du第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日分量表示第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日x1x2x3(l1,l2,l3)(n1,n2,n3)第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日=u1,1

n1

l1

+u1,2

n2l1

+u1,3

n3

l1

+u2,1

n1l2

+u2,2

n2

l2

+u2,3

n3

l2

+u3,1

n1

l3

+u3,2

n2

l3

+u3,3

n3l3展開上式第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日rr+drPQdrP'Q'dr'uu'dudrux1x2x3o當du與dr重合時有

ni

=li第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日=u1,1

l1

l1

+u1,2

l2l1

+u1,3

l3

l1

+u2,1

l1l2

+u2,2

l2

l2

+u2,3

l3

l2

+u3,1

l1

l3

+u3,2

l2

l3

+u3,3

l3l3第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日對于采用指標記法有第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日新坐標系坐標軸的方向余弦OldNew應(yīng)變的坐標變換舊系表達新系表達第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日應(yīng)變是二階張量，由張量的定義有如第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.5應(yīng)變張量的分解與不變量

和應(yīng)力張量一樣應(yīng)變張量也可以分解為球應(yīng)變張量與偏應(yīng)變張量?；?/p>

為偏應(yīng)變張量或應(yīng)變偏張量（畸變）為球應(yīng)變張量或應(yīng)變球張量（體變）其中第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日或展開應(yīng)變張量第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日體積改變形狀改變應(yīng)變張量的分解圖示=+第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日仿照應(yīng)力張量對于應(yīng)變張量有由齊次方程組具有非零解的條件第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日展開上式有可寫成其中上式即為應(yīng)變張量第一、第二、第三不變量的表達式。第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日解應(yīng)變特征方程，可得三個主應(yīng)變

這三個主應(yīng)變彼此互相垂直，相應(yīng)的應(yīng)變方向稱為應(yīng)變主方向，相應(yīng)的軸線稱為應(yīng)變主軸。在應(yīng)變主方向上無切應(yīng)變。用主應(yīng)變表示應(yīng)變張量不變量為第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日同理對于應(yīng)變偏張量

有由齊次方程組具有非零解的條件，可以定義出應(yīng)變偏張量的第一、第二與第三不變量。

第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日應(yīng)變張量不變量：用I’表示應(yīng)變偏張量不變量：用J’表示應(yīng)力偏張量不變量：用J表示應(yīng)力張量不變量：用I表示第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日主切應(yīng)變與主切應(yīng)力類似地有主切應(yīng)變。主切應(yīng)變有三個對于有最大主切應(yīng)變第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日正應(yīng)變:剪應(yīng)變：用主應(yīng)變表示剪應(yīng)變：用非主應(yīng)變表示正八面體上的應(yīng)變n第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日等效（有效）應(yīng)變與等效應(yīng)力相匹配的有等效應(yīng)變。通常取，則第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日

變形后體積變?yōu)椋涸O(shè)有微小的正平行六面體，它的棱邊長度是在變形前，它的體積，彈性體積應(yīng)變第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日因此，每單位體積的體積改變，即所謂體積應(yīng)變?yōu)椋旱谒氖?，共五十四頁?022年，8月28日將幾何方程代入：用張量形式可表示為：因為只考慮微小的應(yīng)變，所以兩個或三個應(yīng)變分量的乘積可以略去不計，或則體積應(yīng)變表示彈性體一點處的單位體積改變量。第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.6變形協(xié)調(diào)方程

在應(yīng)變分析中，需要有某些條件施加于應(yīng)變分量以保持物體的連續(xù)性。通過幾何方程可得到說明。（1）已知位移可由方程確定應(yīng)變（2）已知應(yīng)變不能由方程確定位移，即得不到位移的單值解

因此，為了得到單值解的連續(xù)位移函數(shù)，需要對應(yīng)變施加某種約束，此類約束稱為協(xié)調(diào)條件。第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日變形協(xié)調(diào)性幾何說明變形前重疊開裂連續(xù)第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：

要使這一方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。但例3-1設(shè)ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日變形協(xié)調(diào)方程（三維）第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日下面有代表性的推導(dǎo)其中的兩個方程：方程一：第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日方程二：第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日六個變形協(xié)調(diào)方程并不獨立，是得到單值連續(xù)的位移函數(shù)的必要條件，對于單連通域為充分條件物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)性，