第七章非線性系統(tǒng)分析

第七章非線性系統(tǒng)分析第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、典型非線性特性特征：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。輸入輸出放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。1、飽和特性飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響（1）使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益下降，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利。（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日飽和非線性對(duì)系統(tǒng)的影響：飽和非線性使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下的等效增益下降，嚴(yán)重的可以使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。

第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)。各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。（2）減小了系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，減弱動(dòng)態(tài)響應(yīng)的振蕩傾向第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出輸入4、繼電器特性理想繼電器

具有飽和死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數(shù)學(xué)表達(dá)式第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日繼電器特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響可利用繼電控制實(shí)現(xiàn)快速跟蹤。帶死區(qū)的繼電特性，將會(huì)增加系統(tǒng)的定位誤差，對(duì)其他動(dòng)態(tài)性能的影響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果.第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日6.2描述函數(shù)一、描述函數(shù)的定義

（1）描述函數(shù)的基本概念設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)，其輸出一般為非周期正弦信號(hào)，可以展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)

若非線性環(huán)節(jié)輸入輸出的靜態(tài)特性曲線是奇對(duì)稱的，即，于是輸出中將不會(huì)出現(xiàn)直流分量，從而。式中：第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日若線性部分的具有低通濾波器的特性，從而非線性輸出中的高頻分量部分被線性部分大大削弱，可以近似認(rèn)為閉環(huán)通道中只有基波分量在流通，即隨著n的增大，諧波分量的頻率越高，其幅值、越小?？梢越普J(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中只包含有基波分量，即式中：

（2）描述函數(shù)的定義類似線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用來(lái)表示。顯然，時(shí)，為復(fù)數(shù)。第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日（3）描述函數(shù)的應(yīng)用條件①非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化為只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)N和一個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。②非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關(guān)系是奇對(duì)稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出中不包含直流分量。③系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。二、描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是：①首先由非線性特性曲線，畫出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的數(shù)學(xué)表達(dá)式。②利用傅氏級(jí)數(shù)求出的基波分量。③將基波分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應(yīng)的描述函數(shù)。第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1飽和非線性：飽和特性的描述函數(shù)為第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日2死區(qū)非線性死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日3滯環(huán)特性

滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

其中第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日4繼電特性

繼電特性的描述函數(shù)為

(1)．單值繼電特性單值繼電特性在正弦輸入作用下的輸出波形

第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日非繼電特性的描述函數(shù)為

(2)．非單值繼電特性非單值繼電特性在正弦輸入作用下的輸出波形

第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日典型非線性特性的描述函數(shù)理想繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開(kāi)斜對(duì)稱、奇函數(shù)A0=An=0第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日非線性增益I非線性增益II第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、組合非線性特性的描述函數(shù)復(fù)雜非線性特性的描述函數(shù)求解，常?？梢苑纸鉃榛具B接形式的簡(jiǎn)單描述函數(shù)，然后再按照連接方式，求出組合非線性特性的描述函數(shù)。同樣，簡(jiǎn)單非線性基本連接形式有串聯(lián)、并聯(lián)。（1）非線性特性的并聯(lián)計(jì)算設(shè)輸入為，則兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)的基波分量分別為輸入信號(hào)乘以各自的描述函數(shù)，即總的基波分量為

總的描述函數(shù)為第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日（2）非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)

兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特性的描述函數(shù)并不等于個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。而是應(yīng)該先求出這兩個(gè)串聯(lián)非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)。[例1]如下圖兩個(gè)非線性特性相串聯(lián)由串聯(lián)后的等效非線性特性，對(duì)照表7-1的死區(qū)加飽和非線性特性，可見(jiàn)，第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日于是，等效非線性特性的描述函數(shù)為第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日6.3非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法

通過(guò)描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可以看作是一個(gè)線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。這種利用描述函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)分析的方法稱為描述函數(shù)法。但這種方法一般只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

一、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在上述所示的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，非線性部分N可以用描述函數(shù)表示，線性部分則用頻率特性表示。由閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如下：第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日其閉環(huán)特征方程為

從而有上式稱為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。

對(duì)比在線性系統(tǒng)分析中，應(yīng)用奈氏判據(jù)當(dāng)滿足G(jω)＝-1時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。顯然-1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)的（-1，j0）點(diǎn)。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是（-1，j0）點(diǎn)，而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是-1/N(A)曲線。第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))若開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日利用奈氏判據(jù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)，然后在極坐標(biāo)圖上分別畫出線性部分的G(jω)和非線性部分的-1/N(A)曲線，并假設(shè)G(s)的極點(diǎn)均在s左半平面，則(1)若曲線G(jω)不包圍曲線-1/N(A)，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；(2)若曲線G(jω)包圍曲線-1/N(A)，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；(3)若曲線G(jω)與曲線-1/N(A)相交，則在理論上產(chǎn)生等幅振蕩，或稱為自振蕩第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、自激振蕩的分析與計(jì)算

由上述分析可知，當(dāng)線性部分的頻率特性與負(fù)倒描述函數(shù)曲線相交時(shí)，非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩。下面進(jìn)一步分析自激振蕩的條件和自激振蕩的穩(wěn)定性。①自激振蕩條件設(shè)非線性部分的輸入函數(shù)為第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日由描述函數(shù)的定義可知，非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)基波分量為

而線性部分的輸出信號(hào)為若假設(shè)系統(tǒng)存在自激振蕩，此時(shí)應(yīng)有，故結(jié)構(gòu)圖應(yīng)該變?yōu)榧从?/p>

于是這是自激振蕩的條件，把條件中幅值條件和相角條件綜合起來(lái)，就是第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日②自激振蕩的穩(wěn)定性自激振蕩的穩(wěn)定性指，當(dāng)非線性系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用而偏離原來(lái)的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠回到原來(lái)的等幅振蕩狀態(tài)的，稱為穩(wěn)定的自激振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自激振蕩。如右圖所示，線性部分的頻率特性與負(fù)倒描述函數(shù)曲線有兩個(gè)相交點(diǎn)、，這說(shuō)明系統(tǒng)有兩個(gè)自激振蕩點(diǎn)。對(duì)于點(diǎn)，若受到擾動(dòng)使幅值A(chǔ)增大，則工作點(diǎn)將由點(diǎn)移至a點(diǎn)。由于a點(diǎn)不被包圍，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故振蕩衰減，振幅A自動(dòng)減小，工作點(diǎn)將沿曲線又回到點(diǎn)。反之亦然。所以點(diǎn)是穩(wěn)定的自激振蕩。同理，點(diǎn)是不穩(wěn)定的自激振蕩。

第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日判別自激振蕩穩(wěn)定的方法是：在復(fù)平面自激振蕩附近，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿曲線移動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。反之，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿曲線移動(dòng)是從穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域的，則該交點(diǎn)代表的自激振蕩是不穩(wěn)定的。③自激振蕩的計(jì)算對(duì)于穩(wěn)定的自激振蕩，其振幅和頻率是確定并且是可以測(cè)量的，具體的計(jì)算方法是：振幅可由曲線的自變量A來(lái)確定，振蕩頻率由曲線的自變量來(lái)確定。[例2]具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如下所示，其中線性部分的傳遞函數(shù)為，試確定自激振蕩的幅值和頻率。第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日解：繼電器非線性的描述函數(shù)為負(fù)倒描述函數(shù)為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，曲線為整個(gè)負(fù)實(shí)軸。線性部分的頻率特性為畫出和曲線如下圖，由圖可知，兩曲線在負(fù)實(shí)軸上有一個(gè)交點(diǎn)，且該自激振蕩點(diǎn)是穩(wěn)定的。令，即求得自激振蕩頻率。將代入的實(shí)部，得到第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日由即有于是求得自激振蕩的幅值為自激振蕩頻率為第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日試求：①當(dāng)K＝10時(shí)，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；②當(dāng)K為何值時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2非線性分析舉例2第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日相交于穩(wěn)定自振交點(diǎn)mA＝a時(shí)A∞時(shí)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為實(shí)軸上（-0.5，-∞)。第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日a/A=0.24A=4.38A=4.38非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2穩(wěn)定自振交點(diǎn)m:第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日臨界狀態(tài)下，軌跡在負(fù)實(shí)軸上的交點(diǎn)nK=3第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、非線性特性的應(yīng)用非線性阻尼控制

非線性因素對(duì)線性系統(tǒng)的性能會(huì)帶來(lái)不利的影響，如有目的的引入非線性環(huán)節(jié)，可使系統(tǒng)性能大幅度提高，甚至達(dá)純到線性系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的效果第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日非線性阻尼下的階躍響應(yīng)未引入微分反饋引入微分反饋非線性阻尼第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日①試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；②如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。三、改善非線性系統(tǒng)性能舉例第三十九