高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)立體幾何初步第7章第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積————————————————————————————————[考綱傳真]了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式．1．多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S＝2πrlS＝πrlS＝π(r1＋r)l2圓柱側(cè)圓錐側(cè)圓臺側(cè)3.柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱表面積體積幾何體柱體(棱柱和圓柱)S＝S＋2SV＝Sh表面積側(cè)底13錐體(棱錐和圓錐)S＝S＋S表面積側(cè)底V＝Sh1(棱臺和圓臺)S＝S＋S＋SV＝(S＋S＋SS)h3表面積側(cè)上下上下上下臺體4V＝πR33球S＝4πR21．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(1)錐體的體積等于底面面積與高之積．(2)球的體積之比等于半徑比的平方．(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)()()()132(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝a.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmC．3cmB．2cm3D.cm2B[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr＝12π，∴r＝4，∴r＝2(cm)．]223．(2015·全國卷中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，其意思為墻角處堆放米(如圖7-2-1，米堆為一個圓錐的四分之一)，米8尺，5尺，米各為多少？”1斛米的體積約為1.62立方3，估算出堆放的米約有(Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書高五尺．問：積及為米幾何？”：“在屋內(nèi)堆底部的弧長為米堆的高為問米堆的體積和堆放的已知尺，圓周率約為)圖7-2-1A．14斛C．36斛B．22斛D．66斛π216πB[設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V11＝×43π·r2π161232093209·5＝××5≈(立方尺)．故堆放的米約有2π÷1.62≈22(斛)．故選B.]4．(2016·全國卷Ⅱ)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表2面積為()32B.π3A．12πC．8πD．4πA[設(shè)正方體棱長為a，則a3＝8，所以a＝2.所以正方體的體對角線長為23，所以正方體外接球的半徑為3，所以球的表面積為4π·(3)2＝12π，故選A.]5．(2017·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖7-2-2所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是________cm3.圖7-2-2[由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm的正方體與底面為邊長為232383323cm的正方形、高為2cm的四棱錐組成，V＝V正方體＋V四棱錐＝8cm3＋cm3＝cm3.]空間幾何體的表面積(1)某幾何體的三視圖如圖7-2-3所示，則該幾何體的表面積等于()3圖7-2-3A．8＋22B．11＋22D．15C．14＋22(2)(2016·全國卷Ⅰ)如圖7-2-4，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每28π3個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖7-2-4A．17πC．20πB．18πD．28π(1)B(2)A[(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示．直角梯形斜腰長為12＋12＝2，所以底面周長為4＋2，側(cè)面積為4＋2212＋2＋2＝8＋22，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3.所以該幾何體的表面積為8＋22＋3＝11＋22.414(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾4314πR3－×283何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR2＝17π.故選πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面83734積為×4πR2＋A.]8[規(guī)律方法]1.(1)多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積等于側(cè)面面積與底面面積之和．(2)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的處理．2．若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．[變式訓(xùn)練1](2016·全國卷Ⅲ)如圖7-2-5，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(【導(dǎo)學(xué)號：)31222245】圖7-2-5A．18＋365C．90B．54＋185D．81B[由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋185.故選B.]5空間幾何體的體積(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，2πAD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.2πB.4π33C.5πD．2π3(2)(2016·天津高考)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖7-2-6所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3.圖7-2-6(1)C(2)2[(1)過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示．由于V圓柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，1313π3V圓錐＝π·CE2·DE＝π·12×(2－1)＝，6π5πV＝V圓柱－V圓錐＝2π－＝33所以該幾何體的體積.(2)由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長為V＝Sh＝×2×1×3＝2.]2，對應(yīng)高為13131，所以其體積[規(guī)律方法]1.若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．2．若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法(轉(zhuǎn)換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．3．若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．[變式訓(xùn)練2]一個幾何體的三視圖如圖7-2-7所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.圖7-2-783π[由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底面半徑和高均為積為1，圓柱的底面半徑為1且其高為2，故所求幾何體的體1383V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.]多面體與球的切、接問題(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的7球．若⊥，＝6，＝8，＝3，則的最大值是()BCAAV1ABBCABA．4πC．6π9π2B.32π3D.B[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑1212為r.則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，則r＝2.此時(shí)2r＝4＞3，不合題意．因此球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大．3由2R＝3，即R＝.2439πR3＝π.]2故球的最大體積V＝[遷移探究1]若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積．[解]將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC-A′B′E′C′，則球O是長方體ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴體對角線BC′的長為球O的直徑．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[遷移探究2]若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積．[解]如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，8則在解得Rt△AOF中，(4－r)2＋(2)2＝r2，9r＝，443493243π16則球O的體積V球＝πr3＝π×＝.34[規(guī)律方法]1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．[變式訓(xùn)練3](2015·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點(diǎn)．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256π1R，∵∠AOB＝90°，∴S△＝R.22AOBC[如圖，設(shè)球的半徑為∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值，∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO-ABC最大，11VO-ABC最大為×32∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積9R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.故選C.][思想與方法]1．轉(zhuǎn)化與化歸思想：計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法．2．求體積的兩種方法：①割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高．[易錯與防范]1．求組合體的表面積時(shí)，要注意各幾何體重疊部分的處理，防止重復(fù)計(jì)算．2．底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺混淆，在識別時(shí)要緊扣定義，以防出錯．10課時(shí)分層訓(xùn)練(三十九)空間幾何體的表面積與體積A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.22πB.42π33C．22πD．42πB[依題意知，該幾何體是以2為底面半徑，2為高的兩個同底圓錐組成1342π.]3的組合體，則其體積V＝×22＝π(2)22．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體積為()【導(dǎo)學(xué)號：31222246】32π3A.B．4π4πC．2πD.3D[依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R，4π4π則2R＝12＋12＋22＝2，解得R＝1，所以V＝R＝.]3333．(2016·山東高考)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖7-2-8所示，則該幾何體的體積為()11圖7-2-812B.＋2π133A.＋π33C.＋2π136D．1＋62πC[由三視圖知，該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為22，從而該幾何體的體積為×12×1＋×1314212＝＋23π×2363π.故選C.]4．某幾何體的三視圖如圖7-2-9所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()【導(dǎo)學(xué)號：31222247】圖7-2-99A．2B.23C.2D．31D[由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝×(1＋2122)×2＝3，13∴V＝x·3＝3，解得x＝3.]5．(2016·江南名校聯(lián)考)一個四面體的三視圖如圖7-2-10所示，則該四面體的表面積是()圖7-2-10A．1＋3B．2＋3D．22C．1＋22B[四面體的直觀圖如圖所示．側(cè)面SAC⊥底面ABC，且△SAC與△ABC均為腰長是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接SO，BO，則SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，12故△SAB與△SBC均是邊長為2的正三角形，故該四面體的表面積為2××2×2＋2×43×(2)2＝2＋3.]二、填空題6．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的13新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為______．【導(dǎo)學(xué)號：31222248】7[設(shè)新的底面半徑為r，由題意得1313×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝7.]7．一個六棱錐的體積為23，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．12[設(shè)正六棱錐的高為h，棱錐的斜高為h′.1312由題意，得×6××2×3×h＝23，∴h＝1，1∴斜高h(yuǎn)′＝12＋32＝2，∴S側(cè)＝6××2×2＝12.]28．某幾何體的三視圖如圖7-2-11所示，則該幾何體的體積為________．圖7-2-11136π[由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱和半個圓錐組合而成的幾何體，1123136π.]其體積為π×12×2＋××1＝π×12三、解答題9．如圖7-2-12，在三棱錐D-ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱錐D-ABC的體積的最大值．14圖7-2-12[解]由題意知，線段AB＋BD與線段AC＋CD的長度是定值，∵棱AD與棱BC相互垂直，設(shè)d為AD到BC的距離，4分11則VD-ABC＝AD·BC×d××＝2d，23當(dāng)d最大時(shí)，VD-ABC體積最大.8分∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴當(dāng)AB＝BD＝AC＝CD＝5時(shí)，d有最大值42－1＝15.此時(shí)V＝215.12分10．四面體ABCD及其三視圖如圖7-2-13所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.圖7-2-13(1)求四面體ABCD的體積；(2)證明：四邊形EFGH是矩形．[解](1)由該四面體的三視圖可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，15∴AD⊥平面BDC，3分113223∴四面體ABCD的體積V＝××2×2×1＝.5分(2)證明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，8分∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.∴四邊形EFGH是矩形.12分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖7-2-14所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()圖7-2-1416A．1C．4B．2D．8B[如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表12面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.]2．三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體V積為V1，P-ABC的體積為V2，則V1＝________.214[設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.14∵D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，∴S△＝S△，BDEPBC1313△BDE·hSVV14∴＝A-DBE＝A-