精編初一數(shù)學(xué)競賽專題分類輔導(dǎo)全書(9個專題)

精編初一數(shù)學(xué)競賽專題分類輔導(dǎo)全書目錄整數(shù)的分拆與年號有關(guān)的競賽圖形與面積立體圖形列方程解應(yīng)用題應(yīng)用問題選講抽屜原理染色與賦值計數(shù)的方法與原理第1講整數(shù)的分拆整數(shù)的分拆，就是把一個自然數(shù)表示成為若干個自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，就是自然數(shù)的一個分拆。整數(shù)的分拆是古老而又有趣的問題，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，整數(shù)分拆的問題常常以各種形式出現(xiàn)，如，存在性問題、計數(shù)問題、最優(yōu)化問題等。例1電視臺要播放一部30集電視連續(xù)劇，若要求每天安排播出的集數(shù)互不相等，則該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？分析與解：由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，所以，在每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播放的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。我們知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，7時，那么七天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這余下的2集不能再單獨于一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過改動某一天或某二天播出的集數(shù)，來解決這個問題。例如，各天播出的集數(shù)安排為1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。所以最多可以播7天。說明：本題實際上是問，把正整數(shù)30分拆成互不相等的正整數(shù)之和時，最多能寫成幾項之和？也可以問，把一個正整數(shù)拆成若干個整數(shù)之和時，有多少種分拆的辦法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4，共有6種分拆法（不計分成的整數(shù)相加的順序）。例2有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問：有多少種不同的支付方法？分析與解：要付2角3分錢，最多只能使用4枚5分幣。因為全部1分和2分幣都用上時，共值12分，所以最少要用3枚5分幣。當(dāng)使用3枚5分幣時，5×3=15，23-15=8，所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3種支付方法。當(dāng)使用4枚5分幣時，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分幣，或不使用，從而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2種支付方法。總共有5種不同的支付方法。說明：本題是組合學(xué)中有限條件的整數(shù)分拆問題的一個特例。例3把37拆成若干個不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個最??？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10種不同拆法，其中3×5×29=435最小。說明：本題屬于迄今尚無普遍處理辦法的問題，只是硬湊。比37小的最大質(zhì)數(shù)是31，但37-31=6，6不能分拆為不同的質(zhì)數(shù)之和，故不取；再下去比37小的質(zhì)數(shù)是29，37-29=8，而8=3+5。其余的分拆考慮與此類似。例4求滿足下列條件的最小自然數(shù)：它既可以表示為9個連續(xù)自然數(shù)之和，又可以表示為10個連續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為11個連續(xù)自然數(shù)之和。解：9個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個數(shù)的9倍，10個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個數(shù)和第6個數(shù)之和的5倍，11個連續(xù)自然數(shù)之和是其中第6個數(shù)的11倍。這樣，可以表示為9個、10個、11個連續(xù)自然數(shù)之和的數(shù)必是5，9和11的倍數(shù)，故最小的這樣的數(shù)是［5，9，11］=495。對495進行分拆可利用平均數(shù)，采取“以平均數(shù)為中心，向兩邊推進的方法”。例如，495÷10=49.5，則10個連續(xù)的自然數(shù)為：45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。于是495=45+46+…+54。同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。例5若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里取出一個小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？分析與解：設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加到了b只，由于小明沒有發(fā)現(xiàn)有人動過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個小球的盒子，這只盒子里原來裝有（a+1）個小球。同理，現(xiàn)在另有一個盒子里裝有（a+1）個小球，這只盒子里原來裝有（a+2）個小球。依此類推，原來還有一只盒子裝有（a+3）個小球，（a+4）個小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)?，F(xiàn)在這個問題就變成了：將42分拆成若干個連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數(shù)？因為42=6×7，故可將42看成7個6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6個6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個加數(shù)。又因42=14×3，故可將42寫成13+14+15，一共有3個加數(shù)。又因42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個加數(shù)。于是原題有三個解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。例6機器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進行染色：凡能表示為兩個不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色（比如23可表示為兩個不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個不同合數(shù)之和，1染黃色）。問：被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個數(shù)是多少？請說明理由。解：顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6?？梢?，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應(yīng)染黃色。下面說明其它自然數(shù)n都要染紅色。（1）當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時，n=2k=4+2（k-2）由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）與4均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于10的偶數(shù)均能表示為兩個不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。（2）當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時，n=2k+1=9+2（k-4）由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）與9均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。綜上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個染為紅色的數(shù)是第（k+10）個自然數(shù)（k≥2）。所以第2000個染為紅色的數(shù)是2000+10=2010。下面看一類有規(guī)律的最優(yōu)化問題。例7把12分拆成兩個自然數(shù)的和，再求出這兩個自然數(shù)的積，要使這個積最大，應(yīng)該如何分拆？解：把12分拆成兩個自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六種方法。它們的乘積分別是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。顯然，把12分拆成6+6時，有最大的積6×6=36。例8把11分拆成兩個自然數(shù)的和，再求出這兩個自然數(shù)的積，要使這個積最大，應(yīng)該如何分拆？分析與解：把11分拆成兩個自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五種方法。它們的乘積分別是：1×10=10，2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30。顯然，把11分拆成5+6時，有最大的積5×6=30。說明：由上面的兩個例子可以看出，在自然數(shù)n的所有二項分拆中，當(dāng)n是偶數(shù)2m時，以分成m+m時乘積最大；當(dāng)n是奇數(shù)2m+1時，以分成m+（m+1）時乘積最大。換句話說，把自然數(shù)S（S＞1）分拆為兩個自然數(shù)m與n的和，使其積mn最大的條件是：m=n，或m=n+1。在具體分析時，當(dāng)S為偶數(shù)時，；當(dāng)S為奇數(shù)時，分別為。例9試把1999分拆為8個自然數(shù)的和，使其乘積最大。分析：反復(fù)使用上述結(jié)論，可知要使分拆成的8個自然數(shù)的乘積最大，必須使這8個數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1。解：因為1999=8×249+7，由上述分析，拆法應(yīng)是1個249，7個250，其乘積249×2507為最大。說明：一般地，把自然數(shù)S=pq+r（0≤r＜p，p與q是自然數(shù)）分拆為p個自然數(shù)的和，使其乘積M為最大，則M為qp-r×（q+1）r。例10把14分拆成若干個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得到的積最大，應(yīng)該把14如何分拆？這個最大的乘積是多少？分析與解：我們先考慮分成哪些數(shù)時乘積才能盡可能地大。首先，分成的數(shù)中不能有1，這是顯然的。其次，分成的數(shù)中不能有大于4的數(shù)，否則可以將這個數(shù)再分拆成2與另外一個數(shù)的和，這兩個數(shù)的乘積一定比原數(shù)大，例如7就比它分拆成的2和5的乘積小。再次，因為4=2×2，故我們可以只考慮將數(shù)分拆成2和3。注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的數(shù)中若有三個2，則不如換成兩個3，換句話說，分成的數(shù)中至多只能有兩個2，其余都是3。根據(jù)上面的討論，我們應(yīng)該把14分拆成四個3與一個2之和，即14=3+3+3+3+2，這五數(shù)的積有最大值3×3×3×3×2=162。說明：這類問題最早出現(xiàn)于1976年第18屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克試卷中。該試卷第4題是：若干個正整數(shù)的和為1976，求這些正整數(shù)的積的最大值。答案是2×3658。這是由美國提供的一個題目，時隔兩年，它又出現(xiàn)在美國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中。1979年美國第40屆普特南數(shù)學(xué)競賽A-1題是：求出正整數(shù)n及a1，a2，…，an的值，使a1+a2+…+an=1979且乘積最大。答案是n=660。1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽第一題的第6題是：將1992表示成若干個自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是____。答案：這些數(shù)應(yīng)是664個3。上述三題的邏輯結(jié)構(gòu)并不隨和的數(shù)據(jù)而改變，所以分別冠以當(dāng)年的年份1976，1979和1992，這種改換數(shù)據(jù)的方法是數(shù)學(xué)競賽命題中最簡單的方法，多用于不同地區(qū)不同級別不同年份的競賽中，所改換的數(shù)據(jù)一般都是出于對競賽年份的考慮。將上述三題的結(jié)論推廣為一般情形便是：把自然數(shù)S（S＞1）分拆為若干個自然數(shù)的和：S=a1+a2+…+an，則當(dāng)a1，a2，…，an中至多有兩個2，其余都是3時，其連乘積m=a1a2…an有最大值。例11把1993分拆成若干個互不相等的自然數(shù)的和，且使這些自然數(shù)的乘積最大，該乘積是多少？解：由于把1993分拆成若干個互不相等的自然數(shù)的和的分法只有有限種，因而一定存在一種分法，使得這些自然數(shù)的乘積最大。若1作因數(shù)，則顯然乘積不會最大。把1993分拆成若干個互不相等的自然數(shù)的和，因數(shù)個數(shù)越多，乘積越大。為了使因數(shù)個數(shù)盡可能地多，我們把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。若和比1993大1，則因數(shù)個數(shù)至少減少1個，為了使乘積最大，應(yīng)去掉最小的2，并將最后一個數(shù)（最大）加上1。若和比1993大k（k≠1），則去掉等于k的那個數(shù)，便可使乘積最大。所以n=63。因為2015-1993=22，所以應(yīng)去掉22，把1993分成（2+3+…+21）+（23+24+…+63）這一形式時，這些數(shù)的乘積最大，其積為2×3×…×21×23×24×…×63。說明：這是第四屆“華杯賽”武漢集訓(xùn)隊的一道訓(xùn)練題，在訓(xùn)練學(xué)生時，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生不加思索地沿用例10的思考方法，得出答案是3663×4，而忽視了題中條件“分成若干個互不相等的自然數(shù)的和”。由此可見，認(rèn)真審題，弄清題意的重要性。例12將1995表示為兩個或兩個以上連續(xù)自然數(shù)的和，共有多少種不同的方法？分析與解：為了解決這個問題，我們設(shè)1995可以表示為以a為首項的k(k＞1）個連續(xù)自然數(shù)之和。首項是a，項數(shù)為k，末項就是a+k-1，由等差數(shù)列求和公式，得到化簡為：(2a+k-1）×k=3990。(*)注意，上式等號左邊的兩個因數(shù)中，第一個因數(shù)2a+k-1大于第二個因數(shù)k，并且兩個因數(shù)必為一奇一偶。因此，3990有多少個大于1的奇約數(shù)，3990就有多少種形如（*）式的分解式，也就是說，1995就有多少種表示為兩個或兩個以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。因為1995與3990的奇約數(shù)完全相同，所以上述說法可以簡化為，1995有多少個大于1的奇約數(shù)，1995就有多少種表示為兩個或兩個以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。1995=3×5×7×19，共有15個大于1的奇約數(shù)，所以本題的答案是15種。一般地，我們有下面的結(jié)論：若自然數(shù)N有k個大于1的奇約數(shù)，則N共有k種表示為兩個或兩個以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法。知道了有多少種表示方法后，很自然就會想到，如何找出這些不同的表示方法呢？從上面的結(jié)論可以看出，每一個大于1的奇約數(shù)對應(yīng)一種表示方法，我們就從1995的大于1的奇約數(shù)開始。1995的大于1的奇約數(shù)有：3，5，7，15，19，21，35，57，95，105，133，285，399，665，1995。例如，對于奇約數(shù)35，由（*）式，得：3990=35×114，因為114＞35，所以k=35，2a+k-1=114，解得a=40。推知35對應(yīng)的表示方法是首項為40的連續(xù)35個自然數(shù)之和，即：1995=40+41+42+…+73+74。再如，對于奇約數(shù)399，由（*）式，得3990=399×10因為399＞10，所以k=10，2a+k-1=399，解得a=195。推知399對應(yīng)的表示方法是首項為195的連續(xù)10個自然數(shù)之和，即：1995=195+196+197+…+204。對于1995的15個大于1的奇約數(shù)，依次利用（*）式，即可求出15種不同的表示方法。練習(xí)41．將210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5。第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是幾？2．將135個人分成若干個小組，要求任意兩個組的人數(shù)都不同，則至多可以分成多少組？3．把19分成幾個自然數(shù)（可以相同）的和，再求出這些數(shù)的乘積，并且要使得到的乘積盡可能大，最大乘積是多少？4．把1999分拆成兩個自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時，一共有多少種不同的分拆方法？求出這兩個自然數(shù)的積，要使這個積最大，應(yīng)將1999如何分拆？5．把456表示成若干個連續(xù)自然數(shù)的和。要求寫出所有的表達(dá)式（如9可以有兩種表達(dá)形式：9=4+5=2+3+4）。6．幾個連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于2000嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫出這些答案。如果不能，說明理由。7．把70分拆成11個不同自然數(shù)的和，這樣的分拆方式一共有多少種？將不同的表示方法列舉出來。8．有一把長為13厘米的直尺，在上面刻幾條刻度線，使得這把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的長度。問：至少要刻幾條線？要刻在哪些位置上？練習(xí)4答案1．15，40。解：這7個數(shù)中第4個數(shù)是中間數(shù)，它是這7個數(shù)的平均數(shù)，即210÷7=30。因為相鄰2數(shù)的差都是5，所以這7個數(shù)是15，20，25，30，35，40，45。故第1個數(shù)是15，第6個數(shù)是40。2．15組。解：因為要求任意兩個組的人數(shù)不相等，且分得的組要盡可能地多，所以，要使每個組分得的人數(shù)盡可能地少。由于1+2+3+4+…+14+15=120，所以將135人分成每組人數(shù)不等的15個組后還余15人。剩下的15人不能再組成一個或幾個新的小組，否則就會出現(xiàn)兩個或兩個以上的組的人數(shù)相等的情況。因此，應(yīng)將剩下的15人安插在已分好的15個組之中，所以至多可以分成15個組。這15個組各組人數(shù)可以有多種情況，例如，分別是2，3，4，5，6，…，14，15，16人。3．972。解：要使乘積盡可能大，把19分成的幾個自然數(shù)中，3要盡量多且不能有1，所以應(yīng)把19分成5個3及1個4的和。最大乘積為35×4=972。4．有999種方法，分成999+1000時積最大。5．提示：456有三個大于1的奇約數(shù)3，19，57。利用例12的方法可得：對于3，有k=3，a=151；對19，有k=19，a=15；對于57，有k=16，a=21。所以456有如下三種分拆方法：456＝151+152+153＝21+22+23+…+39＝15+16+17+…+33。6．能。提示：與例12類似，2000=24×53，有三個大于1的奇約數(shù)5，25，125。對于5，有k=5，a=398；對于25，有k=25，a=68；對于125，有k=32，a=47。所以2000共有如下三種分拆方法：2000＝398+399+400+401+402＝68+69+70+…+91+92＝47+48+49+…+77+78。7．5種。解：1+2+3+…+11=66，現(xiàn)在要將4分配到適當(dāng)?shù)募訑?shù)上，使其和等于70，又要使這11個加數(shù)互不相等。先將4分別加在后4個加數(shù)上，得到4種分拆方法：70＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11＝1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11＝1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。再將4拆成1+3，把1和3放在適當(dāng)?shù)奈恢蒙希瑑H有1種新方法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。再將4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2，分別加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故這樣的分拆方法一共有5種。8．至少要刻4條線，例如刻在1，4，5，11厘米處，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的長度。這是因為由1，4，5，11，13這5個數(shù)以及它們之間任意2個的差能夠得到1到13這13個整數(shù)，見下列各式：5-4=1，13-11=2，4-1=3，11-5=6，11-4=7，13-5=8，13-4=9，11-1＝10，13-1＝12。下面我們來證明，只有3個刻度是不夠的。如果只刻了3條線，刻在a厘米、b厘米、c厘米處（0＜a＜b＜c＜13），那么a，b，C，13兩兩之差（大減?。挥兄炼?個不同的數(shù)：13-a，13-b，13-c，c-a，c-b，b-a，再加上a，b，c，13這4個數(shù)，至多有10個不同的數(shù)，不可能得到1到13這13個不同的整數(shù)來。順便說明一下，刻法不是唯一的。例如我們也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米這4個位置上。第2講與年號有關(guān)的競賽題在數(shù)學(xué)競賽中，?？梢钥吹侥承╊}目中出現(xiàn)了當(dāng)年的年號，這類題我們稱之為“年號題”。這類題趣味性強，時間性強，引起了參加競賽的少年朋友很大的興趣?！澳晏栴}”一般可分成兩類，一類是題目的條件中出現(xiàn)了當(dāng)年的年號，另一類是題目答案中出現(xiàn)了當(dāng)年的年號。下面我們分別舉例說明這兩類問題的解法。一、題目條件中出現(xiàn)年號的問題1．題目在編制和解答中巧妙地運用了該年年號的數(shù)字特征，如年號數(shù)值的質(zhì)因數(shù)分解式、是否質(zhì)數(shù)、它的數(shù)的整除性等等。例1將19到80的兩位數(shù)順次排成數(shù)A＝19202122…7980。問：這個數(shù)A能否被1980整除？解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。能被20整除是顯然的。因為99除100的任何次方所得的余數(shù)都是1，所以A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80除以99的余數(shù)與B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余數(shù)相同。因為99|B，所以99|A。于是A能被1980整除。例2用S（n）表示自然數(shù)n的各位數(shù)字之和，又n+S（n）=1999，求自然數(shù)n。11x+2y＝89。注意到x是奇數(shù)且x，y都是一位整數(shù)，不難求得x=7，y=6，從而n=1976。例3在3×3的九宮格中，填上9個不同的自然數(shù)，使得每行三數(shù)相乘，每列三數(shù)相乘所得的6個乘積都等于P。試確定P能取1996，1997，1998，1999，2000，2001這6個數(shù)中的哪些值。解：所填的9個數(shù)應(yīng)為P的9個不同約數(shù)，又P不能填入九宮格內(nèi)，故P的不同約數(shù)的個數(shù)應(yīng)不小于10。1996=22×499，有6個約數(shù)；1997和1999是質(zhì)數(shù)，各有2個約數(shù)；1998=2×33×37，有16個約數(shù)；2000=24×53，有20個約數(shù)；2001=3×23×29，有8個約數(shù)。顯然P不能取1996，1997，1999和2001。當(dāng)P=1998和2000時，有下圖的填法（填法不唯一），故P可取1998和2000。例4有1999塊邊長為1的正方塊，求滿足下述條件的有蓋箱子的尺寸：（1）長、寬、高均大于1；（2）將正方塊放入箱子中時，能合上蓋子，并且使空隙最?。唬?）在保證（1）（2）的前提下，使箱子的表面積最小。解：由于1999是質(zhì)數(shù)且2000=24×53，故空隙最小的箱子的體積應(yīng)是2000。表面積最小的箱子應(yīng)是各邊長相差盡量小的長方體。將2000分解成三個盡量接近的三個數(shù)的乘積是：2000＝10×10×20，所以表面積最小的箱子的長、寬、高應(yīng)為10，10，20。2．題目中的年號數(shù)是可以換成任意的自然數(shù)n的，它只不過是編制時僅僅用具體的年號數(shù)來代替n。對于這種情況要善于透過表面看本質(zhì)，做過后要將特殊推廣到一般。例5若兩個不相等的自然數(shù)的倒數(shù)的和的一半等于，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)為x，y，且x＞y。比較①②兩式，取n=1999，有2x=1999×2000，2y=1999+1，于是x=1999000，y=1000。例6有一張1949×2000的長方形方格紙，方格邊長為1。問：這個長方形的一條對角線穿過多少個方格？解：由于1949與2000是互質(zhì)數(shù)，故對角線在長方形內(nèi)不經(jīng)過任何一個格點。對角線與縱向的1950條線有1950個交點，與橫向的2001條線有2001個交點。去掉重復(fù)計算的對角線兩個端點，它與縱橫線共有1950+2001-2=3949（個）交點，交點間有3948條線段，即對角線穿過3948個小方格。例7有兩個容器A和B，A中裝有1升水，B是空的。先將容器A中的水的倒入容器B，然后將容器B中的水的倒入容器A，再將容器A中的水的倒入容器B…如此繼續(xù)，這樣倒了1999次以后，A中還有水多少升？解：設(shè)an和bn分別表示倒了n次以后A中和B中水的升數(shù)，顯然an+bn=1。列表觀察如下：說明：如果求倒了2000次以后，A中還剩多少水，那么可進一步計算如下：例8從自然數(shù)列1，2，3，4，…中依次劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)，保留5的倍數(shù)（例如15，20都不劃去），將剩下的數(shù)依次寫成數(shù)列A1＝1，A2＝2，A3＝5，A4=7，…求A2000。解：3，4，5的最小公倍數(shù)是60，在連續(xù)的60個自然數(shù)中，3的倍數(shù)有60÷3=20（個），4的倍數(shù)有60÷4=15（個），12的倍數(shù)有60÷12=5（個），15的倍數(shù)有60÷15=4（個），20的倍數(shù)有60÷20=3（個），60的倍數(shù)有1個。于是由容斥原理得到，連續(xù)60個自然數(shù)中，按題設(shè)要求劃去各數(shù)后還剩下60-（20+15）+（5+4+3）-1=36（個）。2000÷36=55……20。因為在1～34中可以剩下20個數(shù)，所以剩下的第2000個數(shù)是A2000=60×55+34＝3334。二、題目答案中出現(xiàn)年號的題這類問題和一般的數(shù)學(xué)題沒有什么區(qū)別，都要運用數(shù)字運算的規(guī)律和特征，借助邏輯推理求得問題的解決。例9將我家門牌號碼倒置著看是一個四位數(shù)，它比原來的號碼大7875，我家門牌號碼是多少？解：倒置后仍有意義的數(shù)有0，1，6，8，9。設(shè)門牌號碼正著看是于是門牌號碼為1986。例10有一個小于2000的四位數(shù)，它恰好含有14個因數(shù)，其中有一個質(zhì)因數(shù)的末位數(shù)字是1，求這個四位數(shù)。解：因為14=2×7，所以這個四位數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式為因為46=4096＞2000，所以P2≤3。故P1的末位數(shù)為1。若P2=3，則m=P1×36≥11×36＞2000，舍去。故P2=2。若P1=11，則m=64×11=704，不是四位數(shù)。若P1≥41，則m≥64×41＞2000，與題設(shè)不符。當(dāng)P1=31時，m=64×31=1984。這是本題的唯一解。例11在20世紀(jì)的最后10年中，恰有一年年號的不同約數(shù)的個數(shù)比1990的約數(shù)個數(shù)少2，求該年號所有不同正約數(shù)的積。解：用T（A）表示A的不同約數(shù)個數(shù)。1990=2×5×199，T（1990）=（1+1）×（1+1）×（1×1）=8；1991＝11×181，T（1991）=（1+1）×（1+1）=4；1992＝23×3×83，T（1992）=（3+1）×（1+1）×（1×1）=16；1993是質(zhì)數(shù)，T（1993）=2；1994＝2×997，T（1994）=（1+1）×（1+1）=4；1995＝3×5×7×9，T（1995）=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16；1996＝22×499，T（1996）＝（2+1）×（1+1）＝6。故所求年號數(shù)為1996，其所有不同正約數(shù)之積為1×2×22×499×（2×499）×1996＝19962。例12平面上有1001個點，如果每兩點連一條線段，并把中點染成紅色，那么平面上至少有多少個紅點？解：在所有點中，找出距離最大的兩點A和B，分別以A，B為圓心，以AB的長度的一半為半徑作兩個圓。對余下的999個點中的任一點P，因為所以AP的中點在⊙A內(nèi)，或在圓周上。又因為余下的999個點是不同的的點，它們與A的中點也互不相同，所以在⊙A（含圓周）中至少有999個紅點，這999個紅點與AB的中點不重疊。同理，在⊙B中也至少有999個紅點。再加上AB的中點，平面上至少有2×999+1=1999（個）紅色的點。練習(xí)5。2．2001個棱長為1厘米的正方體可以壘成多少種不同長方體？3．梯形的上底、下底及兩腰的長分別是1，9，8，8。這個梯形的四個角的大小分別是多少？4．將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)?，F(xiàn)有一個四位數(shù)M，它比新數(shù)中的最大數(shù)小7983，比新數(shù)中的最小數(shù)大99，求這個四位數(shù)。5．有一個四位數(shù)N，它小于3000，且滿足下列條件：（1）N中含有兩個質(zhì)因數(shù)3，且只含有兩個質(zhì)因數(shù)3；（2）N—1中含有兩個質(zhì)因數(shù)2，且只含有兩個質(zhì)因數(shù)2；（3）N和N—1都不含質(zhì)因數(shù)5；（4）N的十位數(shù)字比個位數(shù)字小1。求這個四位數(shù)。6．設(shè)P和q為自然數(shù)，已知，判斷P是否是1999的倍數(shù)。7．自1986開始寫下一串?dāng)?shù)字：1986475282796…其中前四個數(shù)字后的每一個數(shù)字等于它前面四個數(shù)字之和的末位數(shù)字。問：在這一串?dāng)?shù)字中會不會出現(xiàn)連續(xù)四個數(shù)，恰好是1，9，9，8？8．規(guī)定一種運算“～”，a～b表示兩個數(shù)a和b的差（大減?。?。例如：5～3=2，7～10=3，6～6=0。已知x1，x2，…，x2000，是1，2，…，2000的一個排列，求（x1～1）+（x2～2）+…+（x2000～2000）的最大值。練習(xí)5答案：2．4種。解：2001=3×23×29=1×69×29=1×23×87＝1×3×667。3．60°，60°，120°，120°。解：如右圖，將梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，顯然這個三角形是等邊三角形，它的每個角都是60°，從而梯形的各個角分別為60°，60°，120°，120°。4．1998。由上式知，a=9，d=1，b-c=1。這個四位數(shù)等于這個四位數(shù)是1998。5．1989。知d≠5且d≠1，從而d可能為3，7或9，于是c可能等于2，6或8。a+b-1是9的倍數(shù)。若a=2，則b=8，此時N=2889，N-1=2888是8的倍數(shù)，與（2）矛盾。若a=1，則b=0或9，此時N=1089或1989。當(dāng)N＝1089時，N是27的倍數(shù)與（1）矛盾。經(jīng)驗算，僅1989符合題意。所以這個四位數(shù)是1989。6．是。在等式的兩邊同時乘以1332?。?×2×3×…×1332，由于1999是質(zhì)數(shù)，且1332＜1999，故在1332！中沒有一個大于1的約數(shù)能整除1999，因此只有P能被1999整除。7．不會。解：將這串?dāng)?shù)按奇偶性寫出來是：1986偶奇奇偶偶偶奇奇偶……容易看出，其中每連續(xù)五個數(shù)字中有兩奇三偶，而且三個偶數(shù)是連在一起的，故在這一串?dāng)?shù)字中不會出現(xiàn)連續(xù)四個數(shù)，恰好是1，9，9，8。8．2000000。解：每一個（xn～n）變成普通減法后是將xn和n中較大的一個減較小的一個，故在x1，x2，…，x2000，1，2，…，2000這2×2000個數(shù)中有2000個是被減數(shù)，有2000個是減數(shù)，我們要使上式的結(jié)果最大，就應(yīng)該使較大的數(shù)成為被減數(shù)，較小的數(shù)成為減數(shù)。于是在每一個（xn～n）中，大于999的兩個數(shù)不能排在一起，小于999的兩個數(shù)也不能排在一起。取x1=2000，x2=1999，…，x2000=1就可以得到這個最大值：2×[（2000-1）+（1999-2）+…+（1001-1000]＝2×[（2000-1000）+（1999-999）+…+（1001-1）]第3講圖形與面積一、直線圖形的面積在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了幾種簡單圖形的面積計算方法，數(shù)學(xué)競賽中的面積問題不但具有直觀性，而且變換精巧，妙趣橫生，對開發(fā)智力、發(fā)展能力非常有益。圖形的面積是圖形所占平面部分的大小的度量。它有如下兩條性質(zhì)：1．兩個可以完全重合的圖形的面積相等；2．圖形被分成若干部分時，各部分面積之和等于圖形的面積。對圖形面積的計算，一些主要的面積公式應(yīng)當(dāng)熟記。如：正方形面積=邊長×邊長；矩形面積=長×寬；平行四邊形面積=底×高；三角形面積=底×高÷2；梯形面積=（上底+下底）×高÷2。此外，以下事實也非常有用，它對提高解題速度非常有益。1．等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積；2．三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積；3．平行四邊形的對角線平分它的面積；4．等底等高的兩個三角形面積相等。解決圖形面積的主要方法有：1．觀察圖形，分析圖形，找出圖形中所包含的基本圖形；2．對某些圖形，在保持其面積不變的條件下改變其形狀或位置（叫做等積變形）；3．作出適當(dāng)?shù)妮o助線，鋪路搭橋，溝通聯(lián)系；4．把圖形進行割補（叫做割補法）。例1你會用幾種不同的方法把一個三角形的面積平均分成4等份嗎？解：最容易想到的是將△ABC的底邊4等分，如左下圖構(gòu)成4個小三角形，面積都為原來的三角形面積的。另外，先將三角形△ABC的面積2等分（如右上圖），即取BC的中點D，連接AD，則S△ABD=S△ADC，然后再將這兩個小三角形分別2等分，分得的4個小三角形各自的面積為原來大三角形面積的。還有許多方法，如下面的三種。請你再想出幾種不同的方法。例2右圖中每個小方格面積都是1cm2，那么六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？分析：解決這類問題常用割補法，把圖形分成幾個簡單的容易求出面積的圖形，分別求出面積。也可以求出六邊形外空白處的面積，從總面積中減去空白處的面積，就是六邊形的面積。解法1：把六邊形分成6塊：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面積，如用S△ABC表示△ABC的面積。故六邊形ABCDEF的面積等于6+2+1++4+9=說明：當(dāng)某些圖形的面積不容易直接計算時，可以把這個圖形分成幾個部分，計算各部分的面積，然后相加，也就是說，可以化整為零。解法2：先求出大正方形MNRQ的面積為6×6=36（cm2）。說明：當(dāng)某些圖形的面積不易直接計算時，可以先求出一個比它更大的圖形的面積，再減去比原圖形多的那些（個）圖形的面積，也就是說，先多算一點，再把多算的部分減去。解法3：六邊形面積等于S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF=6×2×+（3+6）×4×-3×1×=6+18-1=說明：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，從不同的角度去觀察同一個圖形，會對圖形產(chǎn)生不同的認(rèn)識。一種新的認(rèn)識的產(chǎn)生往往會伴隨著一種新的解法。做題時多想一想，解法就會多起來，這對鍛煉我們的觀察能力與思考能力大有益處。例3如下圖所示，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是4cm2，△CED的面積是6cm2。問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？解：如下圖，連結(jié)BF。則△BDF與△CFD面積相等，減去共同的部分△DEF，可得△BEF與△CED面積相等，等于6cm2。四邊形ABEF的面積等于S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。問：兩塊紅色圖形的面積和與兩塊藍(lán)色圖形的面積和，哪個大？分析：只需比較△ACE與△BDF面積的大小。因為△ACE與△BDF的高相等（都是CD），所以只需比較兩個三角形的底AE與BF的大小。因為△ACE與△BDF高相等，所以S△ACE＞S△BDF。減去中間空白的小四邊形面積，推知兩塊紅色圖形的面積和大于兩塊藍(lán)色圖形的面積和。例5在四邊形ABCD中（見左下圖），線段BC長6cm，∠ABC為直角，∠BCD為135°，而且點A到邊CD的垂線段AE的長為12cm，線段ED的長為5cm，求四邊形ABCD的面積。解：延長AB，DC相交于F（見右上圖），則∠BCF=45°，∠FBC=90°，從而∠BFC=45°。因為∠BFC=∠BCF，所以BF=BC=6（cm）。在Rt△AEF中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，從而EF=AE=12（cm）。故S四邊形ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84（cm2）。說明：如果一個圖形的面積不易直接求出來，可根據(jù)圖形的特征和題設(shè)條件的特點，添補適當(dāng)?shù)膱D形，使它成為一個新的易求出面積的圖形，然后利用新圖形面積減去所添補圖形的面積，求出原圖形面積。這種利用“補形法”求圖形面積的問題在國內(nèi)外初中、小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中已屢見不鮮。例6正六邊形ABCDEF的面積是6cm2，M，N，P分別是所在邊的中點（如上圖）。問：三角形MNP的面積是多少平方厘米？解法1：如左下圖，將正六邊形分成6個面積為正1cm2的正三角形，將另外三個面積為1cm2的正三角形分別拼在邊BC，DE，AF外面，得到一個大的正三角形XYZ，其面積是9cm2。這時，M，N，P分別是邊ZX，YZ，Xy的中點，推知解法2：如右上圖，將正六邊形分成6個面積為1cm2的正三角形，再取它們各邊的中點將每個正三角形分為4個面積為的小正三角形。于是正六邊形ABCDEF被分成了24個面積為的小正三角形。因為△MNP由9個面積為的小正三角形所組成，所以S△MNP=×9=2.25（cm2）二、圓與組合圖形以上我們討論了有關(guān)直線圖形面積計算的種種方法?，F(xiàn)在我們繼續(xù)討論涉及圓的面積計算。1．圓的周長與面積計算圓的周長與面積，有的直接利用公式計算，有的需要經(jīng)過觀察分析后靈活運用公式計算。主要公式有：（1）圓的周長=π×直徑=2π×半徑，即C=πd=2πr；（2）中心角為n°的弧的長度=n×π×（半徑）÷180，即1=（3）圓的面積=π×（半徑）2，即S=πr2；（4）中心角為n°的扇形面積=n×π×（半徑）2÷360，即例7右圖是三個半圓（單位：cm），其陰影部分的周長是多少？解：由圖可知，陰影部分是由三個直徑不同的半圓周所圍成，所以其周長為說明：實際上，該圖形中兩個小半圓的直徑之和等于大半圓的直徑，因而它們的周長也正好等于大半圓的半圓周。推而廣之，若n個小圓的直徑之和等于大圓的直徑，即：d1+d2+d3+…+dn=D，那么這些小圓的周長之和也等于大圓的周長，即πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。例8某開發(fā)區(qū)的大標(biāo)語牌上，要畫出如下圖所示（圖形陰影部分）的三種標(biāo)點符號：句號、逗號、問號。已知大圓半徑為R，小圓半徑為r，且R=2r。若均勻用料，則哪一個標(biāo)點符號的油漆用得多？哪一個標(biāo)點符號的油漆用得少？分析：在均勻用料的情形下，油漆用量多少問題可轉(zhuǎn)化為陰影部分的面積大小問題。現(xiàn)在涉及到的基本圖形是圓，弄清陰影部分如何由大小圓分割、組合而成，是解該題的關(guān)鍵點和突破口。解：因為S句號=S大圓-S小圓=πR2-πr2=π（2r）2-πr2=3πr2說明：留意我們的日常生活，不同于課本的“非常規(guī)”問題隨處可見，如何把“非常規(guī)”問題轉(zhuǎn)化為或近似地轉(zhuǎn)化為“常規(guī)”數(shù)學(xué)問題，需要細(xì)心觀察、積極思考，考察轉(zhuǎn)化的可能性和轉(zhuǎn)化的途徑。像上例那樣，認(rèn)真分析圖形的特征和課本圖形的基本關(guān)系，進一步探討能否由基本圖形分割而成、組合而成。2．圓與組合圖形在日常生活中，除了經(jīng)常遇到直線型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲線型（如圓、扇形等）的面積外，還經(jīng)常遇到不同形狀圖形疊加而成的組合圖形的面積問題。組合圖形的面積計算，可以根據(jù)幾何圖形的特征，通過分割、割補、平移、翻折、對稱、旋轉(zhuǎn)等方法，化復(fù)雜為簡單，變組合圖形為基本圖形的加減組合。例9下圖中，ABCD是邊長為a的正方形，分別以AB，BC，CD，DA為直徑畫半圓。求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積。解：圖中陰影部分是由四個半圓的重疊部分構(gòu)成的，這四個半圓的直徑圍成一個正方形。顯然，這四個半圓的面積之和大于正方形的面積，兩者的差就是陰影部分的面積。因此，我們就得到以下的算式：說明：此例除了用上面的解法外，還可以采用列方程解應(yīng)用題的方法來解。如題圖，設(shè)x和y分別表示相應(yīng)部分的面積，由圖看出

例10如左下圖所示，平行四邊形的長邊是6cm，短邊是3cm，高是2.6cm，求圖中陰影部分的面積。分析：本題的圖形比較復(fù)雜，我們可以先計算陰影部分的一半（見右上圖）。我們的目標(biāo)是把圖形分解成若干基本圖形的組合或疊合。本題中的基本圖形就是大、小兩種扇形，以及平行四邊形。仔細(xì)觀察后得出結(jié)論：右上圖中的陰影部分等于說明：求一個不規(guī)則圖形的面積，要設(shè)法找出它與規(guī)則圖形面積的關(guān)系，化不規(guī)則為規(guī)則。例11求右圖中陰影部分的面積（單位：cm）。分析與解：本題可以采用一般方法，也就是分別計算兩塊陰影部分面積，再加起來，但不如整體考慮好。我們可以運用翻折的方法，將左上角一塊陰影部分（弓形）翻折到半圓的右上角（以下圖中虛線為折痕），把兩塊陰影部分合在一起，組成一個梯形（如右圖所示），這樣計算就很容易。本題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)右上角，得到同樣的一個梯形。說明：當(dāng)某些圖形的面積不易直接計算時，可以把這個圖形的各個部分適當(dāng)拼接成一個易于直接計算的圖形。也就是說，可以化零為整。上述解法運用翻折（或旋轉(zhuǎn)）的方法達(dá)到了化零為整的目的。例12已知右圖中正方形的面積是12cm2，求圖中里外兩個圓的面積。分析：計算圓面積，要知道半徑。先考慮內(nèi)圓面積。內(nèi)圓的直徑與正方形的邊長相等，但正方形的邊長是未知的。根據(jù)已知正方形的面積是12cm2，可以推出內(nèi)圓直徑的平方為12cm2，再求內(nèi)圓面積就不難了。外圓的直徑是正方形的對角線，設(shè)外圓半徑為R，則正方形面積等于由一條對角線分成的兩個等腰直角三角形的面積之和。再由正方形面積=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12，便可求出外圓面積。解：設(shè)內(nèi)圓半徑為r，由正方形面積為12cm2，正方形邊長為2r，得（2r）2=12，r2=3。內(nèi)圓面積為πr2=3.14×3=9.42（cm2）。正方形面積=2個等腰直角三角形面積=，得R2=6，外圓面積為πR2=3.14×6=18.84（cm2）。練習(xí)61．如右圖所示，正方形的面積是50cm2，三角形ABC兩條直角邊中，長邊是短邊的2.5倍，求三角形ABC的面積。2．如右下圖所示，長方形ABCD中，AB=24cm，BC=36cm，E是BC的中點，F(xiàn)，G分別是AB，CD的4等分點，H為AD上任意一點。求陰影部分面積。3．在右圖的4×7的方格紙板上畫有如陰影所示的“6”字，陰影邊緣是線段或圓孤。問：陰影面積占紙板面積的幾分之幾？4．在右下圖中，六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積。5．在右圖中，涂陰影部分的小正六角星形面積是16cm2。問：大正六角星形面積是多少平方厘米？6．一個周長是56cm的大長方形，按右面圖1與圖2所示那樣，劃分為4個小長方形。在圖1中小長方形面積的比是A∶B=1∶2，B∶C=1∶2。而在圖2中相應(yīng)的比例是A'∶B'=1∶3，B'∶C'=1∶3。又知，長方形D'的寬減去D的寬所得到的差，與D'的長減去D的長所得到的差之比為1∶3。求大長方形的面積。7．有兩張正方形紙，它們的邊長都是整厘米數(shù)，大的一張的面積比小的一張多44cm2。大、小正方形紙的邊長分別是少？8．用面積為1，2，3，4的4張長方形紙片拼成如右圖所示的一個大長方形。問：圖中陰影部分面積是多少？練習(xí)6答案：1．10cm2解：畫兩條輔助線如左下圖。根據(jù)條件可知，正方形面積是長方形ABCD面積的2.5倍。從而ABCD的面積是50÷2.5＝20（cm2）。所以△ABC的面積是20÷2=10（cm2）2．324cm2。解：連結(jié)BH?！鰾EH的面積為把△BHF和△DHG結(jié)合起來考慮，這兩個三角形的底BF，DG相等，且都等于長方形寬的，它們的高AH與DH之和正好是長方形的長，所以這兩個三角形的面積之和是=××24×36=108。圖中陰影部分的面積為216+108=324（cm2）。非陰影共6個，也有6個，剛好拼成6個小正方形。因此陰影部分有28-6-3=19（個）小正方形。4．31。解：如右圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形。根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，采用數(shù)小三角形的辦法來計算面積。S△PEF＝3，S△CDE＝9，S四邊形ABQp＝11。上述三塊面積之和為3+9+11=23。因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31。5．48cm2。解：如下頁右上圖，陰影部分小正六角星形可分成12個與三角形OPN全等（能完全重疊在一起）的小三角形。三角形OPN的面積是。正三角形OPM面積是由3個與三角形OPN全等的三角形組成。所以，正三角形OPM的面積等于由于大正六角星形由12個與正三角形OPM全等的三角形組成，所以大正六角星形的面積是4×12=48（cm2）。6．160cm2。解：設(shè)大長方形的寬為xcm，則長為（28-x）cm。因為D寬=，D′寬=，D長=，D′長=，所以D′寬-D寬=，D′長-D長=。由題設(shè)可知28-8=20，從而大長方形的面積為8×20=160（cm2）。7．12cm，10cm。解：把兩張正方形紙重疊在一起，且把右邊多出的一塊拼到上面，成為一個長方形，如右圖。這個長方形的面積是44cm2，它的長正好是兩個正方形的邊長的和，它的寬正好是兩個正方形的邊長的差。因為兩個整數(shù)的和與它們的差是同奇或同偶，而44又只能分解成下面的三種形式：44＝1×44＝2×22＝4×11，所以，兩個正方形的邊長的厘米數(shù)的和與差只能是22與2。于是，兩個正方形的邊長分別是（22+2）÷2＝12（cm），12-2＝10（cm）。解：大長方形面積為1+2+3+4=10。如右圖那樣延長RA和SB。矩形ABPR面積是上部陰影三角形面積的2倍。矩形ABSQ面積是下部陰影三角形面積的2倍。所以矩形RQSP的面積是陰影部分面積的2倍。第4講立體圖形空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力，而立體圖形的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單的立體圖形，如正方體、長方體、圓柱體、圓錐體，但有關(guān)立體圖形的概念還需要深化，空間想象能力還需要提高。將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來處理，是解決立體圖形問題的一種常用思路。一、立體圖形的表面積和體積計算例1一個圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2，在這個杯中放進棱長6cm的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？解：水的體積為72×2.5=180（cm3），放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-6×6=32（cm2）的柱體，所以它的高為180÷32=5（cm）。例2下圖表示一個正方體，它的棱長為4cm，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一個棱長為1cm的正方體，問：此圖的表面積是多少？分析：正方體有6個面，而每個面中間有一個正方形的孔，在計算時要減去小正方形的面積。各面又挖去一個小正方體，這時要考慮兩頭小正方體是否接通，這與表面積有關(guān)系。由于大正方體的棱長為4cm，而小正方體的棱長為1cm，所以沒有接通。每個小正方體孔共有5個面，在計算表面積時都要考慮。解：大正方體每個面的面積為4×4-1×1=15（cm2），6個面的面積和為15×6=90（cm2）。小正方體的每個面的面積為1×1=1（cm2），5個面的面積和為1×5=5（cm2），6個小正方體孔的表面積之和為5×6=30（cm2），因此所求的表面積為90＋30=120（cm2）。想一想，當(dāng)挖去的小正方體的棱長是2cm時，表面積是多少？請同學(xué)們把它計算出來。例3正方體的每一條棱長是一個一位數(shù)，表面的每個正方形面積是一個兩位數(shù)，整個表面積是一個三位數(shù)。而且若將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來則恰好是三位數(shù)的十位與個位上的數(shù)碼。求這個正方體的體積。解：根據(jù)“正方體的每一條棱長是一個一位數(shù)，表面的每個正方形面積是一個兩位數(shù)，整個表面積是一個三位數(shù)”的條件，可知正方體的棱長有5，6，7，8，9這五種可能性。根據(jù)“將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來恰好是三位數(shù)的十位上與個位上的數(shù)碼”，可知這個正方體的棱長是7。如右表：因此這個正方體的體積是7×7×7=343。例4一個長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的長方體，現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？

解：根據(jù)長方體的長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的條件，可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長是12cm，其體積是12×12×12=1728（cm3）。這時剩余立體圖形的底面形狀如圖1，其高是12cm。這樣，第二次切下盡可能大的正方體的棱長是9cm，其體積是9×9×9=729（cm3）。這時剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面形狀如圖2，高是12cm；另一部分的底面形狀如圖3，高是3cm。這樣，第三次切下盡可能大的正方體的棱長是6cm，其體積是6×6×6=216（cm3）。因此，剩下的體積是21×15×12-（123＋93＋63）=3780-2673=1107（cm3）。說明：如果手頭有一個泥塑的長方體和小刀，那么做出這道題并不難。但實際上，我們并沒有依賴于具體的模型和工具，這就是想象力的作用。我們正是在原有感性經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，想象出切割后立體的形狀，并通過它們各個側(cè)面的形狀和大小表示出來。因此，對一個立體圖形，應(yīng)該盡可能地想到它的原型。例5右圖是一個長27cm，寬8cm，高8cm的長方體?，F(xiàn)將它分為4部分，然后將這4部分重新組拼，能重組為一個棱長為12cm的正方體。請問該怎么分？解：重組成的正方體的棱長是12cm，而已知長方體的寬是8cm，所以要把寬增加4cm，為此可按右圖1中的粗線分開，分開重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm，也應(yīng)增加4cm，為此可按圖2中的虛線分開，分開后重組成圖3的形狀。圖3就是所組成的棱長為12cm的正方體。說明：這里有一個樸素的思想，就是設(shè)法把不足12cm的寬和高補成12cm的棱長，同時按照某種對稱的方式分割。在解關(guān)于立體圖形的問題時，需要有較豐富的想象力，要能把平面圖形在頭腦中“立”起來，另外還應(yīng)有一定的作圖本領(lǐng)和看圖能力。例6雨嘩嘩地不停地下著，如在雨地里放一個如右圖那樣的長方體的容器（單位：厘米），雨水將它下滿要用1時。有下列（1）～（5）不同的容器，雨水下滿各需多長時間？解：根據(jù)題意知雨均勻地下，即單位面積內(nèi)的降雨量相同。所以雨水下滿某容器所需的時間與該容器的容積和接水面（敞開部分）的面積之比有關(guān)。因為在例圖所示容器中：需1時接滿，所以二、立體圖形的側(cè)面展開圖例7右圖是一個立體圖形的側(cè)面展開圖（單位：cm），求這個立體圖形的表面積和體積。解：這個立體圖形是一個圓柱的四分之一（如右上圖），圓柱的底面半徑為10cm，高為8cm。它的表面積為例8右圖是一個正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請在右下方的展開圖中畫出四邊形APQC的四條邊。解：把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關(guān)鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。（1）考慮到展開圖上有六個頂點沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點上標(biāo)出對應(yīng)的符號，見右圖。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條邊所在的平面：頂點：A—A，C—C，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標(biāo)在展開圖上，并在對應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點在展開圖上有三個，B，D點在展開圖上有二個，所以在標(biāo)點連線時必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖。例9如右圖所示，剪一塊硬紙片可以做成一個多面體的紙模型（沿虛線折，沿實線粘）。這個多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)的總和是多少？解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體有12個正方形和8個三角形，共20個面。這個多面體上部的中間是一個正三角形，這個正三角形的三邊與三個正方形相連，這樣上部共有9個頂點，下部也一樣。因此，多面體的頂點總數(shù)為9×2=18（個）。在20個面的邊中，虛線有19條，實線有34條。因為每條虛線表示一條棱，兩條實線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為19＋34÷2=36（條）。綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)之和為20+18＋36＝74。說明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個公式：V＋F-E＝2。公式中的V表示頂點數(shù)，E表示棱數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù)。根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點數(shù)之后，棱數(shù)便可求得：E=V＋F-2=20＋18-2=36（條）。三、立體圖形的截面與投影例10用一個平面去截一個正方體，可以得到幾邊形？解：如下圖，可得到三角形、四邊形、五邊形和六邊形。例11一個棱長為6cm的正方體，把它切開成49個小正方體。小正方體的大小不必都相同，而小正方體的棱長以厘米作單位必須是整數(shù)。問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個數(shù)各是多少？解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。如果能切出1個棱長為5cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm的正體體，共切出小正方體：1＋（63-53）÷1=92（個）。因為92＞49，所以不可能切出棱長為5cm的正方體。如果能切出1個棱長為4cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm或2cm的正方體。設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，切出棱長為2cm的正方體有b個，則有設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，棱長為2cm的正方體有b個，棱長為3cm的正方體有c個，則解之得a=36，b=9，c=4。所以可切出棱長分別為1cm，2cm和3cm的正方體，其個數(shù)依次為36，9和4。例12現(xiàn)有一個棱長為1cm的正方體，一個長寬為1cm高為2cm的長方體，三個長寬為1cm高為3cm的長方體。右側(cè)圖形是把這五個圖形合并成某一立體圖形時，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試?yán)孟旅嫒齻€圖形把合并成的立體圖形（如上圖）的樣子畫出來，并求出其表面積。解：立體圖形的形狀如右圖所示。從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有18＋16＋12＋2＝46（cm2）。練習(xí)71．一個長方體水箱，從里面量得長40cm，寬30cm，深35cm，里面的水深10cm。放進一個棱長20cm的正方體鐵塊后，水面高多少厘米？2．王師傅將木塊刨成橫截面如右圖（單位：cm）那樣的高40cm的一個棱柱。虛線把橫截面分成大小兩部分，較大的那部分的面積占整個底面的60％。這個棱柱的體積是多少立方厘米？3．在底面為邊長60cm的正方形的一個長方體的容器里，直立著一根高1m，底面為邊長15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水半米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm，露出水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？4．下列各圖形中，有的是正方體的展開圖，寫出這些圖形的編號。5．小玲有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形，一種是長方形。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒（如右圖），正好將紙板用完。在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？6．請你在下面圖（2）中畫出3種和圖（1）不一樣的設(shè)計圖，使它們折起來后都成為下圖所示的長方形盒子（直線段與各棱交于棱的中點）。7．在桌面上擺有一些大小一樣的正方體木塊，從正南方向看如下左圖，從正東方向看如下右圖，要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？8．有一個正方體，它的6個面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來擺放這個正方體，并從不同的角度拍下照片。（1）洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來，最多可以選出多少張照片？（2）觀察（1）中選出的照片，發(fā)現(xiàn)各張照片里的紙條數(shù)各不相同。問：整個正方體最少貼有多少張紙條？練習(xí)7答案1．15cm。解：若鐵塊完全浸入水中，則水面將提高此時水面的高小于20cm，與鐵塊完全浸入水中矛盾，所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。設(shè)放進鐵塊后，水深為xcm，則40×30×x＝40×30×10+20×20×x，解得x=15，即放進鐵塊后，水深15cm。2．19200cm3。解得x=16。這個棱柱的體積是{[（12+24）×16÷2]÷60％}×40＝19200（cm3）。3．25.6cm。解：容器里的水共有（60×60-15×15）×50＝168750（cm3）。當(dāng)把鐵棍提起24cm時，鐵棍仍浸在水中的部分的長是（168750-60×60×24）÷（60×60-15×15）=24.4（cm），所以露出水面的浸濕部分長50-24.4=25.6（cm）。4．（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個。5．1∶2。解：設(shè)一共做了x個豎式紙盒，y個橫式紙盒。注意到這兩種紙盒都是無蓋的，x個豎式紙盒共用x個正方形和4x個長方形紙板；y個橫式紙盒共用2y個正方形和3y個長方形紙板。根據(jù)題意，得2（x+2y）=4x+3y，化簡為2x=y，即x∶y=1∶2。6．如下圖所示：7．至少要6塊正方體木塊（左下圖），至多需要20塊正方體木塊（右下圖）。圖中的數(shù)字表示放在這一格上的正方體木塊的層數(shù)。8．（1）26張；（2）39張。解：（1）1個面的6種，2個面（即1個棱）的12種，3個面的8種，共：6+12+8=26（張）。（2）因為26張照片上紙條數(shù)各不相同，所以紙條數(shù)至少也得有：1+2+3+…+26=351（張）。但在這26張照片中，很多紙條是被重復(fù)計算的。每個面上的紙條在單獨面拍攝時出現(xiàn)1次，在2個面拍攝時出現(xiàn)4次，在3個面拍攝時出現(xiàn)4次，共被計數(shù)9次。所以實際紙條數(shù)至少為：351÷9＝39（張）。第5講列方程解應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計算，這樣，對于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方程，解方程，檢驗作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實質(zhì)是將同一個量或等量用兩種方式表達(dá)出來，而要建立這種相等關(guān)系必須對題目作細(xì)致分析，有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時要應(yīng)用圖表或圖形進行直觀分析。一、列簡易方程解應(yīng)用題分析：欲求這個六位數(shù)，只要求出五位數(shù)就可以了。按題意，這個六位數(shù)的3倍等于。解：設(shè)五位數(shù)，則六位數(shù)，六位數(shù)，從而有3（105+x）=10x+1，x＝42857。答：這個六位數(shù)為142857。說明：這一解法的關(guān)鍵有兩點：⑴抓住相等關(guān)系：六位數(shù)的3倍等于六位數(shù)；⑵設(shè)未知數(shù)：將六位數(shù)與六位數(shù)用含的數(shù)學(xué)式子表示出來，這里根據(jù)題目的特點，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。（1）是善于分析問題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；（2）是一般語言與數(shù)學(xué)的形式語言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。例2有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。解得x＝500。推知隊伍長為：（2.6-1.4）×500=600（米）。答：隊伍長為600米。說明：在設(shè)未知數(shù)時，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。例3鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？分析：本題屬于追及問題，行人的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。解得x=14。所以火車的車身長為：（14-1）×22=286（米）。答：這列火車的車身總長為286米。例4如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？分析：這是環(huán)形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環(huán)行”追及問題，根據(jù)乙在這段時間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。解：設(shè)追上甲時乙走了x分，則甲在乙前方3×90=270（米）。依題意故有：72x＝65x+270解得：在這段時間內(nèi)乙走了：（米）由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由可以推算出這時甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。答：當(dāng)乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。例5一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭?，由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時，平時逆行與順行所用的時間比為2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9時。問：甲、乙兩港相距多少千米？分析：這是流水中的行程問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度。解答本題的關(guān)鍵是要先求出水流速度。解：設(shè)甲、乙兩港相距x千米，原來水流速度為a千米/時根據(jù)題意可知，逆水速度與順?biāo)俣鹊谋葹?∶1，即（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，再根據(jù)暴雨天水流速度變?yōu)?a千米/時，則有解得x=20。答：甲、乙兩港相距20千米。例6某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時才能出發(fā)，為了趕火車，6時55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時，學(xué)校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時間來不及，只能乘車與步行同時進行。如果步行每小時能走4千米，那么應(yīng)如何安排，才能使所有人都按時趕到火車站？分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分鐘即（時）內(nèi)趕到火車站，每人步行時間應(yīng)該相同，乘車時間也相同。設(shè)每人步行x時，乘車時。列出方程，解出，便容易安排了，不過要計算一下客車能否在115分鐘完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千米/時，車速為36千米/時。設(shè)每批師生步行用時，則解得x＝1.5（時），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時同時出發(fā)，第一批人乘25分鐘車到達(dá)A點，下車步行；客車從A立即返回，在B點遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。如此安排第一、二批人按時到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢？必須計算。第一批人到A點，客車已行（千米），第二批人已步行4×（千米），這時客車返回與第二批人步行共同行完（千米），需（時），客車與第二批人相遇，就是說客車第一次返回的時間是20分，同樣可計算客車第二次返回的時間也應(yīng)是20分，所以當(dāng)客車與第三批人相遇時，客車已用25×2＋20×2=90（分），還有115-90=25（分），正好可把第三批人按時送到。因此可以按上述方法安排。說明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗算不能省掉，因為這關(guān)系到第三批人是否可以按時到車站的問題。通過計算知第三批人正巧可乘車25分，按時到達(dá)。但如果人數(shù)增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時到達(dá)目的地。二、引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些“設(shè)而不求”的參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。例7某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運動，那么汽車站每隔幾分發(fā)一班車？分析：此題看起來似乎不易找到相等關(guān)系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進速度這一未知常量作參數(shù)，問題就解決了。解：設(shè)汽車站每隔x分發(fā)一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得由①②，得將③代入①，得說明：此題引入v1，v2兩個未知量作參數(shù)，計算時這兩個參數(shù)被消去，即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān)。本題的解法很多，可參考本叢書《五年級數(shù)學(xué)活動課》第26講。例8整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把