線性代數3學分

§2一.維數,基與坐標第四章中介紹的線性相關,線性無關,最大無關組,向量組的秩等概念也適用于一般的線性空間中 而且關于這些概

性質1.若1,2 ,n為線性空間V的一組基,V{x11x22 xnn|x1,x2 ,xn性質2.}.L是由向量組1 ,m生成的向量空間.則dimL=向組

,的秩,向量組 ,的任意一個最大無關組都定義.設V是線性空間,若

,

n 定義.設1 ,n是V的一個基,則V,存在唯一的n

, ,n線性表示則1 ,n稱為V的一個基,n稱為線性空間V的維數.記

x1

x xn使x x,稱為在 ,這個dim(V)n.V稱為n維線性空間.若V0},則規(guī)定dimV根據最大無關組的等價定義 我們知道線性空間的基就是

1 n

x xn的一個最大無關組 V的維數就是V的秩

x1

形式記法:x11 xnn(1 ,n)

k1k2RR.則dim(V

x xn例1.M22RA|A是2行2列的矩陣

Aa11E11a12E12a21E21a22 0, 1, 0, 0 0 0 0

1

是 (R)的一組基.(為什么?)所以

a所以A在EEEE下的坐標是12

(R))

a21a a證:先證E11,E12,E21,E22線性無關只要證kEk kEk 0

0對所有的1i

22a211

2

3

4

a假定k1E11k2E12k3E21k4E22

所以A在EEEE下的坐標是

12則k1E11k2E12k3E21k4

k2

a11a a22 所以k0,對所有的1i

. 4

11 aAM22(R),Aa11E11a12E12a21E21a22E22

AaEaEa a (E,E,E,

)12所以A可由E11,E12,E21,E22線性表示,,,

11 12 21 22

22a21a22定理.任意一個n維線性空間V和Rn同構.所以維數相等的線空間是同構的 小 證:設

::1.線性空間的基與維.映射f:V1x1

線性空間的同x11 設x11 xnn,y11 1

1

f()f(xy

x y n n nkx1 x1f(k)f(kx11 kxnn)kkf n n§3基變 :設 ,和 ,是線性空間V的兩組基.則

矩陣P稱為從基 ,n到基 注意:矩陣P一定是可逆矩陣量組 ,

n可由向量組

n線性表示

所以存在pij使

證:只要證PX0只有零解pp p

11 21 n1

1n

因為PX02p121p222 pn

所以 ,n)(PX0) ,(1)記P

2n

,

)(

np1n1p2n2

,n)X0 n nn注意

矩陣P的第一列是1在

因為 ,n線性無關,所以X0是2在 ,n這組基下的坐標 ,矩陣P的第n列是n在 這組基下的坐標(1)式形式的記為 ,n) ,n式子(1)稱為基變

定理.設向量組 ,n和向量組 ,n是線性空間V的兩組基x1 y1

x1 y1所以( ,)P ,)( ,

n

x xn

x

y x

因為 ,線性無關 則有坐標變

P,或P1

x1 y1

x1 y1x y y x

所以P

所以Pn n nx1 y1

n

x y

x y ( ,)( ,

n n

n n( ,)( , ,

n yxn ny x1 y1

y1( ,)(( ,)P)( ,)P n n x y yn n

nx32x2 2x3x2 x y x3x2x x22x

,,

x

,,,

y例在P[x]中取兩個基

和

2 x32x2x 2x3x2x

x y 44

x3x2

x33x2x

y1 x1

4 4 求P[x]中任一多項式在這兩個基下的坐標變

y x 則

2B1

2 解:(,,,x3x2x,1)A(

y3 x3 4 4

求解BX (B,A)(E,B1

1 3

202

100 1其中A

,B

1

0100 0 0

1

0

001 1

1 2

1

000 所以(x3x2x,1,,, 所以(,

nx 或P1nx 或P1y1yn Pnp1n1p2n2 1, ,n1,2 ,n2標變pp小1變1p