第五章拉伸剪切與擠壓的強度計算

第五章拉伸剪切與擠壓的強度計算第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日●變形構(gòu)件在載荷作用下，其形狀和尺寸發(fā)生變化的現(xiàn)象●變形固體的變形通常可分為兩種：（1）彈性變形---載荷解除后變形隨之消失的變形●材料力學(xué)研究的主要是彈性變形，并且只限于彈性小變形，即變形量遠遠小于其自身尺寸的變形（2）塑性變形---載荷解除后變形不能消失的變形第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日變形固體的基本假設(shè)（1）均勻連續(xù)性假設(shè)假設(shè)材料無間隙、均勻地充滿物體空間，各部分的性質(zhì)相同。（2）各向同性假設(shè)假設(shè)材料沿各個方向的力學(xué)性能是相同的。（3）小變形假設(shè)設(shè)定材料在外力作用下的變形與其本身尺寸相比極小，可略去不計第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日第五章拉伸（壓縮）、剪切與擠壓的強度計算強度---構(gòu)件抵抗破壞的能力剛度---構(gòu)件抵抗變形的能力穩(wěn)定性---構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力材料的力學(xué)性能是指材料在外力作用下其強度和變形等方面表現(xiàn)出來的性質(zhì)。構(gòu)件的承載能力：內(nèi)力的概念構(gòu)件在受外力作用時，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內(nèi)部質(zhì)點之間的相互作用力也將隨之改變，這個因外力作用而引起的構(gòu)件內(nèi)部相互作用力的改變量，稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日正應(yīng)力、切應(yīng)力應(yīng)力的概念△F△APm=正應(yīng)力σ（垂直于截面的應(yīng)力）切應(yīng)力τ（相切于截面的應(yīng)力）

應(yīng)力單位為：1Pa=1N/m2（帕或帕斯卡)常用單位：MPa（兆帕），1MPa=106Pa=1N/mm2A—截面面積●平均應(yīng)力Pm，如圖所示●單位面積上內(nèi)力的大小，稱為應(yīng)力單位面積上軸力的大小，稱為正應(yīng)力單位面積上剪力的大小，稱為切應(yīng)力第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日第一節(jié)軸向拉伸與壓縮的概念、截面法、軸力與軸力圖FFFF拉壓桿受力特點：

外力(或外力的合力)沿桿件的軸線作用，且作用線與軸線重合。

變形特點：桿沿軸線方向伸長(或縮短)，沿橫向縮短(或伸長)。

發(fā)生軸向拉伸與壓縮的桿件一般簡稱為拉(壓)桿。

第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、內(nèi)力與用截面法求內(nèi)力軸力:

外力引起的桿件內(nèi)部相互作用力的改變量。

拉(壓)桿的內(nèi)力。FFmmFFNFF′N由平衡方程可求出軸力的大?。阂?guī)定：FN的方向離開截面為正(受拉),指向截面為負(fù)(受壓)。

內(nèi)力：第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日軸力圖：

以上求內(nèi)力的方法稱為截面法，截面法是求內(nèi)力最基本的方法。用平行于桿軸線的x坐標(biāo)表示橫截面位置，用垂直于x的坐標(biāo)FN表示橫截面軸力的大小，按選定的比例，把軸力表示在x-FN坐標(biāo)系中，描出的軸力隨截面位置變化的曲線，稱為軸力圖。FFmmxFN注意：截面不能選在外力作用點處的截面上。第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日例1

已知F1=20KN，F(xiàn)2=8KN，F(xiàn)3=10KN，試用截面法求圖示桿件指定截面1－1、2－2、3－3的軸力,并畫出軸力圖。

F2F1F3ABCD112332解:外力FR，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3將桿件分為AB、BC和CD三段，取每段左邊為研究對象，求得各段軸力為：FRF2FN1F2F1FN2F2F1F3FN2FN3FN1=F2=8KNFN2=F2-F1

=-12KNFN3=F2+F3-

F1

=-2KN

軸力圖如圖:

xFNCDBA8KN-12KN-2KN第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日例2F1=2.5kN,F3=1.5kN,畫桿件軸力圖。解：1)截面法求AC段軸力，沿截面1-1處截開，取左段如圖所示∑Fx=0

FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段軸力，從2-2截面處截開，取右段，如圖所示∑Fx=0

–FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（負(fù)號表示所畫FN2方向與實際相反）3)右圖為AB桿的軸力圖第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

內(nèi)力在截面上的集度稱為應(yīng)力(垂直于桿橫截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，平行于橫截面的稱為切應(yīng)力)。應(yīng)力是判斷桿件是否破壞的依據(jù)。

單位是帕斯卡，簡稱帕，記作Pa，即l平方米的面積上作用1牛頓的力為1帕，1N／m2＝1Pa。

1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa

1GPa＝109Pa第二節(jié)拉壓桿橫截面上的應(yīng)力、應(yīng)變及胡克定理一、桿件在一般情況下應(yīng)力的概念第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力

根據(jù)桿件變形的平面假設(shè)和材料均勻連續(xù)性假設(shè)可推斷：軸力在橫截面上的分布是均勻的，且方向垂直于橫截面。所以，橫截面的正應(yīng)力σ計算公式為：

σ=MPaFN表示橫截面軸力（N）A表示橫截面面積（mm2）

FFmmnnFFN平面假設(shè)變形前的橫截面，變形后仍為平面，僅其位置略作平移，這一假設(shè)稱為平面假設(shè)。第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、變形與應(yīng)變

1.絕對變形:規(guī)定：L—等直桿的原長d—橫向尺寸L1—拉(壓)后縱向長度d1—拉(壓)后橫向尺寸縱向變形：橫向變形：

拉伸時縱向變形為正，橫向變形為負(fù)；壓縮時縱向變形為負(fù)，橫向變形為正。

縱向變形和橫向變形統(tǒng)稱為絕對變形。

第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日拉(壓)桿的變形

2.相對變形（線應(yīng)變）：

單位長度的變形量?！洌娇v向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變均為無量綱量第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日虎克定律：實驗表明，對拉(壓)桿，當(dāng)應(yīng)力不超過某一限度時，桿的縱向變形與軸力FN成正比，與桿長L成正比，與橫截面面積A成反比。這一比例關(guān)系稱為虎克定律。引入比例常數(shù)E，其公式為:

E為材料的拉(壓)彈性模量，單位是Gpa

FN、E、A均為常量，否則，應(yīng)分段計算。

由此，當(dāng)軸力、桿長、截面面積相同的等直桿,E值越大，就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(壓)變形的能力，是衡量材料剛度的指標(biāo)。

或第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日例3

如圖所示桿件，求各段內(nèi)截面的軸力和應(yīng)力，并畫出軸力圖。若桿件較細(xì)段橫截面面積，較粗段，材料的彈性模量，求桿件的總變形。

LL10KN40KN30KNABC解：分別在AB、BC段任取截面，如圖示，則：

FN1=10KN10KNFN110KNσ1=FN1/A1

=50MPa30KNFN2

FN2=-30KNσ2=FN2/A2=100

MPa軸力圖如圖：xFN10KN30KN第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日由于AB、BC兩段面積不同，變形量應(yīng)分別計算。由虎克定律：可得：AB10KNX100mm200GPaX200mm2==0.025mmBC-30KNX100mm200GPaX300mm2==-0.050mm=-

0.025mm第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三節(jié)材料在拉壓時的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能：材料在外力作用下，其強度和變形方面所表現(xiàn)出來的性能。它是通過試驗的方法測定的，是進行強度、剛度計算和選擇材料的重要依據(jù)。

工程材料的種類：根據(jù)其性能可分為塑性材料和脆性材料兩大類。低碳鋼和鑄鐵是這兩類材料的典型代表，它們在拉伸和壓縮時表現(xiàn)出來的力學(xué)性能具有廣泛的代表性。第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、拉伸實驗和應(yīng)力——應(yīng)變曲線

1.常溫、靜載試驗：L0=5~10d0L0d0FF低碳鋼標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件安裝在拉伸試驗機上，然后對試件緩慢施加拉伸載荷，直至把試件拉斷。根據(jù)拉伸過程中試件承受的應(yīng)力和產(chǎn)生的應(yīng)變之間的關(guān)系，可以繪制出該低碳鋼的曲線。

第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、低碳鋼曲線分析：試件在拉伸過程中經(jīng)歷了四個階段，有兩個重要的強度指標(biāo)。

ob段—彈性階段(比例極限σp彈性極限σe)cd段—強化階段

抗拉強度

de段—縮頸斷裂階段

Oabcdepebc段—屈服階段屈服點

第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日oa段是直線，應(yīng)力與應(yīng)變在此段成正比關(guān)系，材料符合虎克定律σ＝Ｅε，直線oa的斜率tanα=E就是材料的彈性模量，直線部分最高點所對應(yīng)的應(yīng)力值記作σp，稱為材料的比例極限。曲線超過a點，圖上ab段已不再是直線，說明材料已不符合虎克定律。但在ab段內(nèi)卸載，變形也隨之消失，說明ab段也發(fā)生彈性變形，所以ab段稱為彈性階段。b點所對應(yīng)的應(yīng)力值記作σe，稱為材料的彈性極限。1.彈性階段

比例極限σp彈性極限與比例極限非常接近，工程實際中通常對二者不作嚴(yán)格區(qū)分，而近似地用比例極限代替彈性極限。

第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日

曲線超過b點后，出現(xiàn)了一段鋸齒形曲線，這一階段應(yīng)力沒有增加，而應(yīng)變依然在增加，材料好像失去了抵抗變形的能力，把這種應(yīng)力不增加而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象稱作屈服，bc段稱為屈服階段。屈服階段曲線最低點所對應(yīng)的應(yīng)力稱為屈服點(或屈服極限)。在屈服階段卸載，將出現(xiàn)不能消失的塑性變形。工程上一般不允許構(gòu)件發(fā)生塑性變形，并把塑性變形作為塑性材料破壞的標(biāo)志，所以屈服點是衡量材料強度的一個重要指標(biāo)。

2.屈服階段

屈服點第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日經(jīng)過屈服階段后，曲線從c點又開始逐漸上升，說明要使應(yīng)變增加，必須增加應(yīng)力，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱作強化，cd段稱為強化階段。曲線最高點所對應(yīng)的應(yīng)力值記作，稱為材料的抗拉強度(或強度極限)，它是衡量材料強度的又一個重要指標(biāo)。

曲線到達d點前，試件的變形是均勻發(fā)生的，曲線到達d點，在試件比較薄弱的某一局部(材質(zhì)不均勻或有缺陷處)，變形顯著增加，有效橫截面急劇減小，出現(xiàn)了縮頸現(xiàn)象，試件很快被拉斷，所以de段稱為縮頸斷裂階段。

3.強化階段

抗拉強度σb4.縮頸斷裂階段第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日試件拉斷后，彈性變形消失，但塑性變形仍保留下來。工程上用試件拉斷后遺留下來的變形表示材料的塑性指標(biāo)。常用的塑性指標(biāo)有兩個:

伸長率:%斷面收縮率:%L1—試件拉斷后的標(biāo)距L0—是原標(biāo)距A1—試件斷口處的最小橫截面面積A0—原橫截面面積。

、值越大，其塑性越好。一般把≥5％的材料稱為塑性材料，如鋼材、銅、鋁等；把<5％的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、混凝土、石料等。

塑性指標(biāo):第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能

O比較低碳鋼壓縮與拉伸曲線,在直線部分和屈服階段大致重合，其彈性模量比例極限和屈服點與拉伸時基本相同，因此低碳鋼的抗拉性能與抗壓性能是相同的。屈服階段以后，試件會越壓越扁，先是壓成鼓形，最后變成餅狀，故得不到壓縮時的抗壓強度。因此對于低碳鋼一般不作壓縮試驗。

F第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日屈服極限強度極限A3鋼：235MPa372-392MPa

35鋼：31452945鋼：353598

16Mn：343510第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日四、鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能

O鑄鐵是脆性材料的典型代表。曲線沒有明顯的直線部分和屈服階段，無縮頸現(xiàn)象而發(fā)生斷裂破壞，塑性變形很小。斷裂時曲線最高點對應(yīng)的應(yīng)力值稱為抗拉強度。鑄鐵的抗拉強度較低。

曲線沒有明顯的直線部分，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不符合虎克定律。但由于鑄鐵總是在較小的應(yīng)力下工作，且變形很小，故可近似地認(rèn)為符合虎克定律。通常以割線Oa的斜率作為彈性模量E。

a第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日五、鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能OFF曲線沒有明顯的直線部分，應(yīng)力較小時，近似認(rèn)為符合虎克定律。曲線沒有屈服階段，變形很小時沿與軸線大約成45°的斜截面發(fā)生破裂破壞。曲線最高點的應(yīng)力值稱為抗壓強度。鑄鐵材料抗壓性能遠好于抗拉性能，這也是脆性材料共有的屬性。因此，工程中常用鑄鐵等脆性材料作受壓構(gòu)件，而不用作受拉構(gòu)件。

第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、極限應(yīng)力、許用應(yīng)力和安全系數(shù)●許用應(yīng)力：構(gòu)件安全工作時材料允許承受的最大應(yīng)力。構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。塑性材料：脆性材料：ns、n

b是安全系數(shù):

ns=1.4～1.7

n

b＝2.5～3.0●極限應(yīng)力：材料喪失正常工作能力時的應(yīng)力。塑性變形是塑性材料破壞的標(biāo)志。屈服點或條件屈服極限為塑性材料的極限應(yīng)力；斷裂是脆性材料破壞的標(biāo)志，因此把抗拉強度和抗壓強度，作為脆性材料的極限應(yīng)力。

第四節(jié)拉壓桿的強度計算（與拉壓靜不定問題）第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日

除低碳鋼、中碳鋼及少數(shù)合金鋼有屈服現(xiàn)象外，大多數(shù)金屬材料沒有明顯的屈服現(xiàn)象。國標(biāo)規(guī)定，以產(chǎn)生試樣標(biāo)長的0.2%殘余變形時的應(yīng)力作為其屈服極限，以表示。為條件屈服極限。第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、拉(壓)桿的強度條件

因為拉（壓）桿橫截面上的軸力沿截面的法向，故橫截面上只有正應(yīng)力σ正應(yīng)力的符號與軸力符號規(guī)定相同，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日強度計算：

為了使構(gòu)件不發(fā)生拉(壓)破壞，保證構(gòu)件安全工作的條件是：最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。這一條件稱為強度條件。

≤[]應(yīng)用該條件式可以解決以下三類問題：校核強度、設(shè)計截面、確定許可載荷。第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日１.強度校核：

已知FN和A，可以校核強度，即考察強度是否夠用２.設(shè)計截面:已知FN和[σ]，可以設(shè)計構(gòu)件的截面A（幾何形狀）3.確定許用載荷:已知A和[σ]，可以確定許用載荷強度條件的工程應(yīng)用有以下三個方面第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日DpdF例4：

某銑床工作臺進給油缸如圖所示，缸內(nèi)工作油壓p=2MPa，油缸內(nèi)徑D＝75mm，活塞桿直徑d＝18mm，已知活塞桿材料的許用應(yīng)力[]＝50MPa，試校核活塞桿的強度。

解：1.求活塞桿的軸力。設(shè)缸內(nèi)受力面積為A1，則：2.校核強度。活塞桿的工作應(yīng)力為：<50MPa所以，活塞桿的強度足夠。

第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日FFbh例5：圖示鋼拉桿受軸向載荷F=40kN，材料的許用應(yīng)力[]=100MPa，橫截面為矩形，其中h=2b，試設(shè)計拉桿的截面尺寸h、b。

解：求拉桿的軸力:FN=F=40kN則：拉桿的工作應(yīng)力為：=FN/A=40x1000/bh=40000/2b=20000/b≤[σ]=10022