第十三章 動(dòng)量矩定理

§13–1動(dòng)量矩§13–2動(dòng)量矩定理§13–3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§13–4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量§13–5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程習(xí)題課第十三章動(dòng)量矩定理1第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變—外力（外力系主矢）若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時(shí)，vC=0，則其動(dòng)量恒等于零，質(zhì)心無運(yùn)動(dòng)，可是質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)—外力（外力系主矢）2第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)§13-1動(dòng)量矩一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩：矢量質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸z

的動(dòng)量矩：代數(shù)量正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同對(duì)著軸看：順時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為正3第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z的動(dòng)量矩之間的關(guān)系：二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸z動(dòng)量矩：動(dòng)力學(xué)kg·ｍ2/s。動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1．平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。4第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日3．平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。動(dòng)力學(xué)2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。5第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日動(dòng)力學(xué)解：[例1]滑輪A：m1，R1，R1=2R2，I1

滑輪B：m2，R2，I2；物體C：m3

求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。6第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日§13-2動(dòng)量矩定理一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理兩邊叉乘矢徑,有左邊可寫成質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。

動(dòng)力學(xué)故：7第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。動(dòng)力學(xué)稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。若則常矢量8第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)分析：。動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理即微幅擺動(dòng)時(shí)，并令，則解微分方程,并代入初始條件則運(yùn)動(dòng)方程，擺動(dòng)周期解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。[例2]單擺已知m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。9第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：

在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。動(dòng)力學(xué)10第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序，而一質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi：11第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。動(dòng)力學(xué)將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得:12第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒

當(dāng)時(shí)，常矢量。當(dāng)時(shí)，常量。動(dòng)力學(xué)定理說明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。13第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日解:取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：v=ｒ動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理：[例3]已知:

14第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日解：系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為。動(dòng)力學(xué)[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）15第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日

§13-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有—?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。動(dòng)力學(xué)16第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

特殊情況：若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。若常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。動(dòng)力學(xué)17第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日§13-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一．定義：若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。動(dòng)力學(xué)18第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日

１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）[例1]勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m。

求：對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；對(duì)z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)力學(xué)二．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算解：19第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.回轉(zhuǎn)半徑由所定義的長(zhǎng)度稱為剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑。對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。動(dòng)力學(xué)20第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日3.平行移軸定理同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。

剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。

動(dòng)力學(xué)21第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日

證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，動(dòng)力學(xué)例如，對(duì)于例1中均質(zhì)細(xì)桿z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體對(duì)通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。22第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。動(dòng)力學(xué)4．計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法解：[例2]鐘擺：均質(zhì)直桿m1,l；均質(zhì)圓盤：m2,R。求IO

。23第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日[例3]提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。取輪B連同物體C為研究對(duì)象補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件化簡(jiǎn)(1)得：化簡(jiǎn)(2)得：動(dòng)力學(xué)解:取輪A為研究對(duì)象24第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日§13-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理·剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程一．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種簡(jiǎn)單的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)二．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。25第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日

三．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系可以簡(jiǎn)化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。動(dòng)力學(xué)取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心C的平動(dòng)(xC,yC)繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)（）可通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來確定。26第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日寫成投影形式或上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程。動(dòng)力學(xué)27第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日[例4]質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為的斜面上，在重力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f、f′，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)解：取輪為研究對(duì)象。受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：取直角坐標(biāo)系Oxy

aCy

=0，aCx

=aC，一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有由式得，兩式中含有三個(gè)未知數(shù)aC

、F、，需補(bǔ)充附加條件。28第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故＝0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。2．設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，所以可解得動(dòng)力學(xué)3．設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。F=f′N，可解得輪作純滾動(dòng)的條件：表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用；當(dāng)時(shí)，解答2適用；f=0時(shí)解答1適用。29第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日一．基本概念1．動(dòng)量矩：物體某瞬時(shí)繞某固定點(diǎn)（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度。2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：3．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對(duì)過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。動(dòng)力學(xué)第十三章動(dòng)量矩定理習(xí)題課30第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日5．剛體動(dòng)量矩計(jì)算平動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)：二．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒若，則常矢量。若，則常量。動(dòng)力學(xué)31第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日三．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒若，則常矢量若，則常量四．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理32第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程或動(dòng)力學(xué)33第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日六．動(dòng)量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對(duì)單軸傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）動(dòng)力學(xué)1．已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。34第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日七．應(yīng)用舉例[例1]

均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。解：選取圓柱為研究對(duì)象。(注意只是一個(gè)剛體)受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程補(bǔ)充方程：35第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日將式代入、兩式，有將上述結(jié)果代入式，有解得：補(bǔ)充方程：Dynamics36第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日[例2]兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí),T

形桿具有角速度=4rad/s。求該瞬時(shí)軸承O