第二節(jié)偏導數(shù)

第二節(jié)偏導數(shù)第一頁，共三十頁，2022年，8月28日一、偏導數(shù)的定義及其計算法第二頁，共三十頁，2022年，8月28日第三頁，共三十頁，2022年，8月28日第四頁，共三十頁，2022年，8月28日偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處第五頁，共三十頁，2022年，8月28日

1.由偏導數(shù)定義知,所謂f(x,y)對x的偏導數(shù),就是將y看作常數(shù),將

f(x,y)看作一元函數(shù)來定義的.

注

因此,在實際計算時,求f'x

(x,y)時,只須將y看作常數(shù),用一元函數(shù)求導公式求即可.

求f'y

(x,y)時,只須將x看作常數(shù),用一元函數(shù)求導公式求即可.第六頁，共三十頁，2022年，8月28日

2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在點(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)

可用3種方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).

(3)先算f(x,y0),再算f'x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),

f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).第七頁，共三十頁，2022年，8月28日解

把看作常量，對求導數(shù),得

把看作常量，對求導數(shù),得第八頁，共三十頁，2022年，8月28日解第九頁，共三十頁，2022年，8月28日證原結(jié)論成立．第十頁，共三十頁，2022年，8月28日解第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日不存在．第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日證第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日有關偏導數(shù)的幾點說明：１.２.求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；解第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日３.偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日兩個偏導數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)偏導與連續(xù)的關系：第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日4.偏導數(shù)的幾何意義第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日yxzoz=f(x,y)M0

即f'x

(x0,y0)表示y=y0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對x的斜率.T11

:z=f(x,y0)1y0x0第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日yxzoz=f(x,y)M022

:z=f(x0,y)類似得

f'y

(x0,y0)的幾何意義.

如圖

即f'y

(x0,y0)表示x=x0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對y的斜率.x0T2第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日

從幾何上看,f'x

(x0,y0)存在.只保證了一元函數(shù)

f(x,y0)在x0連續(xù).

也即y=y0與z=f(x,y)的截線1在M0=(x0,y0,z0)是連續(xù)的.

同理,f'y

(x0,y0)存在.只保證了x=x0與z=f(x,y)的截線2在M0連續(xù).而曲面z=f(x,y)在M0連續(xù)，是指第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日

換句話說,當(x,y)

從任何方向,沿任何曲線趨于(x0，y0)時,f(x,y)的極限都是f(x0，y0).顯然,上邊兩個條件都不能保證它成立.第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日純偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日解第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日解第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日解第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日偏導數(shù)的定義偏導