第五章剛體的轉(zhuǎn)動改

第五章剛體的轉(zhuǎn)動改第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本物理量的定義和性質(zhì)；理解力矩、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量的物理意義；掌握定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和角動量定理；掌握定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律和角動量守恒定律。教學(xué)要求第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日§5-1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動一、剛體（理想模型）剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平行的運(yùn)動，叫做平動。因?yàn)樵谄絼訒r(shí)剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動軌跡、各時(shí)刻的位移、速度、加速度都相同，整個(gè)剛體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理。二、平動和轉(zhuǎn)動（剛體的二種基本運(yùn)動形態(tài)）1、平動在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體。或者說運(yùn)動中物體上任二點(diǎn)的間距不變。1.理想模型；2.在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對位移；3.內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日AB剛體的平動第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日如果剛體上的任意一條直線的方位在運(yùn)動中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動。若軸線固定不動，則稱定軸轉(zhuǎn)動。2、轉(zhuǎn)動

剛體的一般運(yùn)動可視為平動和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動。如：滾動—軸心的平動+繞軸心的轉(zhuǎn)動拋體—質(zhì)心的拋物線運(yùn)動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動進(jìn)動—繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動+轉(zhuǎn)軸繞定軸的轉(zhuǎn)動第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量1.角位置，角位移yx0P(t)P(t+dt)d運(yùn)動方程：角位置：位矢與ox

軸夾角。角位移d：dt

時(shí)間內(nèi)角位置增量。1、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速度和角加速度均相同；2、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動，且作圓周運(yùn)動。圓心在轉(zhuǎn)軸上。三、定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)：第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日定軸轉(zhuǎn)動只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動方向。3.線量與角量的關(guān)系方向垂直于和組成的平面2.角速度和角加速度規(guī)定：位矢從ox

軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)角位置為正，反之，為負(fù)。yx0△θ△s第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日若是定值，剛體的運(yùn)動稱為：若是定值，剛體的運(yùn)動稱作：勻角速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動（或勻加速轉(zhuǎn)動)剛體的定軸轉(zhuǎn)動的公式與一維直線運(yùn)動的公式相似：為恒矢為恒值第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1、一飛輪作減速運(yùn)動，其角加速度與角速度關(guān)系為解：⑴ω0α=-

kω，k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為ω0。求：

⑴飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；

⑵當(dāng)角速度由ω0→ω0/2時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日(2)當(dāng)角速度由ω0→ω0/2時(shí),所需時(shí)間為t：在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)=第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日一、力矩

1、定義：轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。力矩的表示式：大小：2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（對定軸轉(zhuǎn)動而言為代數(shù)和）

②合力為零，合力矩不一定為零方向：F1F2

轉(zhuǎn)軸（F1=F2）§5-2力矩、轉(zhuǎn)動定律、轉(zhuǎn)動慣量第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日合力矩為零，合力不一定為零④當(dāng)力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，只有對轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。問：一對作用力與反作用力的力矩和等于多少？零由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對任一軸的內(nèi)力矩之和為零。F1F2力矩合力③中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的力矩≡0。第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日力

矩：垂直和構(gòu)成的平面。中學(xué)表為

：合力矩：M只有兩個(gè)方向，可用正、負(fù)表示。而且有：與轉(zhuǎn)動垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力矩的合為零。歸結(jié)起來：odP∥⊥第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日力矩是改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)（即產(chǎn)生角加速度）的原因。轉(zhuǎn)動物體也有保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變的慣性——轉(zhuǎn)動慣性，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣性成反比。若用J表示轉(zhuǎn)動慣性（J稱為轉(zhuǎn)動慣量）則有：在國際單位制中，k=1則上式為它說明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。轉(zhuǎn)動定律相當(dāng)重要，其在轉(zhuǎn)動中的地位就相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動中的牛頓第二定律。二、轉(zhuǎn)動定律第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日把剛體看作質(zhì)元的集合，對用牛頓第二定律的切向式與法向式。設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，某質(zhì)元受內(nèi)力和外力作用轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律推求：矢量式：法向式：切向式：轉(zhuǎn)軸以遍乘切向式兩端：第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日將遍乘后的切向式求和得：剛體所受的合外力矩：（內(nèi)力不改變角動量）定義：轉(zhuǎn)動定律注意：（1）M,J,

均對同一軸而言，且具有瞬時(shí)性；（2）改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的是力矩；（3）轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律的對應(yīng)關(guān)系物理量：質(zhì)點(diǎn)m

剛體JM規(guī)律：質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律

剛體轉(zhuǎn)動定律第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日不一定例：問：力矩M大，是否大？不一定大，是否M大？（M大，大，的變化大?？蔀?）（大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0，勻角速轉(zhuǎn)動。）第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日對分離的質(zhì)點(diǎn)組：2、轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：J是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。三、轉(zhuǎn)動慣量1、轉(zhuǎn)動慣量的定義：

對單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：m1r1m2r2m3r3轉(zhuǎn)軸對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：轉(zhuǎn)軸dmJ=mr2，r為質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離。第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日①與剛體的總質(zhì)量有關(guān)②與質(zhì)量的分布有關(guān)③與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)4、轉(zhuǎn)動慣量J

的計(jì)算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、體元積分求得）3、J與下列因素有關(guān)：第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1、有一均勻細(xì)桿，桿長為l，質(zhì)量為m，c為桿的中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸oo’

通過c點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量Jc=？解：取x軸方向如圖，桿的線密度為=m/l，取小質(zhì)元dm=dx，則0x0’0xdxC若將轉(zhuǎn)軸移到A點(diǎn)，求JA=？仍有小質(zhì)元dm=dx，（

=m/l）x0’xdxA0C第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從C點(diǎn)平行移到A點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量改變了多少？移項(xiàng)得：JA=JC+md2x0’xdxA0Cdd是轉(zhuǎn)軸0’0到質(zhì)心的距離。第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量J，等于剛體對通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量Jc，加上剛體質(zhì)量m乘以兩平行軸之間的距離d的平方。即：dCB過質(zhì)心平行軸平行軸定理：第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直徑圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸過中心與幾何軸相垂細(xì)棒轉(zhuǎn)軸過中心與棒相垂細(xì)棒轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)與棒相垂球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑幾種常用簡單幾何形狀、密度均勻物體的轉(zhuǎn)動慣量第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2、質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)細(xì)直棍，對通過其中心O且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：取OX軸如圖所示，則棍上任一段元dx的質(zhì)量，至轉(zhuǎn)軸的距離轉(zhuǎn)動慣量：XdxOrx第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日②過棒一端O’

、仍與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動慣量Jo’

。討論：①當(dāng)時(shí)，即為棍對于過它的中心且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。XdxdOrxO

’由平行軸定理：第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3、求質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)對過環(huán)心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：圓環(huán)的線密度為=m/2R

環(huán)上取小質(zhì)元dm=dl=Rd則

dld軸第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日例4、求質(zhì)量為m，半徑為R的薄圓盤對過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：圓盤的面密度為=m/R2取一半徑為r，寬為dr的圓環(huán)為質(zhì)元

dm=2rdr注意：轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算只能對規(guī)則物體進(jìn)行，不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動慣量通常只能用實(shí)驗(yàn)的方法測量。rdr軸即圓盤對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=mR2/2

。第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日例5、如圖所示，求大圓盤的實(shí)心部分對O軸（垂直于盤面）的轉(zhuǎn)動慣量。（已知大盤半徑R=2r，質(zhì)量為M）解：先將小盤補(bǔ)上面密度相同的剛體，使之質(zhì)量變?yōu)镸’，而小盤的質(zhì)量為m，由于轉(zhuǎn)動慣量有可加性，可以先分別求出大盤和小盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量，再把小盤的除去即得大盤實(shí)心部分對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。補(bǔ)齊后大盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：J1=M’

R2/2小盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：J2=mr2/2+mr2

=3mr2/20RMrrm第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日所以實(shí)心部分對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為：第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例6、一質(zhì)量為M、半徑為R

的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長不計(jì)質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為m的物體而下垂。求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。解：①對象：M剛體m質(zhì)點(diǎn)②受力分析：如圖所示③依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律列方程（注意T1=T2=T）對物體有：mg-

T=ma對滑輪有：TR=J=MR2/2角量和線量的關(guān)系：a=R

運(yùn)動學(xué)關(guān)系：v2

=v02

+2ah=2ahhT1T2mgmmM第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日④解方程得：在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物體以v0

的速度勻速上升，撤去力矩后，問過多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動？解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力和前面完全一樣。因此對物體應(yīng)用牛頓第二定律和對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的形式完全一樣。T1T2mgmMv0第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日對物體有：mg-T=ma①對滑輪有：TR=J=M

R2/2②角量和線量的關(guān)系：a=R③

運(yùn)動學(xué)關(guān)系：v

=v0+at=0

④

由第1、2、3個(gè)方程可解得：由第4個(gè)方程可解得：T1T2mgmMv0第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日右圖中，滑輪兩邊張力不相同，兩物體的加速度相同。（繩不可伸長）M1m1m2T2T1T2T12aam1gm2gM2TT1Mm1m2T1T1aam1gm2gT2T2第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：（1）選細(xì)桿、剛體為研究對象受力與受力矩分析如圖由轉(zhuǎn)動定律有方程：（2）由于力矩M=mg（l/2）cos

屬變力矩，故由求角速度時(shí)用積分法。得例7、質(zhì)量m、長為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過固定端O的水平軸轉(zhuǎn)動，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：⑴轉(zhuǎn)到任一角時(shí)，桿的角加速度等于多少？⑵此時(shí)的角速度

等于多少？lrmgO第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日②當(dāng)=/2（桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時(shí)，討論：①越小，

值越?。辉酱?，

值越大。第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日所以剛體的轉(zhuǎn)動動能:一、轉(zhuǎn)動動能剛體轉(zhuǎn)動時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動，都具有動能。剛體的轉(zhuǎn)動動能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動能之和。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動能為1/2mivi2=1/2miri22

則剛體總動能為

與平動動能形式相同，量綱也相同，單位也相同。[Ek]=[m][r2][2]=ML2T-2§5-3轉(zhuǎn)動動能、力矩的功轉(zhuǎn)軸dm第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日剛體轉(zhuǎn)過d角，合外力F作的元功為：二、力矩的功M：Xd

rds0第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日當(dāng)剛體在F力作用下，從1轉(zhuǎn)到2時(shí)所作的功為：因?yàn)橥饬Φ墓σ簿褪峭饬氐墓?，所以有：第三十九頁，共五十六頁?022年，8月28日轉(zhuǎn)動動能定理：合外力(矩)對剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。使用中應(yīng)注意：凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動問題，應(yīng)使用轉(zhuǎn)動動能定理。①Ek轉(zhuǎn)是相對量；②轉(zhuǎn)動動能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。③應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：對象：桿由轉(zhuǎn)動動能定理有：lrmgO下面用轉(zhuǎn)動動能定理求解例6求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動動能定理比用轉(zhuǎn)動定律簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動定律為簡單。可見：第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即例用機(jī)械能守恒定律求解例6中的解：在桿轉(zhuǎn)動的過程中，由于只有重力作功，故機(jī)械能守恒。取桿的水平位置為勢能零點(diǎn)，有三、機(jī)械能守恒定律lrmgO第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日一、質(zhì)點(diǎn)的角動量（動量矩）和角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量：§5-4角動量定理角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動量原理：質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩=質(zhì)點(diǎn)角動量的增量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩M=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動量守恒。——質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律。第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動，小球被穿過中心的線拉住。開始時(shí)繩半徑為r1，小球速率為

v1；后來，往下拉繩子，使半徑變?yōu)閞2，小球速率變?yōu)?/p>

v2，求v2=？解：受力分析如圖。mg=N而T為小球圓運(yùn)動的向心力，所以合外力不等于T，但過轉(zhuǎn)軸而無力矩。合外力矩為0，小球角動量守恒。有：L=mvr=恒量即：mv1r1=mv2r2第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日二、繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角動量和角動量守恒定律剛體對定軸轉(zhuǎn)動的角動量等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動量之和：由剛體的轉(zhuǎn)動定律：z0mi①剛體的角動量②剛體的角動量定律第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日剛體的角動量定理：——剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律當(dāng)M=0時(shí)，即：剛體受外力矩為零時(shí)，動量矩（角動量）保持不變。③剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律合外力矩的沖量矩=角動量的增量。第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日ⅲ.推廣至人：人非剛體，只要滿足人所受的則人的角動量也守恒。2。使用中的幾種情況：ⅰ.一個(gè)剛體（質(zhì)點(diǎn)）：J不變，不變，L

=恒量。④注意守恒定律的使用1。條件分析：，即力矩的和為零。ⅱ.幾個(gè)剛體（幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)）：J變，變，不變。合力=0，合力矩不一定等于零。合力矩=0，合力不一定等于零。但第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2、一根長為l、質(zhì)量為m1的均勻細(xì)棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一質(zhì)量為m2的子彈以水平速度v0射入棒下端距軸高度為a處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動偏離鉛直位置30o，求子彈水平速度v0的大?。拷猓孩賹ο螅喊簦簞傮w子彈：質(zhì)點(diǎn)②過程分析：第一階段：m2

與m1

碰撞第二階段：m1

+m

2

一起轉(zhuǎn)動角動量守恒：只有重力作功，故機(jī)械能守恒。am2m1第四十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日③列方程（取擺軸處為重力勢能的零勢點(diǎn)）解得：第四十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日例3、質(zhì)量為M、長為L的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在有一質(zhì)量為m的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，碰撞后，棒從平衡位置處擺動到最大角度=300，如圖所示。求：（1）小球碰撞前的速度v0=？（2）碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？解（1）選小球和棒為研究對象，碰撞時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩為0，系統(tǒng)角動量守恒，有：Lm