第十講功率譜估計隨機過程的線性變換

第十講功率譜估計隨機過程的線性變換第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.隨機序列的數字特征估計函數特征名函數名用法均值mean()m=mean(x)方差var()sigma2=var(x),sigma2=var(x,1)互相關xcorr()c=xcorr(x,y)c=xcorr(x)c=xcorr(x,y,’option’)‘biased’,‘unbiased’c=xcorr(x,’option’)‘coeff’,‘none’第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日r=xcorr(x,’coeff’)第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.功率譜估計(1)自相關法先求自相關函數的估計，然后求傅里葉變換第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日（2）周期圖法(Pxx,w)=periodogram(x)第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日應用實例：第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日功率譜估計Periodogram周期圖法periodogramWelchAveragedperiodogramsofoverlapped,windowedsignalsectionspwelchYule-WalkerARAutoregressive(AR)spectralestimateofatime-seriesfromitsestimatedautocorrelationfunctionpyulearpburgAutoregressive(AR)spectralestimationofatime-seriesbyminimizationoflinearpredictionerrorspburgCovarianceAutoregressive(AR)spectralestimationofatime-seriesbyminimizationoftheforwardpredictionerrorspcov第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日（4）概率密度估計Ksdensity():估計概率密度Hist()：估計直方圖第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日a=0.8;sigma=2;N=5000;u=randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2);fori=2:Nx(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i);endr=xcorr(x,'coeff');[f,xi]=ksdensity(x);subplot(2,1,1)plot(xi,f);

subplot(2,1,2);hist(x,-10:0.1:10);第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二章學習小結2.1隨機過程的基本概念和定義用隨機相位信號與接收機噪聲說明隨機過程的概念定義：對隨機試驗的結果指定一個時間函數（樣本函數）隨機過程是時間與隨機試驗結果的二維函數。2.2隨機過程的統(tǒng)計描述概率分布PDFCDF數字特征：均值、方差、相關函數2.3平穩(wěn)隨機過程ssswss循環(huán)平穩(wěn)平穩(wěn)隨機過程的自相關函數的性質第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.4隨機過程的聯合分布和互相關函數2.5隨機過程的功率譜定義,維納-辛欽定理功率譜的性質功率譜的計算隨機序列的功率譜2.6典型隨機過程白噪聲正態(tài)隨機過程第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.7基于Matlab的統(tǒng)計分析隨機數的產生iid隨機數的產生：用MATLAB函數產生任意分布隨機數產生相關正態(tài)隨機數的產生特征估計：均值，方差相關函數，功率譜PDF第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.8信號處理實例圖像處理的實例—直方圖均衡相移鍵控的數字調制PAM信號自相關函數與功率譜分析第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日關于相關函數的思考考慮一個隨機相位信號這是一個可預測的過程，即如果知道某個時刻的值，那么未來的值就可以完全預測。如第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日但如果采用線性預測第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日當m=0時，對于隨機相位信號如果n0=0第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三章隨機過程的線性變換3.1變換的基本概念與基本定理3.2隨機過程的導數與積分3.3隨機過程通過線性系統(tǒng)分析3.4隨機序列通過離散線性系統(tǒng)分析3.5信號處理實例—最佳線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機過程的概率分布第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日定義：給定一個隨機過程X(t)，我們按照某種法則，對它的每一個樣本函數x(t),都指定一個對應函數y(t),于是，我們就得到了一個新的隨機信號Y(t)，記為

Y(t)=T[X(t)]T就叫做從隨機信號X(t)到Y(t)的變換。T3.1變換的基本概念及基本定理1變換的基本概念第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日確定性變換（DeterministicTransform）如果e1和e2分別為兩個隨機試驗的結果，如果第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日2線性變換其中A1,A2為隨機變量，X1(t),X2(t)為隨機過程。對于線性變換若有則稱線性變換L是線性時不變的。第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3線性變換的基本定理定理1：設則所以算子L、E可以交換次序。由于第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日證明：L第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日定理2：設則證明：第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日對于線性時不變系統(tǒng)，若X(t)是嚴平穩(wěn)的，則Y(t)是嚴平穩(wěn)；若X(t)是廣義平穩(wěn)的，則Y(t)是廣義平穩(wěn)的。4性質輸出的均值和相關函數可以分別由輸入的均值和相關函數確定。推廣:輸出的k階矩可有輸入的k階矩來確定第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日1隨機過程的極限則稱隨機變量序列{Xn}依均方收斂于隨機變量X，或稱變量X是序列{Xn}依均方收斂意義下的極限，記為：l.i.m即Limitinmeansquare3.2隨機過程的導數與積分(1)隨機變量的極限定義：設隨機變量X和Xn(n=1,2,)均有二階矩，若有第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日由切比雪夫不等式，當n時所以Xn依概率1收斂于X第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日(2)隨機過程的極限第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日2隨機過程的連續(xù)性如果在(t0,t0)處連續(xù)，則X(t)在t=t0處連續(xù)平穩(wěn)隨機過程連續(xù)的充要條件是在=0處連續(xù)第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日二元傳輸信號的樣本是不連續(xù)的，1-1在=0處連續(xù)，所以X(t)是均方連續(xù)。第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日如果X(t)連續(xù)，則均值亦連續(xù)第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3隨機過程的導數可導的充要條件:存在平穩(wěn)隨機過程可導的充要條件：自相關函數在=0處存在一、二階導數第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日1-1二元傳輸信號均方連續(xù)，但不可導第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日4隨機過程的積分在區(qū)間劃分為n等份第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.3隨機過程通過線性系統(tǒng)分析3.3.1沖激響應法h(t)X(t)Y(t)系統(tǒng)的輸出輸出的均值：第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日若X(t)平穩(wěn)?自相關函數第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日若X(t)平穩(wěn)第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日系統(tǒng)h(t)X(t)互相關函數測量當輸入X(t)為白噪聲，系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)辨識結構圖系統(tǒng)辯識舉例第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日3.1.2頻譜法第四