第四章力學(xué)量用算符表示與表象變換

第四章力學(xué)量用算符表示與表象變換1第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日線性算符：如果算符?滿足下列條件則算符?是線性算符2第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日刻畫可觀測物理量的算符都是線性算符。（通常）﹟3第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日這是算符最基本的運算。對于任意的波函數(shù)都成立4第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日5第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日（4）算符對易討論兩個算符是否對易，一般是將它們作用在任意波函數(shù)上，看它們是否相等。若相等,則對易。即比如將要討論的位置算符6第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日而因為對任意波函數(shù)ψ：那么7第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日若一力學(xué)量有經(jīng)典對應(yīng)，可用這個關(guān)系導(dǎo)出其對易式。①對易關(guān)系的運算性質(zhì)：8第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日②角動量算符的對易關(guān)系角動量在直角坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式

9第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日其中10第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日類似可得角動量分量與動量分量的對易關(guān)系：

下面證明與角動量平方有關(guān)的一個對易式。11第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日12第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日得證。﹟13第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日③有關(guān)角動量的升降算符及其對易關(guān)系引進(jìn)升降算符（希望會證）下面看角動量算符在球坐標(biāo)中的表示14第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日在球坐標(biāo)中，以及利用15第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日

從而有﹟16第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日可以理解嗎？17第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日顯然得證。（課下證）18第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日由于又由于所以上述算符方程兩邊同左乘以所以19第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日算符的復(fù)共軛算符將表達(dá)式中的所有量，都換寫成其復(fù)共軛。

例動量算符的復(fù)共軛算符

（4）轉(zhuǎn)置算符20第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日利用內(nèi)積的定義，有則轉(zhuǎn)置算符的表達(dá)式也可以寫為即：去掉“~”，換位復(fù)共軛。要會轉(zhuǎn)換！一維粒子

三維粒子

其中對體積元：21第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日對任意滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的波函數(shù)ψ、φ？22第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日（5）厄米共軛算符顯然在坐標(biāo)表象中同樣可以證明作業(yè)：1.P87練習(xí)12.P90練習(xí)323第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日按照轉(zhuǎn)置算符A的定義，有則有～即～故對任意態(tài)ψ和φ，有～但是24第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日利用轉(zhuǎn)置的性質(zhì)，可以證明：下面介紹一個特別重要的算符厄米算符：滿足下列關(guān)系的算符是厄米算符或所以提示：可以首先證兩個算符的關(guān)系25第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日利用厄米共軛算符的定義式結(jié)合上頁定義可以得到因此，厄米算符的定義式也可以寫為26第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日（已經(jīng)知道）﹟27第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日在體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)。證明：介紹個定理:﹟28第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日在體系的任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。證明：存在逆定理:29第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日所以即30第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日上面兩式分別相加減，得滿足厄米算符的定義在物理實驗中所用的物理量與厄米算符有何關(guān)系？31第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日因此相應(yīng)的算符對應(yīng)于厄米算符物理可觀測量要求在任何狀態(tài)下的平均值為實數(shù)即物理可觀測量用厄米算符表示。﹟而在體系的任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。即厄米算符平方的平均值必是不小于零的數(shù)。32第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日前面我們介紹了幾個算符：復(fù)共軛算符厄米共軛算符逆算符轉(zhuǎn)置算符單位算符厄米算符算符都有的屬性：單位算符復(fù)共軛算符轉(zhuǎn)置算符算符可能有的屬性：逆算符厄米共軛算符厄米算符要注意區(qū)別使用。33第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日（6）算符的函數(shù)類似地，可定義算符的函數(shù)34第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日例：不難看出，利用泰勞展開，有先對算符求n次導(dǎo)數(shù)再令算符為0求值35第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日兩個或多個算符的函數(shù)可類似地定義,類似于多元函數(shù)﹟作業(yè)：p131-1321,2p162336第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§4.2厄米算符的本征值與本征函數(shù)

1、本征值與本征函數(shù)處于ψ

態(tài)中，測量力學(xué)量A，可得到各種值，這些值有一定的幾率分布。對于都用ψ來描述其狀態(tài)的大量相同體系進(jìn)行多次測量，所得結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計平均將趨向于一個確定的值。見下表：37第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日多次測量定義每一次測量結(jié)果范圍繞平均值的漲落--38第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日即由上式得39第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日上述方程加上相應(yīng)的數(shù)學(xué)和物理要求（邊界條件），構(gòu)成了量子力學(xué)的本征值問題，解此問題可得力學(xué)量的本征值和本征函數(shù)。由此有此時40第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日量子力學(xué)的又一基本原理：41第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日下面介紹兩個定理：定理1厄米算符的本征值必為實數(shù)（要會證）定理2厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。證明：42第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日以上兩式相減，得對方程﹟43第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、舉例解：這是個定軸轉(zhuǎn)動問題，z為轉(zhuǎn)軸，變量為φ本征值方程為44第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日解之得利用周期性邊界條件45第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日所以，相應(yīng)的本征函數(shù)為﹟46第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日解：與以上問題的區(qū)別—這里求的是能量的本征值和本征態(tài)考慮繞z軸轉(zhuǎn)動的平面轉(zhuǎn)子(如右圖)。式中I為轉(zhuǎn)動慣量。其Hamiltonian為47第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日或簡寫為其正交歸一化的解可取為Lz的本征態(tài)相應(yīng)的本征能量為與第一章習(xí)題4(p14)結(jié)果進(jìn)行比較。48第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日也就是說，能量是二度簡并的。發(fā)現(xiàn)：平面轉(zhuǎn)子的角動量z分量本征態(tài)和能量本征態(tài)可具有相同的函數(shù)形式。為什么？﹟49第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日解：動量的x分量的本征值方程動量的本征值上式改寫為其解為50第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日 若粒子位置不受限制，則可以取一切實數(shù)值。歸一化的平面波，與連續(xù)的本征值相應(yīng)的波函數(shù)所表示的是不能習(xí)慣上取則有平面波的“歸一化”就用δ函數(shù)的形式表示了出來。51第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日在三維情況下，動量算符的本征值方程是動量算符的本征值在直角坐標(biāo)系中的三個分量px,py和pz均為實數(shù)。動量本征值方程的解是為的單色平面波。52第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日在量子力學(xué)中，平面波代表粒子處在動量一定、在空間各處出現(xiàn)的概率都相同的狀態(tài)，這是一種理想化的模型。它不能用通常的辦法歸一化，而是采用函數(shù)的形式“歸一化”。53第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日一維自由粒子的Hamiltonian為或簡寫為54第五十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日相應(yīng)的能量本征值為﹟問題：為啥具有相同的本征態(tài)？一維粒子動量與能量算符具有相同的本征態(tài)發(fā)現(xiàn)：有何意義？55第五十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、簡并度問題如果屬于本征值的本征態(tài)是即力學(xué)量A的本征值方程為在出現(xiàn)簡并時，簡并態(tài)的選擇并不是唯一的。則稱本征值是重簡并的。稱fn為簡并度。56第五十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日而且一般說這些簡并態(tài)不一定彼此正交。下面介紹的Schmidt正交化方法就是經(jīng)常采用的方法。但是，可以證明，總可以把它們適當(dāng)?shù)鼐€性疊加使之彼此正交。57第五十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日58第五十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日對于正交條件取組合59第五十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日盡管如此，我們總可以說，厄米算符的本征函數(shù)彼此正交，不管