第四章平均指標(biāo)與標(biāo)志變異指標(biāo)

第四章平均指標(biāo)與標(biāo)志變異指標(biāo)第一頁，共七十頁，2022年，8月28日第一節(jié)平均指標(biāo)一、平均指標(biāo)概述二、數(shù)值平均數(shù)三、位置平均數(shù)第二頁，共七十頁，2022年，8月28日指總體中各單位的次數(shù)分布從兩邊向中間集中的趨勢(shì)，用平均指標(biāo)來反映。集中趨勢(shì)

反映總體各單位變量分布的集中趨勢(shì)；

可以對(duì)比同類現(xiàn)象在不同的時(shí)間、地點(diǎn)和條件下的一般水平；

可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。作用：指同質(zhì)總體中各單位某一數(shù)量標(biāo)志的一般水平，是對(duì)總體單位間數(shù)量差異的抽象化特點(diǎn)

將數(shù)量差異抽象化

是一個(gè)代表值，代表總體綜合數(shù)量特征的一般水平。

只能就同類現(xiàn)象計(jì)算第三頁，共七十頁，2022年，8月28日㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣眾數(shù)㈤中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法第四頁，共七十頁，2022年，8月28日基本形式：例：直接承擔(dān)者※注意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)（一）

算術(shù)平均數(shù)第五頁，共七十頁，2022年，8月28日1.簡單算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為總體單位總數(shù)；為第個(gè)單位的標(biāo)志值。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法第六頁，共七十頁，2022年，8月28日平均每人日銷售額為：某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】第七頁，共七十頁，2022年，8月28日2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。第八頁，共七十頁，2022年，8月28日【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。第九頁，共七十頁，2022年，8月28日解：

若已知資料為組距數(shù)列，則應(yīng)取各組的組中值作為該組的代表值用于計(jì)算；以組中值作為各組的代表值，假定各組標(biāo)志值在組內(nèi)分布是均勻的。所以求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明第十頁，共七十頁，2022年，8月28日

例：某班英語考試成績?nèi)缦拢?jì)算其平均成績

成績分組（x）人數(shù)（f）

比重(%)組中值

xf

60以下60—7070—8080—9090—10059158312.522.537.5207.555657585

952755851125680285合計(jì)

40

100—

2950

第十一頁，共七十頁，2022年，8月28日

例：某班英語考試成績?nèi)缦?，?jì)算其平均成績

成績分組（x）比重(%)60以下60—7070—8080—9090—10012.522.537.5207.5合計(jì)

100第十二頁，共七十頁，2022年，8月28日

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的另一公式第十三頁，共七十頁，2022年，8月28日【練習(xí)】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度的平均計(jì)劃完成程度。分析：應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算第十四頁，共七十頁，2022年，8月28日⒈變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：⒉變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)第十五頁，共七十頁，2022年，8月28日平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣眾數(shù)㈤中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★第十六頁，共七十頁，2022年，8月28日1.簡單調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，常用的是特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)第十七頁，共七十頁，2022年，8月28日2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況m表示的是各組標(biāo)志總量xf。

第十八頁，共七十頁，2022年，8月28日市場單價(jià)（元）x貿(mào)易額（元）m=xf甲1.002500乙0.902700丙0.804000合計(jì)—920010500某商品平均單價(jià)計(jì)算表貿(mào)易量（千克）f=m/x25003000500010500第十九頁，共七十頁，2022年，8月28日日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計(jì)9710【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。第二十頁，共七十頁，2022年，8月28日即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。解第二十一頁，共七十頁，2022年，8月28日平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣眾數(shù)㈤中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★★第二十二頁，共七十頁，2022年，8月28日是n項(xiàng)變量值連乘積的開n次方根幾何平均數(shù)

用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：（三）幾何平均數(shù)第二十三頁，共七十頁，2022年，8月28日1.簡單幾何平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況幾何平均數(shù)的計(jì)算方法第二十四頁，共七十頁，2022年，8月28日【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。解：第二十五頁，共七十頁，2022年，8月28日思考

若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。第二十六頁，共七十頁，2022年，8月28日不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照其它平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)閼?yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即第二十七頁，共七十頁，2022年，8月28日2.加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況第二十八頁，共七十頁，2022年，8月28日【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。解第二十九頁，共七十頁，2022年，8月28日思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。解：（比較：按復(fù)利計(jì)息時(shí)的平均年利率為6.85﹪）第三十頁，共七十頁，2022年，8月28日

三個(gè)數(shù)值平均數(shù)的關(guān)系算術(shù)平均數(shù)最常用同一資料而言，其結(jié)果有如下關(guān)系：

幾何平均數(shù)對(duì)小的極端值敏感，算術(shù)平均數(shù)對(duì)大的極端值敏感。第三十一頁，共七十頁，2022年，8月28日平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣眾數(shù)㈤中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★★★第三十二頁，共七十頁，2022年，8月28日指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示,它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。眾數(shù)(四)眾數(shù)第三十三頁，共七十頁，2022年，8月28日日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例1】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:眾數(shù)的確定（單項(xiàng)數(shù)列）計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。第三十四頁，共七十頁，2022年，8月28日平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣眾數(shù)㈤中位數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★★★★第三十五頁，共七十頁，2022年，8月28日將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示中位數(shù)

不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。（五）中位數(shù)第三十六頁，共七十頁，2022年，8月28日中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則（未分組資料）中位數(shù)的確定第三十七頁，共七十頁，2022年，8月28日中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即:【例B】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則第三十八頁，共七十頁，2022年，8月28日【例C】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位次：中位數(shù)的確定（單項(xiàng)數(shù)列）第三十九頁，共七十頁，2022年，8月28日中位數(shù)一定存在；中位數(shù)不受極端值影響；中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)相近；變量值與中位數(shù)離差絕對(duì)值之和最小。中位數(shù)的作用及用法第四十頁，共七十頁，2022年，8月28日152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174第一個(gè)四分位數(shù)Q１

第二個(gè)四分位數(shù)Q２

第三個(gè)四分位數(shù)Q3

四分位數(shù)第四十一頁，共七十頁，2022年，8月28日箱線圖

利用數(shù)據(jù)中的五個(gè)統(tǒng)計(jì)量：最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)與最大值來描述數(shù)據(jù)。第四十二頁，共七十頁，2022年，8月28日眾數(shù)、中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系皮爾遜經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)次數(shù)分布呈對(duì)稱的鐘形分布時(shí)，三者相等；第四十三頁，共七十頁，2022年，8月28日左偏分布右偏分布第四十四頁，共七十頁，2022年，8月28日第四十五頁，共七十頁，2022年，8月28日第二節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)一、標(biāo)志變異指標(biāo)概述二、極差與分位差三、平均差四、標(biāo)準(zhǔn)差與方差五、成數(shù)指標(biāo)六、變異系數(shù)第四十六頁，共七十頁，2022年，8月28日

課程學(xué)生語文數(shù)學(xué)英語總成績平均成績甲乙丙606555656565706575195195195656565單位：分某班三名同學(xué)三門課程的成績?nèi)缦拢赫?qǐng)比較三名同學(xué)學(xué)習(xí)成績的差異。第四十七頁，共七十頁，2022年，8月28日集中趨勢(shì)弱、離中趨勢(shì)強(qiáng)集中趨勢(shì)強(qiáng)、離中趨勢(shì)弱第四十八頁，共七十頁，2022年，8月28日測定標(biāo)志變異度的絕對(duì)量指標(biāo)（與原變量值單位相同）測定標(biāo)志變異度的相對(duì)量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差四分位差全距系數(shù)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)第四十九頁，共七十頁，2022年，8月28日指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱級(jí)差。

最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則全距第五十頁，共七十頁，2022年，8月28日【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度計(jì)劃完成程度的全距。第五十一頁，共七十頁，2022年，8月28日

優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡單、易懂；

缺點(diǎn):易受極端數(shù)值的影響，準(zhǔn)確程度差往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中全距的特點(diǎn)第五十二頁，共七十頁，2022年，8月28日第三個(gè)四分位數(shù)與第一個(gè)四分位數(shù)之差。第三個(gè)四分位數(shù)第一個(gè)四分位數(shù)四分位差越大，說明中位數(shù)的代表性越差；反之，四分位差越小，中位數(shù)的代表性越好。

四分位間距

四分位差第五十三頁，共七十頁，2022年，8月28日152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160

160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163

163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174185190190200全距＝200-152=48（cm）四分位差＝(168-160)/2＝4（cm）87名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)第五十四頁，共七十頁，2022年，8月28日⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，用A.D.

表示平均差A(yù).D.計(jì)算公式：總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值第五十五頁，共七十頁，2022年，8月28日【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個(gè)人銷售額的平均差為93.6元。第五十六頁，共七十頁，2022年，8月28日⑵加權(quán)平均差——適用于分組資料平均差的計(jì)算公式總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值第五十七頁，共七十頁，2022年，8月28日【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的平均差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計(jì)—2000第五十八頁，共七十頁，2022年，8月28日解：即該公司職工月工資的平均差為138.95元。第五十九頁，共七十頁，2022年，8月28日優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對(duì)值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。平均差的特點(diǎn)第六十頁，共七十頁，2022年，8月28日⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用來表示。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)σ第六十一頁，共七十頁，2022年，8月28日【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：即該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元。第六十二