第四章 影響線結(jié)構(gòu)力學(xué)

第四章影響線結(jié)構(gòu)力學(xué)第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日1移動荷載和影響線的概念1.問題的提出工程結(jié)構(gòu)除了承受固定荷載作用外，還要受到移動荷載的作用。在移動荷載作用下，結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力將隨著荷載位置的移動而變化，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，必須求出移動荷載作用下反力和內(nèi)力的最大值。第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日為了解決這個問題，需要研究荷載移動時反力和內(nèi)力的變化規(guī)律。然而不同的反力和不同截面的內(nèi)力變化規(guī)律各不相同，即使同一截面，不同的內(nèi)力變化規(guī)律也不相同，解決這個復(fù)雜問題的工具就是影響線。2.最不利荷載位置某一量值產(chǎn)生最大值的荷載位置，稱為最不利荷載位置。第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日ABRAF工程中移動荷載常由很多間距不變的豎向荷載組成，類型多種多樣，不可能逐一研究。先研究最簡單的荷載，即豎向單位集中荷載F=1沿結(jié)構(gòu)移動時，對某量值產(chǎn)生的影響，據(jù)疊加原理可進(jìn)一步研究各種移動荷載對該量值的影響。1231F=1F=1F=1F=1F=1所得圖形表示F=1在梁上移動時反力RA的變化規(guī)律，這一圖形就稱為反力RA的影響線。03/41/21/4第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.影響線的定義指向不變的單位集中荷載(豎直向下)沿結(jié)構(gòu)移動時，表示某一量值變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。某量值的影響線一經(jīng)繪出，就可以利用它來確定最不利荷載位置，應(yīng)用疊加法求出該量值的最大值。RA的影響線ABRAF1231F=1F=1F=1F=1F=103/41/21/4第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日2靜力法作簡支梁的影響線1.繪制影響線的基本方法：2.靜力法：1)選定一坐標(biāo)系，荷載F=1置于橫坐標(biāo)x處;2)據(jù)靜力條件求所求量值與荷載位置x之間的函數(shù)關(guān)系S(x)，即影響線方程;

3)根據(jù)方程S(x)繪影響線。靜力法和機(jī)動法。第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.簡支梁的影響線（1）反力影響線由∑MB=0(0≤x≤l)當(dāng)x=0,RA=1x=l,RA=0RA影響線1RA影響線:RB影響線由∑MA=0RBl－Fx=0(0≤x≤l)當(dāng)x=0,RB=0x=l,RB=1RB影響線1yKxRARBF=1K00⊕⊕物理意義:當(dāng)F=1移動到K截面時,支座A的反力RA的大小第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日F=1（2）彎矩影響線繪制MC的影響線當(dāng)F=1在C左側(cè)移動時,取截面C以右部分:MC=RBb=(0≤x≤a)得MC影響線的左直線。x=0,MC=0x=a,MC=ab/lb當(dāng)F=1在截面C右側(cè)移動時:取截面C以左部分:MC=RAa=(a≤x≤l)得MC影響線的右直線。x=a,MC=x=l,MC=0ab/l左直線右直線xxMC影響線aF=1x0F=1RAabCRBxF=1第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日F=111右直線左直線xxFsC影響線b/lF=1x繪制FsC的影響線（3）剪力影響線F=1RAabCRBxF=1-當(dāng)F=1在AC段上移動時,取截面C以右部分:FsC=－RB(0≤x＜a)當(dāng)F=1在CB段上移動時,取截面C以左部分:FsC=RA(a＜x≤l)(右直線)(左直線)第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.伸臂梁的影響線（1）反力影響線F=1x由平衡條件求得RA=RB=(-l1≤x≤l+l2)11（2）跨內(nèi)部分截面內(nèi)力影響線MC、FsC影響線當(dāng)F=1在DC段移動時，取截面C以右部分為隔離體有MC=RBbFsC=－RB1當(dāng)F=1在CE段移動時，取截面C以左部分為隔離體有MC=RAaFsC=RAab1RA影響線RB影響線MC影響線FsC影響線RARBabEDABCF=1x⊕?第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日(3)伸臂部分截面內(nèi)力影響線繪制MK、FsK影響線當(dāng)F=1在DK段上移動時KDEF=1x取K以左為隔離體MK=－xFsK=－1dd1MK影響線FsK影響線當(dāng)F=1在KE段上移動時取K以左為隔離體F=1MK=0FsK=0繪制FsA左影響線1FsA左影響線繪制FsA右影響線11FsA右影響線0??⊕⊕??第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日（4）多跨靜定梁的影響線1.多跨靜定梁影響線繪制步驟首先分清多跨靜定梁的基本部分和附屬部分及其傳力關(guān)系，再利用單跨靜定梁的已知影響線，多跨靜定梁的影響線即可繪出。2.舉例說明首先分析幾何組成并繪層疊圖。Kal當(dāng)F=1在CE段上移動時MK影響線與CE段單獨作為一伸臂梁相同。MK影響線當(dāng)F=1在AC段上移動時MK=0當(dāng)F=1在EF段上移動時RF此時CE梁相當(dāng)于在結(jié)點E處受到VE的作用VE=故MK影響線在EF段為直線。a繪制MK的影響線繪制FsB左的影響線按上述步驟繪出FsB左影響線如圖。0VEF=1101FsB左影響線F=1xE第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日MC影響線83000MK影響線FsC左影響線0FsC右影響線1111.500練習(xí)第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日多跨靜定梁反力及內(nèi)力影響線的一般作法如下：

（1）當(dāng)F=1在量值本身梁段上移動時，量值的影響線與相應(yīng)單跨靜定梁相同。（2）當(dāng)F=1在對于量值所在部分來說是基本部分的梁段上移動時，量值影響線的豎標(biāo)為零。

（3）當(dāng)F=1在對于量值所在部分來說是附屬部分的梁段上移動時，量值影響線為直線。此外，用機(jī)動法繪制多跨靜定梁的影響線也很方便。第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日3間接荷載作用下的影響線1.間接荷載（結(jié)點荷載）橋梁結(jié)構(gòu)的縱橫梁橋面系統(tǒng)中的主梁受力簡圖如圖所示。主梁橫梁（結(jié)點）縱梁計算主梁時通常假定縱梁簡支在橫梁上，橫梁簡支在主梁上。荷載直接作用在縱梁上，再通過橫梁傳到主梁，即主梁承受結(jié)點荷載。這種荷載稱為間接荷載或結(jié)點荷載。F第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.間接荷載影響線的繪制方法以繪制MC影響線為例F=1（1）首先，將F=1移動到各結(jié)點處。F=1其MC與直接荷載作用在主梁上完全相同。MC影響線yDyE（2）其次，當(dāng)F=1在DE間移動時，主梁在D、E處分別受到結(jié)點荷載及的作用。xd設(shè)直接荷載作用下MC影響線在D、E處的豎標(biāo)為yD、yE，在上述兩結(jié)點荷載作用下MC值為y=（直線方程）x=0,y=yDx=d,y=yEyF=1F=1CDABEF=1第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日間接荷載作用下影響線的繪制方法：（1）首先作出直接荷載作用下量值的影響線。（2）然后取各結(jié)點處的豎標(biāo)，并將其頂點在每一縱梁范圍內(nèi)連成直線。例題F=1RB影響線MK影響線aFsK影響線（練習(xí)）a10K第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日練習(xí)：試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)ME、FsE影響線。ME影響線FsE影響線15/85/83/81/21/41/41/43/25/45/43/4第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日4靜力法作桁架的影響線1.單跨靜定桁架，其支座反力的計算與單跨靜定梁相同，故二者反力影響線相同。2.用靜力法作桁架內(nèi)力影響線，其計算方法與桁架內(nèi)力的計算方法相同，同樣分為結(jié)點法和截面法，不同的是作用的是F=1的移動荷載，只需求出F=1在不同位置時（“跳動”）內(nèi)力的影響線方程。下面以簡支桁架為例，說明桁架內(nèi)力影響線的繪制方法。第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.作桁架的影響線解：繪S12影響線用力矩法，作Ⅰ-Ⅰ截面。當(dāng)F=1在A－1間移動時ⅠⅠF=1F=1AB取右部為隔離體，由∑M5=0有RARBRB×5d－S12h=0S12=RBS12影響線當(dāng)F=1在2－B間移動時取左部為隔離體，F(xiàn)=1F=1由∑M5=0有RA×3d－S12h=0S12=RA當(dāng)F=1在節(jié)間（1-2）內(nèi)移動時，S12的影響線為一直線。第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5機(jī)動法作影響線

靜力法和機(jī)動法是作影響線的兩種基本方法。1.機(jī)動法的依據(jù)——虛位移原理

剛體體系在力系作用下處于平衡的充要條件是：在任何微小的虛位移中，力系所作的虛功總和為零。第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.機(jī)動法簡介作反力RA的影響線，為求反力RA，撤掉與其相應(yīng)的約束即A處的支座，以正向反力代替。RA原結(jié)構(gòu)變成有一個自由度的幾何可變體系(機(jī)構(gòu))，給此體系微小虛位移。A虛功方程：RAA+FF=0FRA=－BA令A(yù)=1RA=－F虛位移圖F便代表了RA的影響線。F=1AB1RA(x)=－F(x)虛位移圖影響線F=1第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.機(jī)動法由前面分析可知，欲作某一反力或內(nèi)力S的影響線，只需將與S相應(yīng)的約束撤掉，代以所求量值S，并使所得機(jī)構(gòu)沿S的正向發(fā)生單位位移，則由此得到的豎向位移圖即為S的影響線。這種方法稱為機(jī)動法。優(yōu)點在于不必經(jīng)過具體計算就能迅速繪出影響線。例：用機(jī)動法繪MC影響線ABCabMCMCABCF=1A1Fa)()114字口訣:

求何撤何代以何,沿何吹氣位移1。第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日RB影響線ABRB11機(jī)動法繪簡支梁影響線第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日MCCAB1abbab/lMC影響線RB影響線ABRB11第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日MCCAB1abbab/lMC影響線RB影響線ABRB11FsC影響線FsC111b/la/l第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日表示單位移動荷載作用下某指定截面內(nèi)力變化規(guī)律的圖形稱為內(nèi)力的影響線。()課堂練習(xí)2.圖示結(jié)構(gòu)ME的影響線AC、CD段縱標(biāo)為

。F=1ABCDEAC、CD均不為零；B.AC、CD均為零；AC為零，CD不為零；D.AC不為零，CD為零。第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.圖示結(jié)構(gòu)MD的影響線在C點處的縱坐標(biāo)值為

。F=1ADCB3m2m1m4/3m1m1、圖b是圖a的_________影響線，豎標(biāo)是表示P=1作用在_________截面時________的數(shù)值。4.圖b是圖a的_____影響線，豎標(biāo)yD表示F=1作用在___截面時________的數(shù)值。F=1CABDK()()ab-yD1mMKDMK第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日6影響線的應(yīng)用前面學(xué)習(xí)了影響線的繪制方法?，F(xiàn)在開始研究影響線的應(yīng)用。首先討論如何利用影響線求量值。1.求各種荷載作用下的影響某量值的影響線已繪出，若干個荷載作用在已知位置。F1F2Fny1y2yn據(jù)疊加原理S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=∑FiyiS影響線R第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日F1F2Fn若集中力作用在影響線某一直線范圍內(nèi)，則有:S影響線S影響線y1y2ynox1x2S=F1y1+F2y2+…+Fnyn0=(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tg=tg∑Fixi據(jù)合力矩定理∑Fixi=R故有S=Rtg=RR合力R作用點處影響線的豎標(biāo)合力第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日qxabS影響線微段dx上的荷載為qxdx，則ab區(qū)段內(nèi)分布荷載產(chǎn)生的影響量:dxyS=均布荷載（Fs=常數(shù)）S=qS影響線abqxdxω影響線在荷載范圍內(nèi)面積的代數(shù)和第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.求荷載的最不利位置

使某一量值發(fā)生最大(或最小)值的荷載位置，即為最不利荷載位置。移動荷載作用下的結(jié)構(gòu)，各種量值均隨荷載位置的變化而變化，設(shè)計時必須求出各種量值的最大值（或最小值）。為此，要首先確定最不利荷載位置。1.一個集中荷載最不利荷載位置直觀判斷。S影響線FSmaxFSmin第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.可以任意布置的均布荷載（如人群、貨物等）由式S=q可知S影響線SmaxSmin3.行列荷載：

行列荷載的最不利荷載位置難于直觀判定。但據(jù)最不

一系列間距不變的移動集中荷載第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.臨界位置的判定由最不利利荷載位置的定義可知，當(dāng)荷載移動到該位置時，所求量值S最大，因而荷載由該位置不論向左或向右移動到鄰近位置時，S值均將減小。因此，下面從討論荷載移動時S的增量入手解決這個問題。第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日設(shè)某量值S的影響線如圖,規(guī)定以順時針為正.xyS影響線12現(xiàn)有一組集中荷載處于圖示位置，R1R2Rny1y2yn所產(chǎn)生的影響量S1為S1=R1y1+R2y2+…+Rnyn當(dāng)整個荷載組向右移動△x時，△x△y1△x△x△y2△ynn相應(yīng)的量值為S2S2=R1(y1+△y1)+R2(y2+△y2)+…+Rn(yn+△yn)故S的增量:△S=S2－S1=R1△y1+R2△y2+…+Rn△yn=R1△xtg1+R2△xtg2+…+Rn△xtgn=△x∑Ritgi則△S=△x∑Ritgi第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日當(dāng)△x>0(荷載右移)∑Ritgi

＜

0∑Ritgi0＞0同理，S有極小值時總之，荷載向左、右移動微小距離后，∑Ritgi變號，S才可能有極值。△S=△x∑Ritgi＜0當(dāng)S有極大值的條件:當(dāng)△x<0(荷載左移)當(dāng)△x>0(荷載右移)∑Ritgi

>

0∑Ritgi0<0當(dāng)△x<0(荷載左移)△S=△x∑Ritgi>0第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日

在什么情況下∑Ritgi才可能變號？式中tgi是各段影響線的斜率，它是常數(shù)，并不隨荷載移動而變號。故引起變號就是各段上的合力Ri的數(shù)值發(fā)生變化，顯然只有當(dāng)某一集中荷載恰好作用在影響線的某一個頂點處時，才有可能。能使∑Ritgi變號的荷載稱為臨界荷載，此時的荷載位置稱為臨界荷載位置。臨界荷載位置判別式如前。

確定臨界位置一般采用試算法。一般臨界位置可能不止一個，這就需將與各臨界位置相應(yīng)的S極值均求出，從中選出最大（最小）值，相應(yīng)的荷載位置就是最不利荷載位置。第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日

為了減小試算次數(shù)，可事先大致估計最不利荷載位置，對于常用的三角形影響線，abh臨界位置判別式可進(jìn)一步簡化，設(shè)臨界荷載Fcr處于三角形影響線的頂點，RaFcrRb臨界位置判別式為：荷載左移(Ra+Fcr)tg－Rbtg＞0荷載右移Ratg－(Fcr+Rb)tg＜0將tg=和tg=代入，得三角形影響線判別臨界位置的公式，可以形象理解為：把Fcr歸到頂點哪一邊，哪一邊的平均荷載就大。第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日對于均布荷載跨過三角形影響線頂點的情況，abhRaRb可由的條件來確定臨界位置。此時有∑Ritgi=得即左、右兩邊的平均荷載相等。直角三角形影響線上面諸式不適用。第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日

例題：求圖示簡支梁在汽車—10級荷載作用下截面C的最大彎矩。ABC40m15m25m解：作Mc影響線159·38首先考慮車隊右行將重車后輪置于頂點。1003070kN5070306m45415423·756·257·882·250·75按式（6—6)計算有故，這是臨界位置其他行駛位置不必考慮。其次再考慮車隊調(diào)頭向左行駛。將重車后輪置于影響線頂點。有故這又是一臨界位置，其它情況也不必考慮。據(jù)上述兩種臨界位置，可分別算出相應(yīng)的MC值。經(jīng)比較得右行時MC值大，故：MCmax=70×3.75+30×6.25+100×9.38+50×7.88+70×2.25+30×0.75=1962kN·m第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日7簡支梁的絕對最大彎矩（參考教學(xué)）1.絕對最大彎矩：梁的各截面最大彎矩中的最大者，稱為絕對最大彎矩。2.確定絕對最大彎矩的一般方法要點：（1）絕對最大彎矩發(fā)生的截面；（2）該截面發(fā)生最大彎矩的荷載位置。應(yīng)逐個截面計算最大彎矩，然后加以比較。即使取有限個截面計算也是較繁瑣的。當(dāng)梁上作用的荷載是集中荷載時，問題可以簡化。在集中荷載作用下，彎矩圖的頂點總是在集中荷載作用處，可以斷定絕對最大彎矩必定發(fā)生在某一集中荷載作用點處截面上。余下的問題只是確定它發(fā)生在哪一個荷載作用點處及該點位置。第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.集中荷載作用下絕對最大彎矩的確定方法如下：任選一集中荷載，找出該集中荷載作用點處截面在什么位置彎矩有最大值，然后按同樣方法計算其它荷載作用處截面的最大彎矩，再加以比較，即可求出絕對最大彎矩。ABF1F2FkFn取荷載Fk,其作用點處彎矩：Mx=RAx－Mkl/2l/2Fkx=RA/l(l－x－a)x－MkRA=R/l(l－x－a)Fk以左荷載對Fk作用點力矩總和，是與x無關(guān)的常數(shù)。Mx有極大值時即Ra有可逐個荷載計算，然后加以比較，便可以得出絕對最大彎矩。x=l/2－a/2即當(dāng)Fk與合力R對稱于梁的中點第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日計算步驟:（1）先找出可能使跨中產(chǎn)生最大彎矩的臨界荷載。（2）使上述荷載與梁上所有荷載的合力對稱于中截面，計算此時臨界荷載所在截面的最大彎矩。（3）類似地，計算出其它截面的最大彎矩并加以比較，其中最大者即為絕對最大彎矩。ABF1F2FkFnl/2l/2FkxR第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日例11—5求圖示簡支梁在汽車—10級荷載作用下的絕對最大彎矩，并與跨中截面的最大彎矩比較。ABC20m解：（1）求MCmax10m繪MC影響線105.0MC影響線6m4m5m4m100503070顯然重車后輪位于影響線頂點時為最不利荷載位置3.02.50.5MCmax=50×3.0+100×5.0+30×2.5+70×0.5=760kN·m（2）求絕對最大彎矩設(shè)發(fā)生絕對最大彎矩時有四個荷載在梁上，其合力為RR=50+100+30+70=250kNR到Fcr(100)的距離a=ABC100503070R2·32m8.84m8.84m故得絕對最大彎矩Mmax==777kN·m第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日7簡支梁的包絡(luò)圖（參考教學(xué)）1.內(nèi)力包絡(luò)圖

在結(jié)構(gòu)計算中，需要求出荷載作用下，各截面的最大最小內(nèi)力，作為設(shè)計依據(jù)。把梁上各截面內(nèi)力的最大值和最小值按同一比例標(biāo)在圖上，連成曲線。這一曲線即為內(nèi)力包絡(luò)圖。2.內(nèi)力包絡(luò)圖的繪制方法一般將梁分為十等份，先求出各截面的最大彎矩值，