連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共47頁(yè)。（優(yōu)選）第二節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量當(dāng)前2頁(yè)，總共47頁(yè)。p.d.f.

p(x)的性質(zhì)

常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能

在p(x)

的連續(xù)點(diǎn)處，p(x)描述了ξ在

x

附近單位長(zhǎng)度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.否作為連續(xù)性r.v.的p.d.f.當(dāng)前3頁(yè)，總共47頁(yè)。積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線段質(zhì)量長(zhǎng)度密度的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo)當(dāng)前4頁(yè)，總共47頁(yè)。注意:對(duì)于連續(xù)型r.v.ξ,P{ξ=a}=0其中a

是隨機(jī)變量

ξ

的一個(gè)可能的取值事實(shí)上當(dāng)前5頁(yè)，總共47頁(yè)。命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強(qiáng)調(diào)概率為0(或1)的事件未必不發(fā)生(或必發(fā)生)。當(dāng)前6頁(yè)，總共47頁(yè)。xyabOp(x)對(duì)于連續(xù)型r.v.ξ，其密度函數(shù)為

p(x)當(dāng)前7頁(yè)，總共47頁(yè)。如下圖所示bxp(x)aO當(dāng)前8頁(yè)，總共47頁(yè)。例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命ξ(1)求常數(shù)c(3)已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管,每個(gè)電子(2)

計(jì)算為連續(xù)r.v.,其p.d.f.為管能否正常工作相互獨(dú)立,求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率.當(dāng)前9頁(yè)，總共47頁(yè)。解(1)令c=1000(2)

當(dāng)前10頁(yè)，總共47頁(yè)。(3)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三個(gè)電子管中設(shè)A

表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)損壞的個(gè)數(shù)為則當(dāng)前11頁(yè)，總共47頁(yè)。例2：設(shè)隨機(jī)變量ξ具有概率密度求：（1）常數(shù)a；（2）（3）ξ的分布函數(shù)F(x)解：（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2當(dāng)前12頁(yè)，總共47頁(yè)。當(dāng)前13頁(yè)，總共47頁(yè)。(1)均勻分布常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布若ξ的p.d.f.

為則稱ξ

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

ξ

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作當(dāng)前14頁(yè)，總共47頁(yè)。ξ

的分布函數(shù)為當(dāng)前15頁(yè)，總共47頁(yè)。xp(x)abxF(x)ba當(dāng)前16頁(yè)，總共47頁(yè)。即ξ落在(a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān),只與其長(zhǎng)度成正比.這正是幾何概型的情形.應(yīng)用場(chǎng)合進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí),若在小數(shù)點(diǎn)后第k

位進(jìn)行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機(jī)變量.當(dāng)前17頁(yè)，總共47頁(yè)。例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計(jì)時(shí)精度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差ξ的p.d.f.并計(jì)算誤差的絕對(duì)值不超過(guò)0.004秒的概率.解

ξ等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則當(dāng)前18頁(yè)，總共47頁(yè)。(2)指數(shù)分布若ξ的p.d.f.為則稱ξ

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作ξ

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)當(dāng)前19頁(yè)，總共47頁(yè)。1xF(x)0xp(x)0當(dāng)前20頁(yè)，總共47頁(yè)。對(duì)于任意的0<a<b,應(yīng)用場(chǎng)合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問(wèn)題中的通話時(shí)間無(wú)線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似當(dāng)前21頁(yè)，總共47頁(yè)。若ξ~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”事實(shí)上命題當(dāng)前22頁(yè)，總共47頁(yè)。例4

假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為

t

的時(shí)間內(nèi)求發(fā)生故障的次數(shù)相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的概率分布;(2)設(shè)備已正常運(yùn)行８小時(shí)的情況下,再正常運(yùn)行10小時(shí)的概率.解(1)當(dāng)前23頁(yè)，總共47頁(yè)。即(2)由指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”當(dāng)前24頁(yè)，總共47頁(yè)。(3)正態(tài)分布若ξ的p.d.f.為則稱ξ服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作ξ~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布當(dāng)前25頁(yè)，總共47頁(yè)。N(-3,1.2)當(dāng)前26頁(yè)，總共47頁(yè)。p(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱,即在x=

時(shí),p(x)取得最大值在x=±

時(shí),曲線

y=p(x)在對(duì)應(yīng)的曲線

y=p(x)以x軸為漸近線。曲線

y=p(x)的圖形呈單峰狀。p(+x)=p(-x)點(diǎn)處有拐點(diǎn)。當(dāng)前27頁(yè)，總共47頁(yè)。當(dāng)前28頁(yè)，總共47頁(yè)。

p(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同的,對(duì)應(yīng)的p(x)—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同的，p(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x=.附近值的概率更大.x=1所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)前者取的形狀不變化，只是位置不同。當(dāng)前29頁(yè)，總共47頁(yè)。幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比大小當(dāng)前30頁(yè)，總共47頁(yè)。正態(tài)變量的條件若r.v.

ξ①受眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負(fù)影響可以疊加則稱ξ為正態(tài)r.v.當(dāng)前31頁(yè)，總共47頁(yè)?？捎谜龖B(tài)變量描述的實(shí)例極多：各種測(cè)量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生的考試成績(jī)；當(dāng)前32頁(yè)，總共47頁(yè)。一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門(mén)的表供查.——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)當(dāng)前33頁(yè)，總共47頁(yè)。當(dāng)前34頁(yè)，總共47頁(yè)。-xx當(dāng)前35頁(yè)，總共47頁(yè)。對(duì)一般的正態(tài)分布：ξ~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換當(dāng)前36頁(yè)，總共47頁(yè)。例5設(shè)ξ~N(1,4),求P(0ξ1.6)解當(dāng)前37頁(yè)，總共47頁(yè)。例6已知且P(2<ξ<4)=0.3,求P(ξ<0).解一當(dāng)前38頁(yè)，總共47頁(yè)。解二圖解法0.2由圖0.3當(dāng)前39頁(yè)，總共47頁(yè)。例7設(shè)求下列概率值：因?yàn)榍蟮孟铝懈怕手诞?dāng)前40頁(yè)，總共47頁(yè)。準(zhǔn)則正態(tài)r.v的值幾乎都落在內(nèi)3σ原則：當(dāng)前41頁(yè)，總共47頁(yè)。一次試驗(yàn)中,ξ落入?yún)^(qū)間(-3,+3)由3原理知，當(dāng)?shù)母怕蕿?.9974,而超出此區(qū)間可能性很小當(dāng)前42頁(yè)，總共47頁(yè)。z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)ξ~N(0,1),0<<1,稱滿足的點(diǎn)z

為ξ的上分位數(shù)

常用數(shù)據(jù)當(dāng)前43頁(yè)，總共47頁(yè)。例8

設(shè)測(cè)量的誤差ξ~N(7.5,100)(單位:米)問(wèn)要進(jìn)行多少次獨(dú)立測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米的概率大于0.9?解當(dāng)前44頁(yè)，總共47頁(yè)。設(shè)A

表示進(jìn)行n次獨(dú)立測(cè)量至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)10米。n>3故至少要進(jìn)行4次獨(dú)立測(cè)量才能滿足要求.當(dāng)前45頁(yè)，總共47頁(yè)。例9：某儀器需安裝一個(gè)電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時(shí)即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命