九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) （數(shù)學(xué)）2017 年 12 月第二一章一元二次方程22.122.1 一元二次方程知識(shí)點(diǎn)-元二次方程的定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點(diǎn)：1只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 2;是整式方程。知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2bx c =0（-= 0）其中，ax2是二次項(xiàng)，a a 是二次項(xiàng)系數(shù)； bx是一次項(xiàng)，b b 是一次項(xiàng)系數(shù)；c c 是常數(shù)項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一 元二次方程的根。方程的解的定

2、義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根的依據(jù)。22.222.2 降次一一解一元二次方程22212221 配方法知識(shí)點(diǎn)一直接開(kāi)平方法解一元二次方程（1 1） 如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方， 另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開(kāi)平方。一般地，對(duì)于形如 x2=a（a_0）的方程，根據(jù)平方根的定義可解得右= .、a x2= -一 a |（2 2） 直接開(kāi)平方法適用于解形如 x2=p 或（mx a）2二 p（m = 0）形式的方程， 如果 p p0就可以利用直接開(kāi)平方法。（3 3） 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正 數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。（4

3、 4） 直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是：移項(xiàng)；使二次項(xiàng)系數(shù)或含 有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為 1 1;兩邊直接開(kāi)平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè) 一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識(shí)點(diǎn)二配方法解一元二次方程通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是 降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開(kāi)。（1 1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2 2）方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；（3 3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；（4 4）若等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開(kāi)平方求出方程的解。22.2.222.

4、2.2 公式法知識(shí)點(diǎn)一公式法解一元二次方程（1 1）一般地，對(duì)于一元二次方程ax2 bx c = 0（a = 0），如果 b2-4ac_0，那么方程的兩個(gè)根為x x 二b4aC，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根2a2a公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,ca,b,c 的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2 2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2bx c = 0（a = 0）的過(guò)程。（3 3） 公式法解一元二次方程的具體步驟：1方程化為一般形式：ax2bx 0（- 0），一般 a a 化為正值2確定公式中 a,b,ca,

5、b,c 的值，注意符號(hào)；3求出 b2-4ac 的值；4若 b24ac _0 則把 a,b,ca,b,c 和 b-4acb-4ac 的值代入公式即可求解，b2-4ac：0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程根的判別式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2bx 0（-0）根的判別式，通常用希臘字母表示它，即厶=b2-4ac , ,也 0，方程 ax2+bx + c = 0（a 式 0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程根的判別式22.2.22.2. 3 3 因式分=0，方程 ax2+bx+c = 0（a =0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 解法0 0，方程 ax2+bx+c = 0（a 式 0）無(wú)實(shí)數(shù)根知識(shí)點(diǎn)

6、一因式分解法解一元二次方程(1) 把一元二次方程的一邊化為 0 0,而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn) 而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。(2)因式分解法的詳細(xì)步驟：1移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為 0 0；2把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積， 可用的方法有提公因式、 平方差公式 和完全平方公式；3令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程；4解一元一次方程即可得到原方程的解。知識(shí)點(diǎn)二用合適的方法解一元一次方程方法名稱理論依據(jù)適用范圍直接開(kāi)平方法平方根的意義形如x2= p或(mx + n)2= p( p A 0)配方法完全平方公式所有一兀二次方程公式法配方法所有一

7、兀二次方程因式分解法當(dāng) ab=0ab=0，則 a=0a=0 或b=0b=0一邊為 0 0，另一邊易于分解成兩個(gè)一 次因式的積的一元二次方程。22.2.422.2.4 元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(了解)右一兀二次方程x2px q=0的兩個(gè)根為Xi,為則有xi，X2=-p ,XiX2=q若一元二次方程 ax2bx 0(0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi，X2則有XiX2b,X1X2二Caa22.322.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及 它們之間的等量關(guān)系。(2)設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。(3)列：就是列

8、方程，這是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的 一個(gè)相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。(5)驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。(6)答：寫出答案。知識(shí)點(diǎn)二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類型(1)數(shù)字問(wèn)題三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為 x x，則另兩個(gè)數(shù)分別為 X-1X-1, X+1X+1。 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若中間的一個(gè)數(shù)為 x x，則另兩個(gè)數(shù)分別為 x-2,x+2x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c,a,b,c,則這個(gè)三位數(shù)是 10

9、0a+10b+c.100a+10b+c.(2)增長(zhǎng)率問(wèn)題設(shè)初始量為 a a,終止量為 b b,平均增長(zhǎng)率或平均降低率為 x x,則經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng) 或降低后的等量關(guān)系為a(仁x)2二b(3) 利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：總利潤(rùn) = =總銷售價(jià)- -總成本；總利潤(rùn)= =單位利 潤(rùn)總銷售量；利潤(rùn)= =成本X利潤(rùn)率(4) 圖形的面積問(wèn)題 根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖 形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，建立一元二次方程。第二十二章二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義1.1. 二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2bx，c(a, b, c是常數(shù)，a=0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

10、其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二二|拋物線的三要素：開(kāi)口、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)_ 2、 ”2.2. 二次函數(shù)y =a x - hwk的圖象與性質(zhì)(1) 二次函數(shù)基本形式y(tǒng)=ax2的圖象與性質(zhì)：a a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小(2)y =ax2c的圖象與性質(zhì)：上加下減(3)y=a(x-h$的圖象與性質(zhì)：左加右減(4) 二次函數(shù)y=a(x-h)+k的圖象與性質(zhì)3.3.二次函數(shù) y =ax2bx c 的圖像與性質(zhì)(1)(1) 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x =，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a丄4acb21I 2a 4a當(dāng)x：_2時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x._2

11、時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)2a2a2x =時(shí)，y有最小值色U2a4a當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x衛(wèi)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a4ac _b24a當(dāng)x：-x =時(shí)，y有最大值4aC.2a4a4.4. 二次函數(shù)常見(jiàn)方法指導(dǎo)(1 1 )二次函數(shù)y =ax2 bx c圖象的畫法1畫精確圖 五點(diǎn)繪圖法(列表- -描點(diǎn)- -連線)利用配方法將二次函數(shù)y=ax2bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x_h)2，確定其開(kāi)口方向、 對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖2畫草圖抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，與 x x 軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn). .(2)(2) 二次函數(shù)圖象的平移 平移步驟：1將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)

12、式y(tǒng)=a x-h2卡，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;2可以由拋物線 y=ax2經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭频玫?。具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.(3)(3) 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式- w .已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)(x, y)，的值，通常選擇一般式. .式(4)(4)求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法七222b b 4ac4ac - - b bb 4ac - b、，頂點(diǎn)是（，-），對(duì)2a2a4a4a2a 4a稱軸是直線 x-2a-時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)一般式:頂點(diǎn)式:已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式交點(diǎn)式:y-aL已知圖象與-軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：、V，通

13、常選擇交點(diǎn)公式法： y y = = axax?+bx+c+bx+c = = a a x x + + I I2配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y y = = a a x x h h2 k k 的形式，得到頂點(diǎn)為（h, ,k），對(duì)稱軸是直線 x x = = h.h.3運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). .（5 5）拋物線 y =ax2bx c 中，a,b, c 的作用1a a 決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與 y 二 ax2中的 a a 完全一樣. .2b b 和 a a 共同決定拋物線對(duì)稱軸

14、的位置由于拋物線 y =ax2 bx c 的對(duì)稱軸是直線 x -，故2a如果 b b =0=0 時(shí)，對(duì)稱軸為 y y 軸；如果b0 （即 a a、b 同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 y y 軸左側(cè)；a如果b b: 0 0 （即 a a、b b 異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 y y 軸右側(cè). .a3c c 的大小決定拋物線 y =ax2 bx c 與 y y 軸交點(diǎn)的位置當(dāng) x =0 時(shí)，y y =c，所以拋物線 y =ax2 bx c 與 y y 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0 0，c c）， 故如果 c c = = 0 0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；如果 c c 0,0,與 y y 軸交于正半軸；如果 c c : 0,0,與 y

15、y 軸交于負(fù)半軸. .知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系5.5.函數(shù) y =ax2bx c，當(dāng) y=0 時(shí)，得到一元二次方程 ax2bx0，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與 x x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與 x x 軸的交 點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況. .（1 1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 X X 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)丄二 ，則方程有兩個(gè)不相 等實(shí)根；（2 2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)丄二-，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；（3 3）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與 x x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)丄；-r r；點(diǎn) p p 在圓上d=rd=r；點(diǎn) p p 在圓內(nèi)L Ld d r

16、r。知識(shí)點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)(1 1)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線。(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半 徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必 經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理(1 1)切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的 長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。(2)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這 一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。(3)注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線， 是

17、不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一 點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1 1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這 個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3)(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。24.2.324.2.3 圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系(1 1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：1如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；2如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這

18、兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；3如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。(2)圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示：若設(shè)兩圓圓心之間的距離為 d d,兩圓的半徑分別是 r1r1 r2,r2,且 r1r1vr2r2,則有1兩圓外離 vdd r1+r2r1+r22兩圓外切 d=r1+r2d=r1+r23兩圓相交 * r2-r1r2-r1vd dvr1+r2r1+r24兩圓內(nèi)切-d=r2-r1d=r2-r15兩圓內(nèi)含 v d dvr2-r1r2-r124.324.3 正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n n (n(n 是大于 2 2 的自然

19、數(shù))等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多 邊形的外接圓。正多邊形的中心： 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)(1)正 n n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n2n 個(gè)全等的直角三角形。(2)所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正 n n 邊形共有 n n 條對(duì)稱軸，每條 對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正 n n 邊形的中心；當(dāng)正 n n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)

20、時(shí)，這個(gè)正 n n 邊形也 是中心對(duì)稱圖形，正 n n 邊形的中心就是對(duì)稱中心。(n_ 2)180 (3)正 n n 邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于(“2)，中心角和外角相等，等于n360n24.424.4 弧長(zhǎng)和扇形面積 知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式丨二耳R180在半徑為 R R 的圓中，360360 的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2C=2 冗 R R,所以 n n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式丨二丄2 R=n 。360180知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式在半徑為 R R 的圓中，360360 的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S+R2，所比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn):知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，

21、沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，容易得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為丨，底面圓的半徑為 r r,那么這個(gè)1扇形的半徑為丨，扇形的弧長(zhǎng)為 2 2nr r 因此圓錐的側(cè)面積 S 圓錐側(cè)二-2-r二二 rl2圓錐側(cè)。圓錐的全面積為 尙錐全二 S Sa錐側(cè) S S 氐=二 rlrl 二 r r2。第二十五章概率初步25.125.1 隨機(jī)事件與概率25.1.125.1.1 隨機(jī)事件知識(shí)點(diǎn)一必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件在一定條件下，有些事件必然會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反 地，有些事件必然不會(huì)發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可 能發(fā)生也可能不會(huì)發(fā)生的事件稱為隨機(jī)

22、事件。必然事件和不可能事件是否會(huì)發(fā)生， 是可以事先確定的， 所以它們統(tǒng)稱為 確定性事件。知識(shí)點(diǎn)二事件發(fā)生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有 大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同。25.1.225.1.2 概率知識(shí)點(diǎn)概率一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件 A A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱 為隨機(jī)事件A A 發(fā)生的概率，記作 P P (A A )。一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有 n n 種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性 都相等，事以圓心角為 n n 的扇形的面積為 S扇形n 二R2360S扇形n 二R1801所以S扇形二刁丨R件 A A 包含其中