2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布列第四節(jié)古典概型與幾何概型課時(shí)規(guī)范練理含

PAGE第四節(jié)古典概型與幾何概型[A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練]1．為美化環(huán)境，要從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)解析：將4種顏色的花任選2種種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有4種，故概率為eq\f(2,3).答案：C2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為3的概率是()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,18) D．eq\f(1,12)解析：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為3的情況有：(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)，共6種，而拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的情況共有36種，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：B3．某同學(xué)先后投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率為()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,9)C．eq\f(5,36) D．eq\f(1,6)解析：先后投擲兩次骰子的結(jié)果共有6×6＝36(種)，而以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的結(jié)果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3種，故所求概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：A4．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A．eq\f(7,10) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,10)解析：記“至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈”為事件A，則P(A)＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).答案：B5．在集合A＝{2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1，2，3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,5)解析：點(diǎn)P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6種情況，只有(2，1)，(2，2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B6．(2021·湖北武漢模擬)在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：因?yàn)閘og0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).答案：D7．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)

解析：復(fù)數(shù)|z|≤1對(duì)應(yīng)的區(qū)域是以(1，0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)，故滿足y≥x的概率為eq\f(\f(1,4)π－\f(1,2),π×12)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).答案：D8．若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(9,10)解析：由題意知，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，所有不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的所有不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戌)這1種，故其對(duì)立事件“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝eq\f(9,10).答案：D9．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，b，則事件“eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－1>0，,3b－1>0))”發(fā)生的概率為()A．eq\f(4,9) B．eq\f(1,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)解析：由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，))該不等式組表示的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其面積是1.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－1>0，,3b－1>0，,0≤a≤1，,0≤b≤1))表示的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)邊長(zhǎng)為eq\f(2,3)的正方形，面積是eq\f(4,9)，所以所求概率為eq\f(4,9).答案：A10．將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________．解析：將骰子先后拋擲2次的點(diǎn)數(shù)記為(x，y)，則共有36個(gè)等可能基本事件，其中點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10的基本事件有6種：(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，所以所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)11．從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則eq\f(b,a)為整數(shù)的概率是________．解析：從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)記為a，b，作為分?jǐn)?shù)的分母與分子，有eq\f(3,2)，eq\f(8,2)，eq\f(9,2)，eq\f(2,3)，eq\f(8,3)，eq\f(9,3)，eq\f(2,8)，eq\f(3,8)，eq\f(9,8)，eq\f(2,9)，eq\f(3,9)，eq\f(8,9)，共12個(gè)不同的基本事件，其中eq\f(b,a)為整數(shù)的只有eq\f(8,2)，eq\f(9,3)，共2個(gè)基本事件，所以其概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)12．將一枚骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為________．解析：依題意，將一枚骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，2)，(2，3)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)[B組素養(yǎng)提升練]1．如圖所示，正三角形ABC內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正三角形的中心成中心對(duì)稱．在正三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3)π,18) D．eq\f(2\r(3)π,9)解析：設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a，則圓的半徑為eq\f(\r(3)a,6)，正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2，圓的面積為eq\f(πa2,12).由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是eq\f(\f(1,2)·\f(πa2,12),\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3)π,18).答案：C2．(2021·福建模擬)如圖所示，曲線y＝sineq\f(πx,2)＋3把邊長(zhǎng)為4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,4)解析：設(shè)曲線y＝sineq\f(πx,2)＋3(0≤x≤4)與線段OC，AB，BC的公共點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，設(shè)DE的中點(diǎn)為G(圖略)，則D(0，3)，E(4，3)，F(xiàn)(1，4)，G(2，3)，因?yàn)榍€y＝sineq\f(πx,2)＋3關(guān)于點(diǎn)G(2，3)中心對(duì)稱，所以曲線y＝sineq\f(πx,2)＋3與線段DE圍成的左(白)、右(黑)兩部分面積相等，所以黑色部分的面積等于矩形DEBC的面積，所以所求概率為eq\f(S矩形DEBC,S正方形OABC)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：A3．(2020·河南商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)閑q\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).答案：C4．(2020·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)檢測(cè))在所有的兩位數(shù)10～99中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率是________.解析：所有兩位數(shù)共有90個(gè)，其中2的倍數(shù)有45個(gè)，3的倍數(shù)有30個(gè)，6的倍數(shù)有15個(gè)，所以能被2或3整除的數(shù)共有45＋30－15＝60(個(gè))，所以所求概率是eq\f(60,90)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)5．(2020·西安模擬)某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)x0＜x≤33＜x≤66＜x≤9票價(jià)(元)123現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個(gè)站下車的可能性是相同的．(1)若甲、乙兩人共付費(fèi)2元，則甲、乙下車的方案共有多少種？(2)若甲、乙兩人共付費(fèi)4元，求甲比乙先到達(dá)目的地的概率．解析：(1)由題意知甲、乙兩人乘坐地鐵均不超過3站，前3站設(shè)為A1，B1，C1.甲、乙兩人下車方案有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)，共9種．(2)設(shè)9站分別為A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3.因?yàn)榧?、乙兩人共付費(fèi)4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元，三類情況．由(1)可知每類情況中有9種方案，所以甲、乙兩人共付費(fèi)4元共有27種方案，而甲比乙先到達(dá)目的地的方案有(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12種，故所求概率為eq\f(12,27)＝eq\f(4,9).所以甲比乙先到達(dá)目的地的概率為eq\f(4,9).6．(2020·蘭州雙基測(cè)試)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每