成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 第1課時(shí) 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（2課時(shí)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)）柴化安（安徽省壽縣第一中學(xué)）1教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析1.1內(nèi)容第1課時(shí)：變量的相關(guān)關(guān)系，主要包括變量的相關(guān)關(guān)系，散點(diǎn)圖，正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和線性相關(guān)等.第2課時(shí)：樣本相關(guān)系數(shù)，主要包括如何構(gòu)造相關(guān)系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)的特性.1.2內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版選擇性必修第三冊第八章“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”中8.1的內(nèi)容,是必修課程中統(tǒng)計(jì)知識(shí)的進(jìn)一步延伸.通過必修課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步建立了用樣本估計(jì)總體的思想.本節(jié)課主要結(jié)合典型案例，利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，研究兩個(gè)變量之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性.對(duì)于成對(duì)樣本數(shù)據(jù)研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系.根據(jù)先直觀描述后定量刻畫的統(tǒng)計(jì)中研究問題的一般思路，本節(jié)課先由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖直觀推斷變量之間的相關(guān)關(guān)系，再構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù)，讓學(xué)生感受由直觀想法到嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)的逐步轉(zhuǎn)化過程.利用從特殊到一般的研究方法，掌握樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大小可以刻畫樣本相關(guān)程度的強(qiáng)弱，進(jìn)一步推斷兩個(gè)變量之間相關(guān)的正負(fù)性和線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，為后面利用一元回歸模型刻畫兩個(gè)數(shù)值變量的相關(guān)關(guān)系，并利用估計(jì)得到的回歸方程進(jìn)行預(yù)測奠定基礎(chǔ)，也為后面通過抽樣數(shù)據(jù)推斷分類變量的獨(dú)立性，構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量做了思想方法上的鋪墊.2目標(biāo)和目標(biāo)解析2.1目標(biāo)通過實(shí)例，了解變量的相關(guān)關(guān)系，會(huì)區(qū)別變量之間的函數(shù)關(guān)系和變量之間的相關(guān)關(guān)系.利用給出的數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，通過散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量間的正相關(guān)、負(fù)相關(guān)以及線性相關(guān).（3）結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)量分量向量夾角的關(guān)系.通過實(shí)例，會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.2目標(biāo)解析（1）通過實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到變量的相關(guān)關(guān)系是普遍的關(guān)系，理解學(xué)習(xí)變量的相關(guān)關(guān)系的必要性.通過“提出問題抽樣調(diào)查畫散點(diǎn)圖作出推斷”的方式，先直觀描述再定量刻畫，利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量間是否具有相關(guān)關(guān)系.（2）通過數(shù)據(jù)研究問題，用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性去估計(jì)變量之間的相關(guān)性，散點(diǎn)圖知識(shí)初步階段，散點(diǎn)圖無法定量刻畫成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的強(qiáng)弱，因此要構(gòu)造新的統(tǒng)計(jì)量.在構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)的過程中，先初步建立刻畫相關(guān)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再逐步優(yōu)化表達(dá)式，即對(duì)數(shù)據(jù)所做的“中心化”和“標(biāo)準(zhǔn)化”等處理，這些處理是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的處理數(shù)據(jù)的方法，是一種重要的“標(biāo)準(zhǔn)化”思想，滲透了理性思維和科學(xué)精神.3教學(xué)問題診斷分析（1）問題診斷學(xué)生在在人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊的“統(tǒng)計(jì)”中的學(xué)習(xí)中，對(duì)于用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想有一定的了解，基于數(shù)據(jù)觀察、直觀表示及統(tǒng)計(jì)特征的刻畫等相關(guān)知識(shí)和方法，研究了刻畫單個(gè)變量特征的基本量，如均值、方差、中位數(shù)、眾數(shù)等.這為本節(jié)課研究兩個(gè)變量間的關(guān)系相關(guān)程度的強(qiáng)弱奠定了一定的基礎(chǔ).本節(jié)課結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的具體實(shí)例，以樣本估計(jì)總體為主要思想，在成對(duì)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的基礎(chǔ)上，定量研究成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)的強(qiáng)弱.（2）學(xué)生可能存在的困難學(xué)生經(jīng)過函數(shù)的學(xué)習(xí)，對(duì)于兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系先入為主，對(duì)學(xué)生相關(guān)關(guān)系的理解可能產(chǎn)生負(fù)遷移.在構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)的過程中，對(duì)“中心化”和“標(biāo)準(zhǔn)化”處理的理解可能存在困難；在優(yōu)化公式表達(dá)式的過程中，對(duì)公式煩瑣的化簡過程和符號(hào)表示的理解存在一定困難；對(duì)探究樣本相關(guān)系數(shù)大小與相關(guān)性強(qiáng)弱的關(guān)系存在困難.（3）教學(xué)難點(diǎn)是通過散點(diǎn)圖判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性和樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)造.4教學(xué)支持條件分析借助Excel等軟件等制作課件，并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析的興趣，提高教學(xué)效果.5課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)1第一課時(shí)5.1教學(xué)內(nèi)容變量的相關(guān)關(guān)系，主要包括變量的相關(guān)關(guān)系，散點(diǎn)圖，正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和線性相關(guān)等.5.2教學(xué)目標(biāo)（1）通過實(shí)例，了解變量的相關(guān)關(guān)系，會(huì)區(qū)別變量之間的函數(shù)關(guān)系和變量之間的相關(guān)關(guān)系.（2）理解兩個(gè)變量間的正相關(guān)、負(fù)相關(guān)以及線性相關(guān)的概念.（3）利用給出的數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，通過散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性.5.3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過散點(diǎn)圖判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.教學(xué)難點(diǎn)：理解函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系和因果關(guān)系的區(qū)別.5.4教學(xué)過程設(shè)計(jì)5.4.1問題引領(lǐng)，導(dǎo)入新課問題1：什么是數(shù)學(xué)？具體地，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是什么？師生活動(dòng)：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在論述數(shù)學(xué)課程性質(zhì)時(shí)，開宗明義：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).這也是19世紀(jì)革命導(dǎo)師恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)的定義.設(shè)計(jì)意圖：既讓學(xué)生從宏觀上了解數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，又引入本章主要研究“數(shù)量關(guān)系”中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系.引導(dǎo)語：法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，并在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革.在數(shù)學(xué)必修第二冊中，我們學(xué)習(xí)了單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計(jì)特征的刻畫等知識(shí)和方法.例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等.除了對(duì)單個(gè)變量研究，我們還需要了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系，本章我們主要研究兩個(gè)變量之間的關(guān)系.關(guān)于兩個(gè)變量之間我們以前學(xué)習(xí)過有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：函數(shù)關(guān)系.追問1：“函數(shù)”是我們數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，請同學(xué)們舉出兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系的例子.師生活動(dòng)：正方形的面積和邊長之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系：.設(shè)計(jì)意圖：由“數(shù)量關(guān)系”到“函數(shù)關(guān)系”，為引出除了函數(shù)關(guān)系還有其它關(guān)系做鋪墊.追問2：兩個(gè)變量除了函數(shù)關(guān)系，是否還有其它關(guān)系？請同學(xué)們舉例說明.師生活動(dòng)：梳理數(shù)學(xué)的研究對(duì)象：師生活動(dòng)：兩個(gè)變量除了函數(shù)關(guān)系還有其它關(guān)系.例如，教育部門為了掌握學(xué)生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會(huì)影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；壽縣一中需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響等.為此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過樣本推斷變量之間關(guān)系的知識(shí)和方法.5.4.2實(shí)例歸納，形成概念問題2：一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：我們知道,一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系，一般而言，個(gè)子高的人往往體重值較大，個(gè)子矮的人往往體重值較小，但身高并不是決定體重的唯一因素,例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.追問：請同學(xué)們舉出兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例.師生活動(dòng)：可以從遺傳、商業(yè)、環(huán)境、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域舉例.1.子女身高與父親身高之間的關(guān)系.一般來說,父親的個(gè)子高，其子女的個(gè)子也會(huì)比較高;父親個(gè)子矮，其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮,但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等,因此父親身高又不能完全決定子女身高.2.商品銷售收人與廣告支出之間的關(guān)系.一般來說,廣告支出越多，商品銷售收入越高，但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān).3.空氣污染指數(shù)與汽車保有量之間的關(guān)系.一般來說,汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會(huì)上升，但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素.4.糧食畝產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)量就越高，但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因索，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響.設(shè)計(jì)意圖：通過列舉豐富的案例，讓學(xué)生感受到相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)中大量存在，體現(xiàn)研究變量之間相關(guān)關(guān)系的必要性.實(shí)際上，在復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界里，相比確定性關(guān)系，不確定的相關(guān)關(guān)系是更常見的一種關(guān)系.在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生再列舉一些學(xué)生熟悉背景的變量之間的相關(guān)關(guān)系，進(jìn)一步豐富案例的情境，讓學(xué)生感受相關(guān)關(guān)系的普遍性.同時(shí)，要求學(xué)生對(duì)所列舉的案例，解釋其變量之間具有相關(guān)關(guān)系的原因，深化學(xué)生對(duì)相關(guān)關(guān)系概念的理解.問題3：如何判斷兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系？引語：相關(guān)關(guān)系是相對(duì)于函數(shù)關(guān)系而言的，相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系，具體如何判斷呢？師生活動(dòng)：不能用函數(shù)去描述變量的相關(guān)關(guān)系，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)作出推斷，上面案例中變量之間的相關(guān)關(guān)系主要是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷得出的.“經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”.但僅憑經(jīng)驗(yàn)推斷又有不足.例如，不同經(jīng)驗(yàn)的人對(duì)同一情形可能會(huì)得到不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗(yàn)可循等.回憶數(shù)學(xué)必修第二冊中的“統(tǒng)計(jì)”的研究方法：“用數(shù)據(jù)說話”.“用數(shù)據(jù)說話”，就是用真實(shí)的數(shù)據(jù)說出真實(shí)、規(guī)律性的話.當(dāng)然，數(shù)據(jù)本來不會(huì)說話，但是，面對(duì)不同的人會(huì)發(fā)出不同的聲音，這取決于人的知識(shí)和能力.在數(shù)學(xué)必修第二冊中，我們學(xué)習(xí)了樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征(集中趨勢參數(shù)、離散程度參數(shù))的刻畫方法，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)總體的相應(yīng)特征.現(xiàn)在，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，再利用模型進(jìn)行估計(jì)或推斷.探究:在對(duì)人體的脂肪的含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表所示，表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測結(jié)果,它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù).編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量%9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎?問題4：如何研究這個(gè)問題？師生活動(dòng)：“一圖勝千言”，讀圖時(shí)代就是借助圖形說明問題.我們可以作“散點(diǎn)圖”，用圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征.追問：如何作散點(diǎn)圖？師生活動(dòng)：用橫軸表示一個(gè)變量，用縱軸表示另一個(gè)變量，每個(gè)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖，我們就稱為散點(diǎn)圖.通?？梢杂肊xcel軟件畫散點(diǎn)圖.問題5：如何通過散點(diǎn)圖，說明兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系？師生活動(dòng)：由散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢.這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān).當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減少的趨勢，稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).從散點(diǎn)圖上看，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為正相關(guān)；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為負(fù)相關(guān).散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).5.4.3鞏固練習(xí)，熟練掌握1、說出下圖兩個(gè)變量是否具有相關(guān)性.說明：一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).2、有數(shù)據(jù)顯示，我國人均汽車擁有量與人均壽命數(shù)據(jù)，存在高度正相關(guān)關(guān)系.是不是因?yàn)槿藗儞碛械钠嚁?shù)量多導(dǎo)致他們長壽，還是因?yàn)槿藗冮L壽導(dǎo)致他們擁有的汽車數(shù)量多？師生活動(dòng)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，也是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系，兩個(gè)變量之間的相關(guān)性往往受其他潛在變量的影響，不一定是因果關(guān)系．人均擁有汽車數(shù)量多與人們生活水平高有關(guān)，生活水平還與健身意識(shí)強(qiáng)、醫(yī)療條件改善等有關(guān)，這些又與長壽有關(guān).這些潛在變量可能都有相同的變化趨勢，但卻不一定有相互因果關(guān)系.小結(jié)：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：二者都是指兩個(gè)變量間的關(guān)系．不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系．3、觀察下面四幅圖中，哪些圖可以推斷兩個(gè)變量是相關(guān)的？哪些圖表示的成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性較強(qiáng).設(shè)計(jì)說明：僅憑經(jīng)驗(yàn)不能判斷變量的相關(guān)性，要用“散點(diǎn)圖”進(jìn)行直觀判斷.但只有散點(diǎn)圖還是不夠的，我們還要從定量的角度刻畫成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度，這是下節(jié)課的任務(wù).5.4.4歸納小結(jié)，提升能力學(xué)生先梳理，老師完善形成思維導(dǎo)圖并說明本章的主要內(nèi)容.師生活動(dòng)：兩個(gè)變量和具有相關(guān)關(guān)系的判斷方法：（1）經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷散點(diǎn)圖法；（2）通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷.如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.本節(jié)課結(jié)合典型實(shí)例，利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性研究兩個(gè)變量之統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，采用直觀的方法，觀察相關(guān)關(guān)系的類型、方向和強(qiáng)弱.接下來，我們依然以樣本估計(jì)總體為主要思想，一方面構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量定量刻畫線性相關(guān)關(guān)系的密切程度，再建立一元線性回歸模型，進(jìn)行預(yù)測；另一方面，為了回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題，我們先將它抽象為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性問題，利用2×