高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列章末過(guò)關(guān)檢測(cè)卷新人教A版必修

PAGEPAGE1章末過(guò)關(guān)檢測(cè)卷(二)第二章數(shù)列(測(cè)試時(shí)間：120分鐘評(píng)價(jià)分值：150分)一、 選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．有窮數(shù)列{1，23，26，29，…}，那么23n＋6的項(xiàng)數(shù)是()A．3n＋7B．3n＋6C．n＋3D．n＋21．解析：此數(shù)列的次數(shù)依次為0，3，6，9，…，3n＋6，為等差數(shù)列，且首項(xiàng)an＝0，公差d＝3，設(shè)3n＋6是第x項(xiàng)，則3n＋6＝0＋(x－1)×3?x＝n＋3.答案：C2．已知數(shù)列{an}中a1＝1且滿(mǎn)足an＋1＝an＋2n，n∈N*，則an＝()A．n2＋n＋1B．n2－n＋1C．n2－2n＋2D．2n2－2n＋12．B3．(2014·廣東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝()A．36B．35C．34D．333．解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34.答案：C4．(2014·黑龍江佳木斯一中三調(diào))數(shù)列{an}定義如下：a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a\s\do9(\f(n,2))（n為偶數(shù)），,\f(1,an－1)（n為奇數(shù)），))若an＝eq\f(1,4)，則n的值等于()A．7B．8C．9D．104．解析：因?yàn)閍1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋a2＝3，a5＝eq\f(1,a4)＝eq\f(1,3)，a6＝1＋a3＝eq\f(3,2)，a7＝eq\f(1,a6)＝eq\f(2,3)，a8＝1＋a4＝4，a9＝eq\f(1,a8)＝eq\f(1,4)，所以a9＝eq\f(1,4)，n＝9，故選C.答案：C5．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，則aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝()A．4B．6C．8D．8－4eq\r(2)5．解析：在等比數(shù)列中，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，a2a6＝a3a5，∴aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝(eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋1)2＝(2eq\r(2))2＝8，故選C.答案：C6．(2014·遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，A．d＜0B．d＞0C．a(chǎn)1d＜0D．a(chǎn)1d6．解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d，∴2a1an＝2aeq\o\al(2,1)＋a1(n－1)d，又由于{2a1an}為遞減數(shù)列，所以eq\f(2a1an,2a1an＋1)＝2－a1d＞1＝20，∴a1d＜0，故選C.答案：C7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a是不為0的常數(shù))，則數(shù)列{an}()A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列7．C8．(2014·吉林普通中學(xué)摸底)已知數(shù)列{an}，an＝－2n2＋λn，若該數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，6)B．(－∞，4]C．(－∞，5)D．(－∞，3]8．解析：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n(n∈N*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則－eq\f(λ,2·（－2）)≤1，即λ≤4.答案：B9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4，則an＝()A．4n－3B．2n－1C.eq\r(4n－3)D.eq\r(2n－1)9．C10．下列四個(gè)命題：①若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列；②若{an}為等差數(shù)列，且常數(shù)c>0且c≠1，則數(shù)列{can}為等比數(shù)列；③若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{aeq\o\al(4,n)}為等比數(shù)列；④非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．其中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)10．解析：對(duì)于①當(dāng)a、b、c都為零時(shí)，命題不成立；②③④成立．答案：C11．等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．8411．解析：設(shè)等比數(shù)列公比為q，則a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因?yàn)閍1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故選B.答案：B12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－n＋(1－t)，則“t＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件12．C二、 填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線(xiàn)上)13．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差d＝－2，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．13．－475014．(2014·廣東卷)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋……＋lna14．解析：由題意知a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10因此a1·a2…a20＝(a1a20)·(a2·a12)…(a10a11)＝(a10a11)10＝(e5)10＝因此lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1·a2…a20)＝lne50＝50.答案：5015．(2013·遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝__________.15．解析：∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，則公比q＝2，因此S6＝eq\f(1×（1－26）,1－2)＝63.答案：6316．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(guò)點(diǎn)(1，2)，若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（n）)))的前n項(xiàng)和為Sn，則S2015的值是________．16．解析：∵函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(guò)點(diǎn)(1，2)，∴1＋2b＝2，解得b＝eq\f(1,2).∴f(x)＝x2＋x.∴eq\f(1,f（n）)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).∴S2015＝eq\f(2015,2016).答案：eq\f(2015,2016)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿(mǎn)分12分)已知等差數(shù)列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式an；(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝a2n－1，求{bn}的通項(xiàng)公式bn.17．解析：(1)設(shè){an}的首項(xiàng)是a1，公差為d，依題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝5，,2a1＋9d＝5.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－20，,d＝5.))∴an＝5n－25(n∈N*)．(2)由(1)an＝5n－25，∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30，∴bn＝10n－30(n∈N*)．18．(本小題滿(mǎn)分12分)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.18．解析：(1)由題設(shè)知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得eq\f(1＋2d,1)＝eq\f(1＋8d,1＋2d)，解得d＝1，d＝0(舍去)．故{an}的通項(xiàng)an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)．(2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2.19．(本小題滿(mǎn)分12分)(2013·大綱全國(guó)卷)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝aeq\o\al(2,2)，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項(xiàng)公式．19．解析：設(shè){an}的公差為d.由S3＝aeq\o\al(2,2)，得3a2＝aeq\o\al(2,2)，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比數(shù)列得Seq\o\al(2,2)＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2若a2＝0，則d2＝－2d2，所以d＝0，此時(shí)Sn＝0，不合題意；若a2＝3，則(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝3或an＝2n－1(n∈N*)．20．(本小題滿(mǎn)分12分)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).20．分析：本題第(1)問(wèn)，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來(lái)證明，之后利用等比數(shù)列求出其通項(xiàng)公式；對(duì)第(2)問(wèn)，可先由第(1)問(wèn)求出eq\f(1,an)，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式．證明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))，所以eq\f(an＋1＋\f(1,2),an＋\f(1,2))＝3，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，公比為3，所以an＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)·3n－1，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n－1,2)(n∈N*)．(2)證明：由(1)知：an＝eq\f(3n－1,2)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,3n－1)，因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥2·3n－1，所以eq\f(1,3n－1)≤eq\f(1,2·3n－1)，于是eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)≤1＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))＜eq\f(3,2)，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).21．(本小題滿(mǎn)分12分)求數(shù)列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)an－121．解析：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝eq\f(（1＋2n－1）n,2)＝n2.(2)當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)anaSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，兩式相減(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)＝1＋2eq\f(a（1－an－1）,1－a)－(2n－1)an，此時(shí)Sn＝eq\f(2a（1－an－1）,（1－a）2)＋eq\f(an＋1－2nan,1－a).綜上，Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2，a＝1，,\f(2a（1－an－1）,（1－a）2)＋\f(an＋1－2nan,1－a)，a≠1.))22．(本小題滿(mǎn)分10分)(2014·大綱全國(guó)卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.22．解析：(1)由a1＝10，a2為整數(shù)，知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)，又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－eq\f(10,3)≤d≤－eq\f(5,2).因此d＝－3.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝13－3n(n∈N*)．(2)bn＝eq\f(1,（13－3n）（10－3n）)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,13－3n))).所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\