第四章 數(shù)列（公式、定理、結(jié)論圖表） 【核心要點(diǎn)梳理+知識(shí)架構(gòu)建模】 高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺必背

第四章

數(shù)列（公式、定理、結(jié)論圖表）一．?dāng)?shù)列的概念：1.定義：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。2．?dāng)?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作簡(jiǎn)記.3．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系若用一個(gè)公式給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。4．?dāng)?shù)列的項(xiàng)為當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。5、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．6、求數(shù)列中最大最小項(xiàng)的方法：最大最小考慮數(shù)列的單調(diào)性二、等差數(shù)列1、定義：（1）文字表示：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．（2）符號(hào)表示：2、通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則．通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通項(xiàng)公式特點(diǎn)：是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。3、等差中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)，，組成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)．若，則稱為與的等差中項(xiàng)．即a、b、c成等差數(shù)列4、等差數(shù)列的基本性質(zhì)（1）。（2）（3）5、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，時(shí)是一個(gè)關(guān)于n且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差數(shù)列．6、判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列三、等比數(shù)列1、定義：（1）文字表示：如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．（2）符號(hào)表示：2、通項(xiàng)公式（1）、若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則．（2）、通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．3、等比中項(xiàng)：在與中插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)．若，則稱為與的等比中項(xiàng)．注意：與的等比中項(xiàng)可能是。4、等比數(shù)列性質(zhì)若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則．5、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：（1）公式：．（2）公式特點(diǎn)：（3）等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比數(shù)列（）．6、等比數(shù)列判定方法：=1\*GB3①定義法：為等比數(shù)列；=2\*GB3②中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；=4\*GB3④前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。四、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義(為常數(shù),)遞推公式通項(xiàng)公式或（）或中項(xiàng)成等差數(shù)列的充要條件：成等比數(shù)列的充要條件：前項(xiàng)和=1\*GB3①；重要性質(zhì)①②等和性：若（、、、），則③若（、、），則．④構(gòu)成等差數(shù)列.①②等積性：若（、、、），則③若（、、），則④構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列.單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列.遞增數(shù)列；遞減數(shù)列；q=1是常數(shù)數(shù)列；q<0是擺動(dòng)數(shù)列證明方法證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1.定義法2.中項(xiàng)法3.通項(xiàng)公式法：（為常數(shù)）4.前n項(xiàng)和公式法：（A,B為常數(shù)）證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1.定義法2.中項(xiàng)法3.通項(xiàng)公式法：(A,q為不為0的常數(shù))4.前n項(xiàng)和公式法：()設(shè)元技巧三數(shù)等差：四數(shù)等差：三數(shù)等比：四數(shù)等比：<解題方法與技巧>1．解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的幾點(diǎn)注意1等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；2對(duì)于計(jì)算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；3注重問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式和性質(zhì)解題；4當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.2．?dāng)?shù)列求和問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見(jiàn)的求和方法有：（一）公式法①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③數(shù)列前項(xiàng)和重要公式：（1）（2）（3）（4）（5）等差數(shù)列中，；（6）等比數(shù)列中，.一分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.三裂項(xiàng)相消法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和.常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧①等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）②根式型（1）（2）（3）（4）（5）③指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）④對(duì)數(shù)型⑤冪型（1）（2）（3）⑥三角型（1）（2）（3）（4），則⑦常見(jiàn)放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．四錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；(2)基本步驟(3)注意事項(xiàng)：①在寫(xiě)出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出Sn－qSn；②作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；③運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1寫(xiě)成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤．五倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r(shí)這種關(guān)系比較隱蔽.典例1：等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.設(shè){bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12，))所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.典例2：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列；(2)設(shè)cn＝eq\f(an,2n－2)，求證：{cn}是等差數(shù)列．【證明】(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以eq\f(an＋1,2n－1)－eq\f(an,2n－2)＝3.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝eq\f(a1,2－1)＝2，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為2.典例3：已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a2＝3，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝an＋2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；(3)若cn＝eq\f(2,anan＋1)，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求滿足Tn>eq\f(24,25)的n的最小值．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,a\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a1a5))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝3，,a1＋d2＝a1a1＋4d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)由(1)得：bn＝an＋2n＝2n－1＋2n，則Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(1＋2n－1n,2)＋eq\f(2－2n＋1,1－2)＝n2＋2n＋1－2，∴Sn＝n2＋2n＋1－2.(3