函數(shù)的單調性（第一課時） 【高效備課精研+知識精講提升】 高二數(shù)學 課件(人教A版2019選擇性必修第二冊)

第五章

一元函數(shù)的導數(shù)及應用5.3.1函數(shù)的單調性第一課時一二三教學目標理解導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法能利用導數(shù)的方法解決相關的單調性問題復習回顧基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：導數(shù)的四則運算法則復習回顧復合函數(shù)的導數(shù)法則

一般地，對于由y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導數(shù)間的關系為

結構特點

即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積，簡單的理解就是復合函數(shù)的導數(shù)等于內外函數(shù)的導數(shù)之積.復習回顧新課引入在必修第一冊中，我們通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質.

在本章前兩節(jié)中，我們學習了導數(shù)的概念和運算，知道導數(shù)是關于瞬時變化率的數(shù)學表達，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化.能否利用導數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質呢?本節(jié)我們就來討論這個問題.復習鞏固：函數(shù)

y=f(x)在給定區(qū)間

G

上，當x1、x2∈G

且x1＜x

2時（1）都有f(x1)＜f(x2)，則

f(x)在G

上是增函數(shù)；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，則f(x)在G

上是減函數(shù)；函數(shù)的單調性的定義yxoabyxoab若

f(x)在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)則f(x)在G上具有嚴格的單調性。G

稱為單調區(qū)間單調函數(shù)的圖像特征新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系我們先來研究前面學習過的高臺跳水問題.情境圖(1)是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的圖象.a=,b是函數(shù)h(t)的零點.thaOb(1)thaOb(2)問題1運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學上刻畫這種區(qū)別？新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):

(1)從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即h(t)單調遞增.相應地，v(t)=h'(t)>0.

(2)從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，即h(t)單調遞減.相應地，v(t)=h'(t)<0.thaOb(1)thaOb(2)新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系問題2我們看到，函數(shù)h(t)的單調性與h'(t)的正負有內在聯(lián)系.那么，我們能否由h'(t)的正負來判斷函數(shù)h(t)的單調性呢?對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn):

當t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)內單調遞增；

當t∈(a,b)時，h'(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)內單調遞減.追問

這種情況是否具有一般性呢？在區(qū)間(a,b)上，h′(t)>0在區(qū)間(a,b)上，h′(t)<0在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調遞增在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調遞減猜測問題3

觀察下面一些函數(shù)的圖象，你能說明函數(shù)的單調性與導數(shù)的正負的關系嗎？新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)我們逐一的來說一說新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系xyOy＝xxyOy′＝1在(-∞,+∞)上，f(x)單調遞增在(-∞,+∞)上，f′(x)>0新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系xyO

y＝x2xyOy′＝2x在(-∞,

0)上，f(x)單調遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系xyOy＝x3xyOy′＝3x2在(-∞,

0)上，f(x)單調遞增在(-∞,

0)上，f′(x)>0在(0,+∞)上，f(x)單調遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系xyOxyO在(-∞,

0)上，f(x)單調遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調遞減在(0,+∞)上，f′(x)<0新知探究：導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系追問

能否從導數(shù)的幾何意義的角度來探討導數(shù)的正負與函數(shù)單調性的關系？xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))如圖示，導數(shù)f

'(x0)表示函數(shù)y=f

(x)的圖象在點(x0,f

(x0))處的切線的斜率，可以發(fā)現(xiàn):在x=x0處f′(x0)>0函數(shù)y=f(x)的圖象上升，在x=x0附近單調遞增切線“左下右上”上升在x=x1處f′(x1)<0函數(shù)y=f(x)的圖象下降，在x=x1附近單調遞減切線“左上右下”下降概念生成函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系：一般地，函數(shù)f(x)的單調性與導函數(shù)f'(x)的正負之間具有如下的關系:

在某個區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增;

在某個區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減.追問1

如果在某個區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).追問2

存在有限個點使得f'(x)=0,其余點都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性?f(x)仍為增函數(shù).例如:對于函數(shù)y=x3，y′=3x2.當x=0時，y′=0，當x>0時，y′>0，

而函數(shù)y=x3在R上單調遞增.xyO典例分析例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性:解：xyO(1)（1）因為，其定義域為R

.所以典例分析例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性:解:（2）因為

，所以所以，函數(shù)在上單調遞減，如右圖所示.xyO(2)π-π典例分析例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性:xyO(3)11①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導數(shù)f

(x)；③判定導數(shù)f

(x)的符號；④確定函數(shù)f(x)的單調性.判定函數(shù)單調性的步驟：典例小結追問

能否歸納判斷函數(shù)單調性的步驟？1.判斷下列函數(shù)的單調性:解：課本P87鞏固練習課本P87鞏固練習1.判斷下列函數(shù)的單調性:解:(2)因為f(x)=ex-x，其定義域為R.所以f′(x)=ex-1.

令f′(x)=0，得x=0所以當x∈(-∞,0)時，f′(x)<0當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0

.

所以，函數(shù)f(x)=ex-x在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增.解：課本P87典例分析例2已知導函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.

分析：解:

當1<x<4時,

可知在區(qū)間(1,4)內單調遞增;

當x>4,或x<1時,

可知f(x)在區(qū)間(-∞,1)和(4,+∞)區(qū)間內單調遞減;

綜上,函數(shù)

圖象的大致形狀如右圖所示.xyO14xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C設

是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是()跟蹤練習解：xyOabcxyOabc課本P87跟蹤練習小結提升問題4

由導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調性，與我們之前學習的函數(shù)單調性定義是否一致？函數(shù)

y=f(x)在給定區(qū)間

I

上，當x1、x2∈I且x1＜x

2時（1）都有f(x1)＜f(x2)，則

f(x)在I

上是增函數(shù)；

（2）都有f(x1)＞

f(x2)，則f(x)在I

上是減函數(shù)；函數(shù)的單調性的定義追問1由函數(shù)單調性的定義，你能用平均變化率來表示函數(shù)的單調性嗎？

（1）?x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在區(qū)間I上單調遞增

（2）?x1、x2∈I，都有

，那么

f(x)在區(qū)間I上單調遞減

小結提升追問2

對于在區(qū)間（a,b）上的單調函數(shù)

y=f(x)，其平均變化率的幾何意義與

f

'(x)的正負有什么關系？

abxoyAB

?x1、x2∈（a,b）,經過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線AB的斜率就是平均變化率

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間（a,b）上的導數(shù)f

'(x)為正

直觀上，能找到一點T(x0，f(x0))，使函數(shù)

f(x)的圖像在點T處的切線與直線AB平行，即