高考試題文科數學分類匯編立體幾何

2012年高考試題分類匯編：立體幾何

2.12012高考新課標文8】平面a截球。的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離

為小,則此球的體積為

(A)乖n(B)4sH(C)4乖n(D)6小n

【答案】B

3.12012高考全國文8】已知正四棱柱ABC?！狝BCA中,AB=2,cq=25/2,E

為C&的中點，則直線AQ與平面BED的距離為

(A)2(B)A/3(C)V2(D)1

【答案】D

4.12012高考陜西文8】將正方形(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體,

則該幾何體的左視圖為()

(C)(D)

8.【答案】B.

5.12012高考江西文7】若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為

【答案】D

6.[2012高考湖南文4]某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖下

可能是

【答案】D

7.12012高考廣東文7】某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為

俯視圖

圖1

A.72萬B.48;rC.3()萬D.24萬

【答案】C

8.12102高考福建文4】一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個幾何體不可

以是

A球B三棱錐C正方體D圓柱

【答案】D.

9.【2012高考重慶文9】設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,友和。且長為。的棱

與長為血的棱異面，則a的取值范圍是

(A)(0,V2)(B)(0,歷(C)(1,V2)(D)(1,5/3)

【答案】A

10.12012高考浙江文31已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三棱錐的體

積是

彼視圖

(蹲3甥圖)

A.lcm3B.2cm3C.3cm3D.6cm3

【答案】C

11.【2012高考浙江文5】設/是直線，a,B是兩個不同的平面

A.若/〃a,/〃B,則a〃BB.若/〃a,則a,B

C.若aJ.B,/±a,則/_LBD.若a，B,I//a,則/_LB

【答案】B

12.12012高考四川文6】下列命題正確的是()

A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

【答案】C

13.12012高考四川文10］如圖，半徑為R的半球。的底面圓。在平面a內，過點。作平

面a的垂線交半球面于點A,過圓。的直徑CO作平面a成45角的平面與半球面相交,

所得交線上到平面a的距離最大的點為B,該交線上的一點P滿足N3OP=60,則A、

P兩點間的球面距離為()

A、RarccosC>arccos-^

3

【答案】A

14.12102高考北京文7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是

(A)28+6X/5(B)30+675(C)56+12行(D)60+12A/5

【答案】B

二、填空題

15.【2012高考四川文14］如圖，在正方體ABC?！狝4GA中，M、N分別是C。、CC,

的中點，則異面直線AM與DN所成的角的大小是。

1T

【答案】-

2

16.【2012高考上海文5】一個高為2的圓柱，底面周長為2萬，該圓柱的表面積為

【答案】6萬

17.12012高考湖北文15］已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

【答案】12乃

18.[2012高考遼寧文13]一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

【點評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的體積公式，考查空間想象能力、運算求解能

力，屬于容易題。本題解決的關鍵是根據三視圖還原出幾何體，確定幾何體的形狀，然后再

根據幾何體的形狀計算出體積。

19.[2012高考江蘇7】（5分）如圖，在長方體ABCD-ASGA中，48=4。=3cm,A4,=2cm,

則四棱錐A-BBRD的體積為▲cm'

5

4

A

【答案】6o

【考點】正方形的性質，棱錐的體積。

20.12012高考遼寧文16】已知點P,A,B,C,D是球0表面上的點，PA_L平面ABCD,四

邊形ABCD是邊長為2百正方形。若PA=2R,則AOAB的面積為

【答案】30

21.12012高考天津文科10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體

積心

【答案】30

22.12012高考安徽文12】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于

【答案】56

23.【2012高考山東文13］如圖，正方體ABCO-AqGA的棱長為1，E為線段上的一

點，則三棱錐A-DEDt的體積為.

【答案】-

6

2412012高考安徽文15］若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB^CD,AC^BD,

AD=BC,則（寫出所有正確結論編號）。

①四面體A8CD每組對棱相互垂直

②四面體ABC。每個面的面積相等

③從四面體ABCO每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180

④連接四面體ABC。每組對棱中點的線段互垂直平分

⑤從四面體ABCO每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長

【答案】②④⑤

25.12012高考全國文16】已知正方體ABC?！狝4GA中，E、F分別為BB：CQ的

中點，那么異面直線AE與R尸所成角的余弦值為.

3

【答案】y

三、解答題

26.［2012高考全國文19］（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上以

佟箏無旗）

如圖，四棱錐尸—A8CO中，底面ABC。為菱形，底面/

ABCD,AC=2立,PA=2,E是PC上的一點，PE=2EC。//1\

（I）證明：PC_￡平面BED；

（II）設二面角A—P6—C為90,求PO與平面PBC所成角的

大小。C

【答案】

(19)解法一：

(I)因為底面ABCD為菱形，所以5OJ,4C，又以，底面ABCD,所以

PC180.

設40(15。=",連結EF.因為dC=2ji,

PA=2,PE=2￡C.故

PC=2>/3,EC=—.FC=0

3

UKPCri4c12

從而—;=V6?—=vo.

FCJCC

因為上=華，々FCE=4PCA,所以

FCEC

△FCEs△PCA.ZFEC=/PAC=90°，

由此知PC1EF.

尸C與平面8EO內兩條相交直線BD，防都垂直，所以「C_L平面BED.6分

(II)在平面/，8內過點.4IV,1(；,1PB.<；為乖足.

因為面ffj.4-P8-<?為90。,所以平面/>.481平面PBC.

乂平面ZN8n+面PBC-PB.故.4G1平面PBC.AG1BC.

8C，平面PAB內兩條相交自線PA.AG都垂直,故8CJL平面PAB.于是

BC1AB,所以底面.48CC為U：與形，AD=2.PD=>/PA2+AD2=2&....8分

設。到平面尸8c的距離為/

因為.4O18C,JL40a平面PBC.8Cu平面PBC.故4?！ㄆ矫鍼BC./、D

兩點到平面PBC的距離相等,即d=.4G=西.

設與平面？8c所成的角為a,5!iJsina=—=1.

PD2

所以PD與平面尸BC所成的角為30。.....12分

解法二：

(I)以.4為坐標原點，射級.4C為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標

系X-xyz.

設。(2及,0,0),D(V2,b.0),其中6>0.則

P(0,0,2),,oj),H(貝0).……2分

于是PC=(2x/2,0.-2),=漩二(等，-瓦g),從而左前=0,

PCDE=0,極PC工BE、PCIDE.

又BECDE=E,所以尸C_L平面6分

(II)AP=(0,0,2),AB=(72,-6,0).

設巾=(x),z)為平面必8的法向量，則

mAP-0.mAB=0.

即2z=0且41x-by=0,

令x=b,則/n=(〃,J5.0).

設"=(p、qj)為平面PBC的法向；丸則

n?PC-0,nBE=0.

rz2

即2V2p~2r=0且~~~*bq+5/°?

令p=l.則，=6,g=~~T'?n=(L—mU?).

bb

(MiftlPAB1ifijPBC.n-0.!!!Jb-^0.故6=6，FM

/?=(I,-I.V2).DP=(-72.-72.2).

/riD\nDP1

ss'n.DP）二-----k-,

\n\\DP]2

〈兒麗〉=60。.

因為PD與平面PBC所成角和〈兒萬？〉互余，故PD平面PBC所成的角為30。.

……12分

27.12012高考安徽文19]（本小題滿分12分）

如圖，長方體ABC。—AgG〃中，底面是正方形，。是3。的中點，E

是棱A4上任意一點。

(I)證明：BD1EQ；

(II)如果A8=2,AE=M,OE1EQ,,求AA的長。

【答案】

【解析】

（I）證明：連接IC.1（；

由灰血型正力?形知.ODX.AC.

IM為t>,_甲ifu\na>.HbQf血I'JrlUi?,iin）.

Zih11,nu;=I,HillnoififuMJ:/:.

I'HllAC,Q-Plif41,C,CSi.?/>Xf：（：,.

（11）解：議El：的長為A.連接。G.

1

AIhAOtf：'I.U：=<I.IO=VT.

故〃￡：=（#）'+（點■）'=4.

6：HiAA?,C,'I'.I,A'=A-VT.I,C,=2^.

故E域=S）：.（2企）:.

flBtAOCC,'I'.（>（：=^2.<：（：,=/,.〃（：=hFR）’.

IM為OE一EC,.Mi11Of：-?￡（：;=OC-.即

：：!：

4?（A-）?（2.,?）=A?<S.T）.

解得％=3yl;

所以U,的K為3、，2.

28.[2012高考四川文19](本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐P—ABC中，ZAPB^90,NPAB=60,AB=BC=CA,點P

在平面ABC內的射影。在AB上。

(I)求直線PC與平面ABC所成的角的大小；

(II)求二面角8-AP—C的大小。

命題立意：本題主要考查本題主要考查直線與平面的位置關系，線面角的概念，二面角的概

念等基礎知識，考查空間想象能力，利用向量解決立體幾何問題的能力.

【答案】

【解析】

解法?:

(?)通曲〃c.由《加.jLix.i'為r洸"曲所衣的角.

設.4"的中叱為〃.

內為八護rHC-，m，：〃_IK

因為/APH=90\/.PM：=60。.所以API/,為午濁，角游.

不好女/,.?-二.則〃"-I,73.Mi一；.

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枚.而用H-I/,-f泊大小為：H<I;III2.曰分

(I)設」附陽IE、為",專結，〃.

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I

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」〃?HI；|J3+I+

故.而角/?-八，-，:的大小為：“＜'512分

229.12012高考重慶文20］（本小題滿分12分，（I）小問4分，（H）小問8分）已知直

三棱柱ABC—44G中，A3=4,AC=8C=3,。為AB的中點。(I)求異面直線C0

和A8的距離；(II)若A4_L4C,求二面角A—C。—4的平面角的余弦值。

【答案】(I)(II)-

3

【解析】(I)如答(20)圖1,因AC=BC,D為AB的中點，故CD1AB。又直三棱柱中，

CC,1面ABC,故CC|_LCD，所以異面直線CC；和AB的距離為

CD=VBC2-BD2=45

(II)：由CD_LA3,CD_L34,故CD,面耳鉆片,從而CD_LZ)A,CD±DB,

故幺。封為所求的二面角4—CD—g的平面角。

因A。是A。在面AAB4上的射影，又已知A4，AC,由三垂線定理的逆定理得

M，4D,從而幺曲，NAD4都與NB|A3互余，因此幺4丹=/4￡>/,所以

RtAAL^RtB.A.A,因此叢=叫得A4t2=4。-44=8

AD/L4)

從而ao=Jw+心=26,旦。=a。=2百

所以在中，由余弦定理得cosA04=402+￡)42442=巳

2ADDB13

[2012高考上海文19】本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小

題滿分6分

如圖，在三棱錐P—ABC中，PAJ_底面ABC,。是PC的中點，已知NBAC=2,

2

AB=2,AC=2瓜PA=2,求:

(1)三棱錐P—A5C的體積

(2)異面直線5c與AO所成的角的大小(結果用反三角函數值表示)

答案

19.[??)(!)Sy*=1X2X2VJ=2V3.……2分

二段怫P-.48C的體織為

K=-XPJB^X2\3X2=7X5...6分

3v*33

(2)取P8的0點￡?ilHDE.AE.

ED*BC,所以，ADE，或其，'角罡舞三聲錢

8CHD所成的角.……§沙

在沙DE中,D￡=2,AE=y/2.AD^2.

21+2：_，33

cos￡ADE=--------=一?所以乙4DE=arccos一

2x2x244

因此.異面亶段8c與＜0所成的角的人小是arccos3.……口分

4

【點評】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，考查空間想象能力和推理論證

能力.綜合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運

用.本題源于《必修2》立體幾何章節(jié)復習題，復習時應注重課本，容易出現找錯角的情況，

要考慮全面，考查空間想象能力，屬于中檔題.

30.[2012高考天津文科17](本小題滿分13分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD1PD,BC=1,PC=26,PD=CD=2.

(I)求異面直線PA與BC所成角的正切值；

(II)證明平面PDCJ_平面ABCD；

(III)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

【答案】

(I>如圖.在四於他中.囚為底面

.48CO始地形.所以AC壯.〃>/'網’.乂囚為?、、

ADLPD.故，/M。為計而“城所成的例.

ARIA710/1,!1.ianZ/?^￡>=—=2.\、、

所以，升血”?所成向的八:仍侑為2.

(II)證明：也「底而4"〃站班形,故-'

乂II]fADLPI).=(Milt/<D1ftft)PDC.)

而ADu平面A8CD.WiU中曲PDCA平面ABCD.

(州》觸住平面口仇內?過酎〃作，￡JLCO父ruse」『公￡?ano.

dijfifiinx-1'VilaABCD.而■線er「由HX，'評曲”aco的攵&

HiPEL平血.4伙7).由此得為八戊PB-'ErtMJCD所」的角.

住△/?以'中.由『PC=<7，=2./X-2V5.flz/X7)-W

ARiA7,￡C?l,.PEPCsin30^>[3.

由.4。“BC.AD1平的PIX?.BC1PDC'.WltMlW.

在RtAPCB中,PB=VrC1+BC'?VB.

在Rt^P￡8中,4inZ?fl￡?—■—.

PB13

所以直線P8,j平而ABCD所成用的正弦值為叵

31.[2012高考新課標文19](本小題滿分12分)

1

如圖，三棱柱ABC—AiBiCi中，側棱垂直底面，ZACB=90°,AC=BC='AAi，D是棱AA】的中

點

(I)證明：平面BDC」平面BDC

(II)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【答案】

(19)證明：

(I)由題設知8cl_CG.BCLAC,CCX(\AC=C.所以3C_L平面，CG4.

又0C,u平面1CG4,所以gJ.8c.

由題設如Z/iRG=ZXDC=45。,所以ZCDC,=90°.即DC,1DC,又

DCflSC-C.所以ZX；_L平面8DC.又。C|U平面3Z)G，故平面_L平面BDC.

(H)設棱飾8-ZMCC,的體積為匕，4C=I.山題意得

?11+2,,I

K.3-X------xIXISS—.

’322

又三棱柱"C-451G的體積，=I,所以

故平面8ZX；分此棱柱所得兩部分體積的比為1:1.

32.[2012高考湖南文19](本小題滿分12分)

如圖6,在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形，AD//BC,ACI

BD.

(I)證明：BD±PC；

(II)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.

p

圖6

【答案】

【解析】(I)因為R4J?平面ABCRBDu平面ABCD,所以R4_LBD

又AC，BD,PA,AC是平面PAC內的兩條相較直線，所以BD，平面PAC,

而PCu平面PAC,所以3O_LPC.

(II)設AC和BD相交于點0,連接P0,由(I)知，BD1平面PAC,

所以NOPO是直線PD和平面PAC所成的角，從而/。尸。=30.

由BD1平面PAC,P0u平面PAC,知8。_LP0.

在Rt[PO￡>中，由NDPO=30,得PD=20D.

因為四邊形ABCD為等腰梯形，ACLBD,所以AOD,BOC均為等腰直角三角形,

從而梯形ABCD的高為;AD+；BC=；x(4+2)=3,于是梯形ABCD面積

S=gx(4+2)x3=9.

在等腰三角形A0D中，0D=J,AD=2貶,

2

所以P。=2OD=4A/2,PA=yjPD2-AD2=4.

故四棱錐P—ABCO的體積為丫=,*5*24='*9乂4=12.

33

p

【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一

問只要證明BDJ?平面PAC即可，第二問由（I）知，BD1平面PAC,所以NDPO是直線

PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由丫=』'5乂24算得體積.

3

33.[2012高考山東文19]（本小題滿分12分）

如圖，幾何體E-A8CD是四棱錐，為正三角形，CB=CD,ECLBD.

（I）求證：BE=DE-,

（II）若/BCO=120。，M為線段AE的中點，

求證：〃平面BEC.

【答案】（19川）設班）中點為。，連接。C,OE,則由8C=C。知，

CO±BD,

又已知CE_L8。，所以3D_L平面OCE.

所以BO_LOE,即。E是BD的垂直平分線,

所以

（II）取A8中點N,連接MN,DN,

是AE的中點，:.MN〃BE,

：△43。是等邊三角形，...DN，AB.

由NBCD=120°知，ZCBD=30Q,所以NABC=60°+30°=90°,即8C_LAB,

所以ND//BC,

所以平面MND〃平面BEC,故DM〃平面BEC.

34.[2012高考湖北文19]（本小題滿分12分）

某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰

梯形的四棱臺AiBiCiDrABCD,上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形

的四棱柱ABCD-A2B2c2D2。

A.證明：直線BiDi_L平面ACC2A2；

B.現需要對該零部件表面進行防腐處理,已知AB=10,AiBi=20,AA2=30,AAX=13（單位：

厘米），每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？

第19題圖

【答案】

19蝌：7)四為四枝工色廠。的津冏兄個筌的拉仁

ffTH.4.4.1AH.44_/〃.乂因為.〃，「.〃)_/?折以.4/：J/而,4秋7),

注接/"X囚力A"<一甲而」砍7)?所以11」3D.

閃為■——於il：力也.所一——.

———定義理知.BD).D)■而.

乂L-中他/伍〃〃中面/4(；4.I；r而8從口〃。中向.4欣/)=/〃)?

f囪BBQDPIT―――BJ)t.所以搭5〃BD.I.

d].Uj1fiD.dC-8iDWBD?.U.1/T.D,..4。1BR.

乂因為AA.A4(-.4.?-g1牛面XCC,4.

(I!)因為四粒〃H6c0-4第g4的出面足;i方形.――全方的矩形.所以

$?*—盒(44)‘<4X/y4J.-101*4>10x301300(cmj.

乂因為網《04。"日-4狄力的t.卜忒面均足1E方形,M由尺仝寸的寸

朕林形，

所以S：=M,??+%-=(4外'+4W33?4取

20：+4*；(10.叫”二[；(20-1附1120(cm1).

JK.談實心軍St-—&由枳為S=$+S.=1300*1120-2420(cm：).

故所需mI處現貨為0IS-0.2x24254X4</L>.

【解析】本題考查線面垂直，空間幾何體的表面積；考查空間想象，運算求解以及轉化與劃

歸的能力.線線垂直O(jiān)線面垂直O(jiān)面面垂直是有關垂直的幾何問題的常用轉化方法；四棱

柱與四棱臺的表面積都是由簡單的四邊形的面積而構成，只需求解四邊形的各邊長即可.來

年需注意線線平行，面面平行特別是線面平行，以及體積等的考查.

35.[2012高考廣東文18]本小題滿分13分)

如圖5所示，在四棱錐P—A3C。中，A3,平面PAO,AB//CD,PD=AD,E

是P8的中點，尸是CO上的點且。尸二，AB,PH為△PAO中邊上的高.

2

(1)證明：PHmABCD；

(2)若P4=l,AD=y/2,FC=1,求三棱

錐E—5CE的體積；

(3)證明：平面PAS.

圖5P

【解析】(1)證明：因為AB_L平面PA。，

所以PHLAB。

因為P”為aPAD中AO邊上的高，

所以P〃_LA。。

因為A3AD=A,

所以PH_L平面ABC。。

(2)連結B”，取5〃中點G,連結EG。

因為E是PB的中點，

所以EG//PH。

因為P”，平面ABCO,

所以EGJ_平面A3CO。

則EG='P"=」，

22

V-CF十皿?EGCFC.AD.EG=今

(3)證明：取PA中點M,連結MD,ME.

因為E是P8的中點，

所以

因為。尸〃工48,

=2

所以MEaDF,

所以四邊形是平行四邊形,

所以E尸〃MO。

因為PD=AD,

所以MOJ.PA。

因為AB_L平面P4O,

所以MO_LAB。

因為PAAB=A,

所以J.平面PA8,

所以Eb,平面PAB。

36.12102高考北京文16](本小題共14分)如圖1,在RtaABC中，ZC=90°,D,E分別

為AC,AB的中點，點F為線段CD上的一點，將4ADE沿DE折起到AAiDE的位置，使AF

±CD,如圖2。

⑴求證：DE〃平面AiCB；

(II)求證：A1FJ.BE；

(III)線段AIB上是否存在點Q,使AiC,平面DEQ?說明理由。

【答案】

“6、JIM分)

/B的中點?

解：\[)因為。?E分比""?

所以。E〃成

乂內為0Ea平面

所以DE〃平面4cB-

皿由已知得

所以?！??.■?小?

所以℃用/).

所以?！?!■平面/四。

而^Fu平面小X，

所以0EJL4F.

又因為小尸

所以4FJ?平面8C/)￡.

所以

(UD線段斗8上存在點0，使4CJ?平面?！?理由如"

如圖，分別取4G.40的中點?，Q-則尸0〃8c.

乂因為DE〃8。，

所以DE"PQ.

所以平面?！辍＜礊槠矫?)￡/1.

由《II》知.。/■:J.平面.{OC?

所以￡)￡，/!〈.

乂因為P姥等腰三角形DA^底邊小。的中點.

所以4CJ.OP.

所以/(！平面。EP.

從而.4(1平的DEQ.

故線段兒8上存在點Q,使得J,C1平面DEQ.

3712012高考浙江文20](本題滿分15分)如圖，在側棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-AiBiJDi

中，AD〃BC,AD_LAB,AB=A/2?AD=2,BC=4,AAi=2,E是DD1的中點，F是平面功(：止

與直線AAi的交點。

(1)證明:⑴EF〃AiDi；

(ii)BAi_L平面B1C1EF；

(2)求BQ與平面B1C1EF所成的角的正弦值。

【答案】

【解析】(1)(i)因為G4，C|B|0平面ADDIAL所以G4//平面ADD1A1.

又因為平面4GEF平面ADD1A1=E/，所以G4//EF.所以4A//ER.

(ii)因為84_LABCR,所以84_LBg,

又因為BB]_L4A，所以4G，A644,

V2

在矩形ABB|A中，F是AA的中點，即tanNAgE=tanN4AB~T

即

AA.B.F=AAA.B,故即，87.

所以84,，平面4GEE.

⑵設BA與4尸交點為七連結

由(1)知B￡EF,所以ZBG"是Bq與平面4GE尸所成的角.在矩形A64A中,

AB=五,A4t=2,得BH=飛,在直角Bg中,BC；=2，§,BH=忑,得

疝次公器=鬻所以BC與平面我3所成角的正弦值是嚕

38.[2012高考陜西文18](本小題滿分12分)

rr

直三棱柱ABC-AiBG中，AB=AAi.ZCX5=—

2

(I)證明CB|"LBA"

(II)已知AB=2,BC=J?,求三棱錐C1—ABA|的體積

【答案】

I?[1)如圖,連結AB,,

?r

VABC-A,B.G是直三極柱.ZCAH=f.

二AC1平面AB&Ai.故MJ.?A：.

乂AJi=AAi,:.四邊形AWB.A,是正方形.

二ftAi」AB),又CAClAB：?=兒

:.AAi」一平面CA他.故CBi!HA：.

(II)AB—AA：=2,HC='/§.:、/\C=AG=1.

由《I)知，AC_LftfnAHA-..

Vq-機，—1sli4Ml.A：(；—&X2XI=?■.

39.[2012高考遼寧文18](本小題滿分12分)

如圖，直三棱柱ABC—A'8'C，,ZBAC=90,AB=AC=6,W=1,點照N分別為

AZ和PC，的中點。

(I)證明：MN〃平面A'ACC'；

(II)求三棱錐A-MNC的體積.

（椎體體積公式V=；Sh,其中S為地面面積，h為高）

【答案】

（18）（1）（證法一）

連結八B',AC,由已知/JL4C=90°,

AB=AC,=棱柱ABC-HR'C八為有二棱杵,

際以.“為AB'中點.

乂因為N為8'C的中點.

所以MNMNC.

乂MNg平面A/ICC',

AC'uFlffiA'ACC',

因此MN//平面

，證法二）

取4R'中點P.泮幼MP.N牛.

而M,M分別為A3'與4乙的中點,所以MP-：AA'.PN〃At,

所以MP/平面/1'4CC'.PN；￥ifiM'ACC'.又MPnNP=P,

因此YitiMPN/邛面A71CC'.t]MNc平山MPN.

囚此M,%?平面/I'/ICC....6分

<n）（解法一）

連結8」Y,主題惹4'N一8'C',平面"8'C"IV平血8'8CC'=8'C".正以

A'N1fjftl.VHC.

乙

1.I.1...

kr-.MNC-4,a=7匕l(fā)'二【"--...12

，解法二；

^,_1z1Zl

^.T-MVC_L.1,-：,3號《一1M,\M'；=-YZ-v：-—■............I2寸

L八

-..\Jk'ri

【解析】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算，考查空

間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中。第一小題可以通過線線平行來證明

線面平行，也可通過面面平行來證明；第二小題求體積根據條件選擇合適的底面是關鍵，也

可以采用割補發(fā)來球體積。

40.【2012高考江蘇16]（14分）如圖，在直三棱柱ABC—44G中，44=AG，D,E分

別是棱BC,CG上的點（點。不同于點C）,且AOLOE,F為4G的中點.

求證：（1）平面A￡>E_L平面BCGB1；

（2）直線〃平面ADE.

【答案】證明：（1）；ABC—AAG是直三棱柱，平面ABC。

又ADa平面ABC,/.CC,±AD.

又：ADLOE,CG，DEu平面3CC4，CC,DE=E,...9_1平

面BCC—

又,:4）u平面ADE,二平面4）E_L平面BCC,B｝。

（2）?.，Ag=AG，F為gG的中點，?

又；eg_L平面A4G,且AFu平面A4G，.'.cc,±4F0

又CC],4Gu平面Bee4,CC,8|G=G,4尸平面4月￡。

由（1）知，AD_L平面8CG4，；.A尸〃AO。

又；ADu平面