高中 1.2.2空間向量基本定理

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)1.2空間向量基本定理（第二課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 安徽省2022年優(yōu)質(zhì)課安徽省2022年優(yōu)質(zhì)課評(píng)比之團(tuán)體賽普通高中教科書人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理（第二課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)授課人：安徽省無為中學(xué)魯賢龍授課人：安徽省無為中學(xué)魯賢龍 目錄第一部分：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)單元內(nèi)容及其解析1單元目標(biāo)及其解析2單元教學(xué)問題診斷分析2單元教學(xué)支持條件分析3第二部分：課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容3教學(xué)目標(biāo)3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)3四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)4（一）復(fù)習(xí)回顧，導(dǎo)入新課4（二）例題講解,鞏固理解4（三）當(dāng)堂檢測(cè)，檢驗(yàn)效果7（四）小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)7（五）布置作業(yè)，應(yīng)用遷移8五、板書設(shè)計(jì)8六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)8七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明9第頁1.2空間向量基本定理（1課時(shí)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)）安徽省無為中學(xué)魯賢龍單元學(xué)習(xí)基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)實(shí)施年級(jí)高二使用教材版本人民教育出版社A版2019年選擇性必修第一冊(cè)單元主題名稱空間向量基本定理單元課時(shí)2課時(shí)一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容空間向量的正交分解和空間向量基本定理及其應(yīng)用，知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下：空間向量基本定理簡(jiǎn)單應(yīng)用空間向量基本定理簡(jiǎn)單應(yīng)用空間向量在三個(gè)兩兩垂直的向量上的分解本單元建議用2課時(shí)：第1課時(shí)，空間向量基本定理；第2課時(shí)，空間向量基本定理的應(yīng)用.2.內(nèi)容解析本單元的主要內(nèi)容是空間向量基本定理.空間向量基本定理是立體幾何問題代數(shù)化的基礎(chǔ).我們通過選定一組三維基底，將空間內(nèi)的任意向量表示為這組基底的一個(gè)線性組合.因?yàn)檫@種表示具有唯一確定性，所以這里實(shí)際上建立了空間向量與三維有序?qū)崝?shù)組的一一對(duì)應(yīng).如果在空間直角坐標(biāo)系中取一組單位正交基底，使，，的大小、方向分別與空間直角坐標(biāo)系的軸、軸、軸的長(zhǎng)度單位、方向一致，那么就可以用空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示空間向量.利用空間向量的坐標(biāo)表示，就可以徹底實(shí)現(xiàn)通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題的目標(biāo).所以，本單元是后續(xù)空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).因?yàn)榭臻g向量基本定理和平面向量基本定理在形式和內(nèi)容上的高度一致性，所以可以通過類比平面向量基本定理研究空間向量基本定理，將定理從二維推廣到三維.空間向量基本定理是空間向量與立體幾何之間的橋梁.這個(gè)定理表明，任意空間向量都可以用三個(gè)不共面的基向量表示，空間結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單明了.這樣就可以將空間內(nèi)所有向量的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為基底的運(yùn)算問題.本單元內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)地思考問題的方法有以簡(jiǎn)馭繁和類比等，這有助于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)算的價(jià)值，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：空間向量基本定理及其應(yīng)用.二、單元目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)（1）掌握空間向量的正交分解.（2）了解空間向量基本定理及其意義.（3）能運(yùn)用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）能類比平面向量基本定理的研究過程，探究并證明空間向量基本定理；能用三個(gè)不共面的向量表示空間中任意一個(gè)向量，或?qū)⒁粋€(gè)空間向量分解為三個(gè)不共面向量；能解釋定理中的關(guān)鍵詞“任一向量”“有且只有”.（2）能類比平面向量的正交分解研究空間向量的正交分解，會(huì)舉出正交分解的實(shí)例，能分析空間向量正交分解與空間向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系，會(huì)用單位正交基底表示所給向量.（3）能根據(jù)問題背景恰當(dāng)選擇基底表示相關(guān)向量，能運(yùn)用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題.（4）能在探究空間向量基本定理和利用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題的過程中，感悟聯(lián)系的觀點(diǎn)和類比的方法，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.三、單元教學(xué)問題診斷分析本單元的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)有如下幾個(gè)方面：首先，平面向量基本定理的學(xué)習(xí)為探究空間向量基本定理奠定了基礎(chǔ).平面中的兩個(gè)不共線向量就是二維向量空間的一個(gè)基底，空間中的三個(gè)不共面向量就是三維向量空間的一個(gè)基底.從共線向量定理到平面向量基本定理再到空間向量基本定理，它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、研究和認(rèn)識(shí)問題的方法是一脈相承的.其次，在平面向量單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)用向量法解決幾何問題的基本思路，這為我們利用空間向量解決一些立體幾何問題打下了基礎(chǔ)，提供了可借鑒的研究方法和思路，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用向量語言、向量方法表述和解決立體幾何問題的簡(jiǎn)捷性.本單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可能存在如下一些問題：（1）平面向量基本定理揭示的是平面上的向量之間的關(guān)系，單位正交基底下對(duì)應(yīng)的是直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)問題，學(xué)生相對(duì)比較熟悉.隨著維數(shù)的增加，問題更加復(fù)雜，特別是向量的分解從平行四邊形上升到平行六面體，對(duì)空間想象力的要求高，會(huì)給學(xué)生造成一定的困難.為此，教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生利用兩次平面向量正交分解得到空間向量的正交分解外，還要注意提醒學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量分解從平面向空間的推廣過程中，維數(shù)的改變引起分解結(jié)果形式的變化.（2）學(xué)生對(duì)空間向量基本定理中的“任意性”和“唯一性”的理解仍是一大難點(diǎn)，教學(xué)中既要利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生形成直觀感受，又要設(shè)計(jì)恰當(dāng)問題讓學(xué)生體會(huì)“反證法”這一特殊的證明方法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體條件進(jìn)行邏輯表達(dá)和轉(zhuǎn)換，為后續(xù)“唯一性”的證明做好鋪墊，同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生回顧平面向量基本定理中“唯一性”的證明過程，從而較為自然地給出嚴(yán)格證明.（3）由于學(xué)生空間想象能力的不同，對(duì)立體圖形基本元素及其基本關(guān)系的把握上也有所差異，而在利用空間向量基本定理解決立體幾何問題時(shí)，恰當(dāng)?shù)幕走x擇非常重要，這依賴于學(xué)生有較好的空間想象能力，這對(duì)學(xué)生而言存在著一定的困難，也是本單元的一個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形的組成元素及其基本關(guān)系上加強(qiáng)分析.本單元的教學(xué)難點(diǎn)為：空間向量基本定理“唯一性”的證明，基底的恰當(dāng)選擇.四、單元教學(xué)支持條件分析在利用基底對(duì)空間向量進(jìn)行分解時(shí)，借助動(dòng)態(tài)幾何軟件呈現(xiàn)不同“回路”的分解過程，幫助學(xué)生觀察“變化中的不變性”，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間圖形基本元素及結(jié)構(gòu)的整體把握能力.五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)空間向量基本定理的應(yīng)用（一）教學(xué)內(nèi)容空間向量基本定理的應(yīng)用.（二）教學(xué)目標(biāo)（1）能根據(jù)問題背景恰當(dāng)選擇基底表示相關(guān)向量，能運(yùn)用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題．（2）在利用空間向量基本定理解決立體幾何問題的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用空間向量基本定理解決立體幾何問題.難點(diǎn)：如何根據(jù)條件選擇恰當(dāng)?shù)幕?（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.復(fù)習(xí)回顧，導(dǎo)入新課引導(dǎo)語：在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們類比平面向量基本定理得到了空間向量基本定理.問題1：你能復(fù)述空間向量基本定理的內(nèi)容嗎？師生活動(dòng)：空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得.（教師板書）我們把叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量.特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.空間向量基本定理表明，空間中的任意一個(gè)向量都可以用基向量的線性組合唯一表示.追問：你認(rèn)為利用空間向量基本定理，我們可以解決立體幾何中的哪些問題？師生活動(dòng)：學(xué)生自由討論，給出自己的觀點(diǎn).【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧空間向量基本定理的內(nèi)容，為本節(jié)課的應(yīng)用提供理論依據(jù).例題講解，鞏固理解例2如圖，在平行六面體中，分別為的中點(diǎn).求證問題2：證明異面直線垂直，我們有哪些方法？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、作答后，再交流發(fā)言.方法一：綜合法，證明異面直線所成角為直角；利用線面垂直的定義和性質(zhì)等.方法二：向量法，利用基底表示和.追問1：如果選用綜合法證明，我們還需要知道哪些條件？這些條件方便找全嗎？追問2：既然綜合法不太容易實(shí)現(xiàn)，我們還可以采用什么方法？追問3：選擇向量法解決空間幾何問題的依據(jù)是什么？我們首先要做什么？追問4：你會(huì)選擇哪三個(gè)向量作為基向量？為什么？追問5：為了方便書寫，我們可以怎么辦？追問6：此時(shí)只需證明什么？請(qǐng)你寫出解答過程.分析：要證只需證由已知，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.把和分別用基底表示，然后計(jì)算即可.證明：設(shè)這三個(gè)向量不共面，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，我們用它們表示則所以所以.所以.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生已經(jīng)會(huì)用向量的數(shù)量積判斷兩直線是否垂直，本例中注意引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，構(gòu)造適當(dāng)?shù)幕?，再把相關(guān)向量用基底表示，并通過基向量的運(yùn)算判斷幾何元素的位置關(guān)系.問題3：用向量方法解決立體幾何問題的一般路徑是什么？例3如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值.問題4：正方體的棱長(zhǎng)為1，對(duì)解題有什么啟發(fā)？追問1：選取單位正交基底有什么優(yōu)勢(shì)？追問2：如何用向量法證明？追問3：如何用向量表示與所成角的余弦值？師生活動(dòng)：可以選取單位正交基底表示相關(guān)向量.讓學(xué)生獨(dú)立思考、作答后，教師投影學(xué)生作答結(jié)果，全班交流.要證明，只需證明與共線.則構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底，把與分別用基向量表示，作相應(yīng)的運(yùn)算證明它們共線即可.（2）要求與所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可.（1）證明：設(shè)則構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底.所以所以.所以.（2）解：因?yàn)樗运耘c所成角的余弦值為.【設(shè)計(jì)意圖】例3是利用空間向量基本定理計(jì)算兩條線段所成角的余弦值.目的在于訓(xùn)練學(xué)生通過向量運(yùn)算分析和解決幾何問題的技能.使學(xué)生進(jìn)一步理解通過向量及其運(yùn)算，不僅能表示空間中的點(diǎn)、直線、平面等基本元素，而且能使這些幾何元素成為可操作的數(shù)據(jù)并進(jìn)行運(yùn)算.當(dāng)堂檢測(cè)，檢驗(yàn)效果已知四面體.求證：.如圖，在平行六面體中，.求與所成角的余弦值.如圖，已知正方體，和相交于點(diǎn)，連接，求證.【設(shè)計(jì)意圖】第1、3題考查學(xué)生利用空間向量基本定理、向量運(yùn)算及運(yùn)算律證明空間的垂直問題的能力，第2題檢測(cè)學(xué)生利用空間向量基本定理解決空間中的度量問題的水平.小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題5：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下列問題：（1）用向量方法解決立體幾何問題的一般路徑是什么？（2）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們用到了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？（3）類比平面向量的研究路徑，學(xué)習(xí)空間向量基本定理之后，我們還將學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流，再派代表發(fā)言，教師幫助總結(jié)：（1）本節(jié)課用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.我們還將學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示.【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法解決立體幾何問題的基本類型和基本步驟并提煉出相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與方法，同時(shí)為下個(gè)單元做鋪墊.布置作業(yè)，應(yīng)用遷移必做題：教科書習(xí)題1.2第5、6題.選做題：查閱相關(guān)資料，了解空間向量基本定理的實(shí)際應(yīng)用，制作展板全班交流展示.6.板書設(shè)計(jì)1.2空間向量基本定理（第二課時(shí)）1.空間向量基本定理2.用向量方法解決立體幾何問題的一般路徑多媒體演示區(qū)靈活板演區(qū)目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

） B． C． D．2.已知是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)不共線，則“存在實(shí)數(shù)使得是“平面”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，且，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【設(shè)計(jì)意圖】通過上述題目考查學(xué)生對(duì)空間向量基本定理靈活應(yīng)用的掌握情況.六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明本單元的主要內(nèi)容是空間向量基本定理，作為一個(gè)小單元進(jìn)行教學(xué).本單元教學(xué)設(shè)計(jì)遵循學(xué)生最近發(fā)展區(qū)原則，從正交分解出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境提出問題，通過類比平面向量基本定理，對(duì)空間向量基本定理進(jìn)行探究，實(shí)現(xiàn)定理從二維向三維的推廣.由平面向量基本定理的數(shù)學(xué)表述，類比猜想空間向量基本定理；通過類比平面向量基本定理的證明過程，探究空間向量基本定理的證明過程；通過類比平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，研究空間向量基本定理在立體幾何中的應(yīng)用；這種“類比→猜想→證明→應(yīng)用”的過程，加深學(xué)生對(duì)定理的理解，提高學(xué)生抽象概括的水平，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注了如下問題：注重知識(shí)體系構(gòu)建的連貫性和完整性.本單元內(nèi)容的教學(xué)注重類比學(xué)習(xí)，通過類比將平面向量基本定理以及在平面幾何中的應(yīng)用，類比到空間向量基本定理及其在立體幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的連貫性；通過縝密推理使類比的結(jié)論得到嚴(yán)格證明，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.注重問題的自然性和啟發(fā)性.本教學(xué)設(shè)計(jì)注重通過合理設(shè)問，啟發(fā)學(xué)生將向量的線性表示從二維推廣到三維，讓學(xué)生感受到研究空間向量基本定理的必要性.由難度適當(dāng)?shù)膯栴}“空間中任一向量怎么表示”引起的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.其后問題鏈的設(shè)計(jì)一步一步引導(dǎo)學(xué)生感受“發(fā)現(xiàn)→探究→猜想→證明→理解→應(yīng)用”這一過程.注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng).本教學(xué)設(shè)計(jì)落實(shí)教材的編寫意圖，從正交基底出發(fā)到任意基底，最后回到單位正交基底