高中數(shù)學(xué) 北師大版必修二 三角恒等變換 第七課時(shí) 二倍角的三角函數(shù)公式 二倍角公式

第七課時(shí)：二倍角公式阜南一中蔣慶一、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容及內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中實(shí)驗(yàn)教科書》北師大版數(shù)學(xué)必修二第四章第3節(jié)二倍角的三角函數(shù)公式第一課時(shí)二倍角公式，它是兩角和與差三角函數(shù)公式的特殊化。主要內(nèi)容是二倍角公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。在公式推導(dǎo)與應(yīng)用過程中，體現(xiàn)了三角恒等變換“只變其形，不變其質(zhì)”的變換實(shí)質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)半角公式以及三角函數(shù)的求值、化簡和證明提供了理論依據(jù)。滲透由一般到特殊、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，是一節(jié)公式推導(dǎo)和應(yīng)用課。二、學(xué)情分析已有的基礎(chǔ)高一學(xué)生已經(jīng)掌握了兩角和與差的三角函數(shù)公式，有用兩角和與差的三角函數(shù)公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、積化和差等公式的經(jīng)驗(yàn)。已具備一定邏輯推理能力及由一般到特殊的研究方法。存在的問題由和角的三角函數(shù)公式中的替換成，這種一般到特殊的思想方法需要學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟；其次，學(xué)生在應(yīng)用二倍角公式的過程中存在識別困難，轉(zhuǎn)化與化歸、類比聯(lián)想等數(shù)學(xué)能力有待加強(qiáng)。解決的策略通過復(fù)習(xí)差角的三角函數(shù)公式經(jīng)過特殊變換得到和角的三角函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)這種特殊化的處理方式，給學(xué)生提供思考、探究的空間，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。在例題的處理上，學(xué)生想到的數(shù)學(xué)工具不一定是二倍角公式，引導(dǎo)學(xué)生通過倍角公式來解決問題，同時(shí)進(jìn)行方法對比，強(qiáng)調(diào)一題多解，開拓學(xué)生思維的廣度。三、課時(shí)目標(biāo)和目標(biāo)分析1.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（1）通過公式的推導(dǎo)，理解二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系，能利用兩角和與差三角函數(shù)公式探索二倍角公式及相關(guān)變式，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。（2）經(jīng)歷二倍角公式的推導(dǎo)及變形過程，獲得解決與倍角相關(guān)幾何或綜合等問題的技能。發(fā)展學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。（3）在公式推導(dǎo)與應(yīng)用過程中，思辨“倍”的含義。領(lǐng)悟從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)公式所蘊(yùn)含的和諧美，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力、自主探究的學(xué)習(xí)能力，提升邏輯推理素養(yǎng)。2.課時(shí)目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生能夠在兩角和差公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出二倍角公式；并記住二倍角公式。（2）能夠利用二倍角公式解決幾何及綜合實(shí)際問題。（3）二倍角公式的運(yùn)用不只局限于是二倍的情況，與，與等也是二倍角的關(guān)系。能夠設(shè)計(jì)出“知識網(wǎng)絡(luò)圖”。四、課時(shí)教學(xué)重難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦和正切公式。（2）難點(diǎn)：理解及恰當(dāng)運(yùn)用二倍角公式。五、課時(shí)設(shè)計(jì)思想以學(xué)生為中心，引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)公式，以問題驅(qū)動(dòng)促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊化的路徑，推導(dǎo)并理解二倍角公式，深刻領(lǐng)會(huì)從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。六、方法與策略1.教學(xué)方法與教學(xué)手段在教法上，本課主要采用以學(xué)生為主體的啟發(fā)式教學(xué)方式，設(shè)置“設(shè)問——探究——?dú)w納——應(yīng)用——總結(jié)”五個(gè)環(huán)節(jié)突破本節(jié)課教學(xué)重難點(diǎn)。在學(xué)法指導(dǎo)上，精心設(shè)計(jì)問題串，以問題為主線，引導(dǎo)由淺入深的領(lǐng)悟從一般化歸為特殊的思想，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，提升邏輯推理素養(yǎng)。教學(xué)手段：主要采用多媒體教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，提高課堂教學(xué)效率。2.教學(xué)策略分析（1）精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容站在大概念下的單元教學(xué)角度組織教學(xué)內(nèi)容，從已學(xué)知識入手，精心設(shè)問。整個(gè)教學(xué)過程將經(jīng)歷設(shè)問、探究、歸納、應(yīng)用、總結(jié)五個(gè)方面，層層遞進(jìn)。（2）充分開展學(xué)生活動(dòng)站在學(xué)生的角度，根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，給學(xué)生提供課堂參與機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在獨(dú)立思考和相互交流中掌握方法，體會(huì)思想，形成技能。（3）滲透提煉思想方法通過典型例題的教學(xué)，由淺入深逐層遞進(jìn)，給學(xué)生提供比較，分析，歸納，綜合的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生在解題和反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。七、教學(xué)過程設(shè)計(jì)流程：1.復(fù)習(xí)回顧，提出問題；2.探索新知，理解公式；3.公式應(yīng)用，鞏固新知；4.梳理總結(jié)，深化思想；5.布置作業(yè)，發(fā)展素養(yǎng).問題問題情境建立建立公式，理解公式公式公式應(yīng)用小結(jié)小結(jié)，布置作業(yè)八、課時(shí)教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)回顧，提出問題引導(dǎo)語：前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的和角公式、差角公式。那么請同學(xué)們思考：問題1兩角差的三角函數(shù)公式經(jīng)過怎樣的變換，可以得到兩角和的三角函數(shù)公式？追問由此你還可以得到怎樣特殊的變換呢？誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式師生活動(dòng)：讓學(xué)生自行嘗試、探究、討論和交流后給出答案，教師給予點(diǎn)評。設(shè)計(jì)意圖：揭示兩角和、差公式與二倍角公式的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想和方法。突出了三角恒等變換的主導(dǎo)思想，同時(shí)加大了數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的深度。引導(dǎo)學(xué)生在和角公式的基礎(chǔ)上，嘗試以替代得出二倍角公式，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。發(fā)展學(xué)生的邏輯推理力。2.探索新知、理解公式問題2如何推導(dǎo)公式呢？追問如果要求二倍角的余弦公式中僅含的正弦或僅含余弦，那么你能得到怎樣的結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出的變形公式：，復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)關(guān)系，提高學(xué)生的邏輯推理能力。師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生趁熱打鐵，一鼓作氣地推導(dǎo)出的變形公式。問題3如何理解二倍角公式中“倍”的含義？能否舉出例子？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生理解“倍”是描述兩個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的，并對二倍角的相對性有一定的認(rèn)識，這里蘊(yùn)含著換元的思想。師生活動(dòng):請學(xué)生舉出實(shí)例，如是的二倍，是的二倍，是的二倍等情況進(jìn)一步類比得出三倍角、四倍角等概念。設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生已有的知識出發(fā)，通過問題預(yù)測他們的潛在發(fā)展能力，找準(zhǔn)“最近發(fā)展區(qū)”，自始至終讓學(xué)生自主探究，合作交流，讓學(xué)生有充足的思考時(shí)間和感悟空間，加深學(xué)生對二倍角公式的理解與記憶。問題4二倍角公式中的的取值范圍分別是什么？設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明確、中的可以是任意角，但中的應(yīng)為問題5通過觀察二倍角余弦公式，你能發(fā)現(xiàn)“二倍角”與“二次”之間關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：二倍角公式反映的是將二倍角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單角的三角函數(shù)值，從而有引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特征，理清楚“二倍角”與“二次”的關(guān)系，（“升”角——“降”次、“降”角——“升”次）。設(shè)計(jì)意圖：Halmos說過，教學(xué)中要善用問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)。問題是數(shù)學(xué)的心臟，通過問題鏈的設(shè)計(jì)，揭示數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系。通過對教材進(jìn)行再加工，深挖掘，使問題的提出、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，符合學(xué)生的心理需要和認(rèn)知特點(diǎn)，以期待學(xué)生的思維有效的開展，拓展學(xué)生思維的寬度、廣度及深度。3.公式應(yīng)用，鞏固新知設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)以上正用型例題，讓學(xué)生在熟悉的數(shù)學(xué)情景中了解運(yùn)算對象，正確進(jìn)行運(yùn)算，加強(qiáng)學(xué)生對二倍角公式的記憶和理解。從而達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平一的要求。。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行解決關(guān)聯(lián)情境中的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題，讓學(xué)生體驗(yàn)新舊知識的聯(lián)系，從而達(dá)到水平二的要求。例3.要把半徑為R的半圓形木料截成矩形，應(yīng)怎樣截取，才能使矩形面積最大？設(shè)計(jì)意圖:運(yùn)用二倍角公式解決綜合情境中的三角函數(shù)應(yīng)用問題，與幾何和函數(shù)最值有關(guān)的實(shí)際問題，需要學(xué)生分析題設(shè)，畫出圖形，找出解決問題的途徑，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。從而達(dá)到水平三的要求。4.梳理總結(jié)，深化思想（1）回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你學(xué)到了哪些知識？如何得到的？由此你還可以推出哪些公式？（2）從和角公式、差角公式、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式之間存在緊密的邏輯聯(lián)系，你能設(shè)計(jì)一張結(jié)構(gòu)圖描述它們之間的推出關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)雖小，意義重大。通過課堂小結(jié)，揭示本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵和數(shù)學(xué)方法，濃縮知識，概括提煉，引領(lǐng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，形成新的知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)新的知識內(nèi)化，完成知識“由厚到薄”的提煉過程。5.布置作業(yè)，發(fā)展素養(yǎng)（1）課后作業(yè)：P155練習(xí)1、2、3、4設(shè)計(jì)意圖：通過課后練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換，引導(dǎo)學(xué)生正用、逆用、巧用、連用。探究作業(yè)給學(xué)有余力的學(xué)生留有探究的空間，使不同層次的學(xué)生都有發(fā)展，使教學(xué)目標(biāo)課后繼續(xù)落實(shí)。發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。九、板書設(shè)計(jì)4.3.1二倍角公式1.二倍角公式例1.學(xué)生板演區(qū)2.二倍角公式的變形例2.例3.十、教學(xué)評價(jià)知識不是被動(dòng)接受的，而是認(rèn)知主體積極主動(dòng)構(gòu)建的。本課的教學(xué)設(shè)計(jì)正是在這種教學(xué)理念指導(dǎo)下，通過問題情境引入，以自主探究、提問、練習(xí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生跨越“什么是二倍角公式？”、“二倍角公式怎么推導(dǎo)與記憶？”、“二倍角公式怎樣應(yīng)用？”三大學(xué)習(xí)障礙，成功構(gòu)建“