傅氏算法的探究

傅氏算法在數(shù)字保護(hù)中得到了廣泛的應(yīng)用，但關(guān)于傅氏算法中余弦正弦系數(shù)a，b是否是信號(hào)相量的實(shí)部和虛部，作者一直感到困惑。通過(guò)分析近年發(fā)表相關(guān)傅氏算法的文獻(xiàn)，提出幾個(gè)問(wèn)題的質(zhì)疑，結(jié)合實(shí)際的工程實(shí)例和信號(hào)的物理意義，認(rèn)為信號(hào)的虛部是-b即相量用表示，才能正確計(jì)算出阻抗、負(fù)序分量等。關(guān)鍵詞：傅氏算法；相量表示；分量DiscussionontheFourieralgorithmapplicationYuanyubo,Luyuping,Tangguoqing(ElectricalEngineeringDepartmentofSoutheastUniversityNanjing210096)Abstract:FourierAlgorithmhasbeendeeplyappliedindigitalprotection,howeveritwaspuzzledaboutwhethercoefficientsaorbarerealorimagepartofthephasor.Afteranalyzingthedocumentpublishedinrecentyears,someproblemsquerywasputforward.Itwasconcludedthatthephasorcouldrepresentedbyformofa-jbandthecorrectlyimpedanceornegativephase-sequencecouldbefigureoutbythisform..Keywords:FourierAlgorithm,DigitalProtection0引言傅氏濾波算法作為故障信號(hào)模值相角提取的方法，在電力系統(tǒng)數(shù)字保護(hù)中廣泛應(yīng)用，但從目前發(fā)表的文獻(xiàn)來(lái)看，在概念上還存在一些困惑。現(xiàn)將問(wèn)題闡述如下。計(jì)算連續(xù)周期信號(hào)的基波分量的傅氏算法為：'ft=^7.1.x（小）山 -i，-r-1 2 . rh二亍j船工（r）幀n3耐山*a離散周期借弓餉轉(zhuǎn)茂糅拱為：文獻(xiàn)［1-4］認(rèn)為a,b分別是基波信號(hào)的實(shí)部和虛部。其實(shí)不然,確切地說(shuō)，a,b應(yīng)是信號(hào)的余弦和正弦分量系數(shù)。作者在開發(fā)一個(gè)繼電保護(hù)故障信息系統(tǒng)的過(guò)程中，利用了高級(jí)語(yǔ)言的復(fù)數(shù)類，發(fā)現(xiàn)根據(jù)a+jb的組合方法來(lái)表示相量，計(jì)算出的負(fù)序和正序互相顛倒，且利用電壓電流計(jì)算出的阻抗中的電抗分量為負(fù)數(shù)。如用a-jb的相量表示方法，結(jié)果就正確了。分析其中的原因，作者認(rèn)為目前一些文獻(xiàn)都忽視了傅氏算法的概念，擬歸納成以下幾個(gè)問(wèn)題:1）傅氏算法計(jì)算出來(lái)的余弦、正弦幅度系數(shù)a,b是否是基波相量的實(shí)部和虛部。2）連續(xù)周期信號(hào)與離散周期信號(hào)各自計(jì)算出來(lái)的是否一樣？相位角分別如何計(jì)算。

針對(duì)這些問(wèn)題，在此提出一些個(gè)人見解與同行討論。1算例以距離保護(hù)中計(jì)算阻抗為例(見圖1)，算法采用(2)式，分別得到電壓電流的余弦正弦系數(shù)Ua,Ub,Ia,Ib,至于如何構(gòu)成相量，有兩種組合方法，在表1中詳細(xì)的表示。圖I篦嚮保護(hù)圖I篦嚮保護(hù)一次垂姣圖PririiFkix八Th”*Jdistance裘丨阻抗計(jì)算結(jié)果Tph.I]ni]<rdiLrirLxrLitiuhLkmoftheIini：L>匚幻幾1 —人1/匕勺仁r~h\h.Z4-J54"顯然，采用后面一種才能正確的計(jì)算出z,相量表示雖然只是相差一個(gè)負(fù)號(hào)，但是物理概念確完全不一樣。復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為[5]:

在連續(xù)系統(tǒng)中，系數(shù)a,b包含了基波的幅值和相位信息，負(fù)頻率點(diǎn)和正頻率點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)的復(fù)系數(shù)分別為。電路理論中用相量表示信號(hào)時(shí)，規(guī)定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?，正頻率是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，因此用正頻率點(diǎn)處的復(fù)系數(shù)來(lái)表示相量，為反映幅值將它乘以2,即用a-jb來(lái)表示基波相量。以上推證相量的實(shí)部和虛部應(yīng)該為a、-b，其實(shí)這個(gè)概念的澄清對(duì)計(jì)算和分析非常重要，否則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的錯(cuò)誤。下面舉例說(shuō)明，圖2為一單位正弦波，數(shù)據(jù)窗取一個(gè)周波長(zhǎng)度，分別取起始位置為1,2,3,4,表2為相應(yīng)的a-jb,a+jb的計(jì)算值，圖2表明隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，相量a-jb是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而a+jb是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。*2T和“員的計(jì)算值I"血2 Cwirlolinlttd'litrsif”-曲“川1n卜訕ffi：“十皿與狀血的旋轉(zhuǎn)方向RutliLbhi ntft+uUtlJ一山ABC三相超前滯后的關(guān)系是基于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎淖鴺?biāo)系統(tǒng)。如用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a+jb的相量來(lái)表示基波，計(jì)算時(shí)會(huì)導(dǎo)致正序和負(fù)序分量的錯(cuò)位。2分析連續(xù)系統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)周期信號(hào)的分析，系數(shù)a,b是通過(guò)積分運(yùn)算得到的，而離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于一個(gè)時(shí)間窗截?cái)嗟倪^(guò)程，窗外是窗內(nèi)數(shù)據(jù)的周期延拓。理論證明，隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，計(jì)算的a,b值也是正弦交變的，不像周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)a,b是一個(gè)恒定的值。以基波12點(diǎn)采樣為例，隨著采樣數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，a-jb相量在圓上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，數(shù)據(jù)窗每往前移動(dòng)一格，相量就逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°。連續(xù)周期系統(tǒng)的相角取決于信號(hào)采用余弦模型還是正弦模型，如采用余弦模型，則連續(xù)系統(tǒng)中信號(hào)的初相角為復(fù)數(shù)a-jb的角度。少二arctan(-b/a)。而離散系統(tǒng)中計(jì)算出來(lái)的相角是有區(qū)別的，隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，它是一個(gè)瞬時(shí)的相位計(jì)算值(3t+少)，該相量以角速度3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。在實(shí)際工程中，也常遇到類似的問(wèn)題，如認(rèn)為a,b是信號(hào)的實(shí)部和虛部，可能在計(jì)算功率方向時(shí)，明明是正方向短路，可是保護(hù)計(jì)算出來(lái)的卻是反方向。有些工程人員的解決手段是在取電壓電流相量時(shí)在虛部前加一個(gè)負(fù)號(hào)，保護(hù)計(jì)算就正確了，確不知道其中的物理含義。國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)在看待這個(gè)問(wèn)題時(shí)，有一些混亂，比較容易誤導(dǎo)讀者。如文獻(xiàn)［1-4］直接認(rèn)a,b是信號(hào)的實(shí)部和虛部。文獻(xiàn)［10,12］為同一個(gè)作者寫的兩篇論文，其虛部分量的符號(hào)就不一樣。但I(xiàn)EEE的一篇文獻(xiàn)在b前面加了一個(gè)負(fù)號(hào)［6］。國(guó)內(nèi)也有文獻(xiàn)意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題，在半波傅氏算法的b前加了一個(gè)負(fù)號(hào)［7］。最近出版的文獻(xiàn)［8］也加了負(fù)號(hào)。但是目前仍有論文，沒(méi)有對(duì)這個(gè)問(wèn)題引起重視，重復(fù)著這個(gè)筆誤[4,9]。綜上所述，目前對(duì)該問(wèn)題的困惑還存在，想當(dāng)然的認(rèn)為a,b就是基波信號(hào)的實(shí)部和虛部，會(huì)引起讀者的誤解，導(dǎo)致對(duì)傅氏算法錯(cuò)誤的理解和使用。可能這些文獻(xiàn)只注重研究濾波器性能，還沒(méi)有用來(lái)做雙通道的比相或三相序分量的計(jì)算，問(wèn)題沒(méi)有暴露出來(lái)。有些文獻(xiàn)用b+ja來(lái)表示信號(hào)，也是正確的，這一樣可以仿照表2分析出來(lái)。因此，在做信號(hào)的相量表示的時(shí)候，一定要注意向量的旋轉(zhuǎn)方向。3應(yīng)用1）距離保護(hù)中阻抗的計(jì)算2）序分量的提取電力系統(tǒng)中的故障大多數(shù)是不對(duì)稱的，會(huì)出現(xiàn)反應(yīng)不對(duì)稱故障的負(fù)序電壓和負(fù)序電流，數(shù)字保護(hù)應(yīng)能實(shí)時(shí)計(jì)算出負(fù)序分量。由于習(xí)慣上采用逆時(shí)針?lè)较蚨x超前滯后，a0,a1,a2依次逆時(shí)針?lè)较虺跋辔?20°。各序電流的計(jì)算見式（5）。注意信號(hào)相量表示應(yīng)取a-jb，如用a+jb會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出的正序分量變成負(fù)序分量。3）基于相量方法的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)采樣信號(hào)在一個(gè)數(shù)據(jù)窗中的特點(diǎn)是，隨著數(shù)據(jù)窗的移動(dòng)，數(shù)據(jù)窗內(nèi)的每個(gè)采樣點(diǎn)的值也是變化的，單獨(dú)把數(shù)據(jù)窗內(nèi)每個(gè)采樣點(diǎn)從x(l),x(2),...,x(12)作為信號(hào)引出來(lái)分析，每一點(diǎn)都是時(shí)域的采樣信號(hào)，它和原信號(hào)是一致的，不過(guò)依次超前一個(gè)采樣間隔，因此可以用相量來(lái)表示每個(gè)采樣點(diǎn)的信號(hào)。信號(hào)中存在的各次諧波分量如用相量表示時(shí)，除旋轉(zhuǎn)速度不同，反應(yīng)到每個(gè)相量之間的超前滯后的角度也是有區(qū)別的。如每周波12點(diǎn)的采樣系統(tǒng)，基波相量之間相差30°,二次諧波相量相差60°,依次類推，圖3給出了基波信號(hào)的各采樣點(diǎn)相量表示。朋J碁波采樣信號(hào)的梱墨裘示F曙-3 it! fin屮中戸|汕在同一個(gè)平面上，3個(gè)相量必相關(guān)，即對(duì)3個(gè)點(diǎn)的采樣相量，必然可找出系數(shù)使三個(gè)相量的線性組合等于零。通過(guò)基于相量方法的設(shè)計(jì)來(lái)濾除該次諧波，這在文獻(xiàn)［11］中已經(jīng)有詳細(xì)的論述。4結(jié)論本文通過(guò)研究分析，認(rèn)為傅氏算法計(jì)算出的余弦、正弦分量幅度系數(shù)a和b并非是信號(hào)相量表示的實(shí)部和虛部，在做信號(hào)的相量表示時(shí)，一定要注意向量的旋轉(zhuǎn)方向，應(yīng)選正方向旋轉(zhuǎn)的相量a-jb來(lái)表示信號(hào)，這樣符合傳統(tǒng)的電工學(xué)的正方向的規(guī)