導數(shù)及其應用-2018年高考數(shù)學（理）之高頻+含解析

解密05導數(shù)及其應用

解雷高考

高考考點命題分析三年高考探源考查頻率

從近三年高考情況來看，導數(shù)的概念及計

算一直是高考中的熱點，對本知識的考查主要

是導數(shù)的概念及其運算法則、導數(shù)的幾何意義2016課標全國III15

導數(shù)的概念等內(nèi)容，常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有2016課標全國II16

★★★★★

及計算時也會作為解答題中的一問.解題時要掌握函2015課標全國I21(I)

數(shù)在某一點處的導數(shù)定義、幾何意義以及基本2015課標全國II12

初等函數(shù)的求導法則，會求簡單的復合函數(shù)的

導數(shù).

導數(shù)的應用也一直是高考的熱點，尤其是

導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題是高考

2017課標全國I21

考查的重點內(nèi)容，一般以基本初等函數(shù)為載體，

2017課標全國II11、21

考查導數(shù)的相關知識及應用，題型有選擇題、

2017課標全國III11、21

導數(shù)的應用填空題，也有解答題中的一問，難度一般較大，★★★★★

2016課標全國I、II、III

常以把關題的位置出現(xiàn).解題時要熟練運用導

21

數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值之間的關系，理

2015課標全國I、II21

解導數(shù)工具性的作用，注重數(shù)學思想和方法的

應用.

對點解陰

考點1導數(shù)的概念及計算

題組一導數(shù)的計算

調(diào)研1已知函數(shù)〃/)的導函數(shù)為/?'(X),且滿足f(x)=2M'(l)+lnX,則f'(1)=

A._eB._1

C.1D.e

【答案】B

【解析】Vf{x)=2xf'(1)+lnx,'.f'(x)=\_2xf'(1)]'+(Inx)'—2f'(1)+-,.'.f'(1)=

x

2f'(1)+1,即/■'(1)=」.故本題選B.

運?產(chǎn)富?二運??運…:嗨:?????:嗨??。運°一篇"?運?，母.?S-*.<

☆技巧點撥☆

1.導數(shù)計算的原則和方法

(1)原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導公式求導的函數(shù)的和、差、積、商，再求導.

(2)方法：

①連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；

②分式形式：觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；

③對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導；

④根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)幕的形式，再求導；

⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導.

2.運用基本初等函數(shù)求導公式和運算法則求函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間(a,6)內(nèi)的導數(shù)的基本步驟：

(1)分析函數(shù)曠=/(x)的結構和特征；

(2)選擇恰當?shù)那髮Ч胶瓦\算法則求導；

(3)整理得結果.

3.求較復雜函數(shù)的導數(shù)的方法

對較復雜的函數(shù)求導數(shù)時，先化簡再求導.如對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或分式時，可用對數(shù)的性質(zhì)將真數(shù)

轉(zhuǎn)化為有理式或整式求解更為方便；對于三角函數(shù)，往往需要利用三角恒等變換公式，將函數(shù)式進行化

簡，使函數(shù)的種類減少，次數(shù)降低，結構盡量簡單，從而便于求導.

4.求復合函數(shù)的導數(shù)的關鍵環(huán)節(jié)和方法步驟

(1)關鍵環(huán)節(jié)：

①中間變量的選擇應是基本函數(shù)結構；

②正確分析出復合過程；

③一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導；

④善于把一部分表達式作為一個整體；

⑤最后結果要把中間變量換成自變量的函數(shù).

(2)方法步驟：

①分解復合函數(shù)為基本初等函數(shù)，適當選擇中間變量；

②求每一層基本初等函數(shù)的導數(shù)；

③每層函數(shù)求導后，需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).

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題組二導數(shù)的幾何意義

1nY

調(diào)研2曲線尸--在點(1,0)處的切線方程為

X

【答案】尸X」

InV1-InVInv

【解析】設fix)=—,則f'(x)=,所以f'(1)=1.所以曲線尸0在點(1,0)處的切線

XX；X

方程為y=x-l.

調(diào)研3若在曲線尸e-'上的點夕處的切線平行于直線2x+y+l=0,則點0的坐標是—

【答案】(」n2,2)

【解析】設尸(照，㈤，-：y=—,=-e~'，.?.點尸處的切線斜率為4=_e%=_2,

e

...-Ab=ln2,Ao=-ln2,.,.yo—en2—2,...點。的坐標為(-In2,2).

4

調(diào)研4已知點P在曲線y=-----上，。為曲線在點一處的切線的傾斜角，則。的取值范圍是—

ev+l

【答案】尊兀)

4-4ev-4ev_-4

【解析】ex+r*'V"(eA+l)2

eFe'+lev+l+2

ex

???e*>0,Ae'+—>2,當且僅當e'=—，即x=0時等號成立.

eKeA

3兀

/./eM,0),Atane[_1,0).又?！闧0,n),a——,n).

4

調(diào)研5已知3為常數(shù)，若曲線1dV+3x_lnx存在與直線才+六1=0垂直的切線，則實數(shù)H的取值范圍

是

A.-g,+0°

C,[-1,+°°)D.(_8,_1]

【答案】A

【解析】由題意知曲線上存在某點的導數(shù)為1,所以V=2ax+3-：=l有正根，即2ax2+2X_1=0有正

根.當a20時，顯然滿足題意；當水0時，需滿足420,解得gwa〈O.綜上，a》,

s?產(chǎn)需.%??轉(zhuǎn)?。*.??二?尸率「。谷；?亳。??一?。?.：：?

☆技巧點撥☆

導數(shù)的幾何意義是每年高考的重點內(nèi)容，考查題型多為選擇題或填空題，有時也會作為解答題中的第

一問，難度一般不大，屬中低檔題型，求解時應把握導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，常見的類型及

解法如下：

(1)已知切點。(刖，%)，求*f(x)過點。的切線方程：求出切線的斜率f'(如，由點斜式寫出方程；

(2)已知切線的斜率為4,求片/'(x)的切線方程：設切點P(施，㈤，通過方程公F'(加解得施，再由

點斜式寫出方程；

(3)已知切線上一點(非切點)，求尸/"(x)的切線方程：設切點以施，血)，利用導數(shù)求得切線斜率

f'(外，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得加，最后由點斜式或兩點式寫出方程.

(4)若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，

再由公(劉)求出切點坐標(施，㈤，最后寫出切線方程.

(5)①在點〃處的切線即是以P為切點的切線，〃一定在曲線上.

②過點尸的切線即切線過點只產(chǎn)不一定是切點.因此在求過點。的切線方程時，應首先檢驗點P是否

在已知曲線上.

運?產(chǎn)篇?晨運.?.?簿:?*.鬻??產(chǎn)意運。.?*。."運.。霜.??

考點2導數(shù)的應用

題組一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

調(diào)研1已知函數(shù)/"(x)=*+2ax_lnx,若f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

【答案】+8)

【解析】由題意知f'(x)=x+2a」20在《，2上恒成立，即2@》"+,在《，2上恒成立,

x2」x2」

1g84

??,(—x+?max=§，即a》),

[2

調(diào)研2已知函數(shù)/Xx)=xTnx,g[x)=ax-x—,

nJe

(1)求/、(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象在交點處存在公共切線，求實數(shù)a的值.

【答案】⑴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為G，+8)；(2)1,

【解析】(1),:f'(x)=lnx+1,由(x)>0,得x〉±

e

.../?(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為g，+8)

(2)f'(x)=lnx+1,g'(x)=3aV-g,

設公切點的橫坐標為x。，則與/Xx)的圖象相切的直線方程為：y=(ln揚+l)x_x°,

與g(x)的圖象相切的直線方程為：尸(3a*R*x_2a雙套

1叫+1=3?：-；1

/.\,解之得&ln&=_-，易求得照=一，

2ee

f二-2竭——

3e

2

?1

??a「.

6

運?.:嗨.、運.?富。.?運J。<.?盤???*冬.f。.?*。??運J。篇.?延??魂

☆技巧點撥☆

函數(shù)的單調(diào)性及應用是高考中的一個重點內(nèi)容，題型多以解答題的形式呈現(xiàn).常見的題型及其解法如

下：

1.利用導數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式/(x)>0

(f\x)<0)在給定區(qū)間上恒成立.一般步驟為：

(1)求f'(X);

(2)確認f'(x)在(a,6)內(nèi)的符號；

(3)作出結論，r(x)>0時為增函數(shù)，/'(x)<o時為減函數(shù).

注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.

2.在利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義

域為實數(shù)集R可以省略不寫.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導數(shù)等于零的點外，還要注意在

定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導點.

3.由函數(shù)/(x)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

(1)可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上廣(x)20(或_f(x)W0)(/'(%)在該區(qū)間的

任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值

范圍；

(2)可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是/'(X)>0(或/'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，

這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；

(3)若已知"X)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出“X)的單調(diào)區(qū)間，令I是其

單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

4.利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利

用導數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解.

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題組二利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

調(diào)研3已知函數(shù)/?(x)=_f+af_4在x=2處取得極值，若如/7S［_1,1］,則(〃)的最小值是

【答案】-13

【解析】f'(x)=-3f+2ax,根據(jù)已知得/'(2)=—12+4。=0,即a=3,所以/U)=_/+3_?_4.

根據(jù)函數(shù)［(*)的單調(diào)性，可得函數(shù)FE)在［-1,1］上的最小值為『(0)=_4,

又f'(〃)=一3#+6〃在［_1,1］上單調(diào)遞增，所以f'(〃)的最小值為/''(」)=一9.

所以［f(m)+f'(〃)］*加=f(m)+f'(〃)小=-4-9=-13.

調(diào)研4己知f(x)—e'［x+/?/_2%+2).

(1)假設必=-2,求/'(*)的極大值與極小值；

(2)是否存在實數(shù)如使/Xx)在［-2,」］上單調(diào)遞增？如果存在，求加的取值范圍；如果不存在，請說明

理由.

【答案】(1)f(x)的極大值為2,極小值為-37e”和_2e?；(2)存在，?￡(-?>,4］.

【解析】(1)當加=-2時，f(x)=e'\x-2x-2x+2),其定義域為(-8,+~).

則f'(x)=e\x-2x-2x-\-i)+e*(3x2-4x-2)=xe、(x"+x-6)=(x+3)x(x-2)e',

...當XG(_8,_3)或XG(0,2)時，f'(x)<0：當xG(_3,0)或xG(2,+s)時,f<(%)>o,

又f'(-3)=f'(0)=f‘(2)=0,

...F(x)在(_8,_3)上單調(diào)遞減，在(_3,0)上單調(diào)遞增；在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

???當才=-3或x=2時，F(xiàn)(x)取得極小值；當x=0時，f(x)取得極大值,

.??F(x)極小值=『(_3)=_37”:f(x)極小值=〃2)=_2，，f(x)極大值=/、(0)=2.

(2)f1(A)=?'(f+加_2x+2)+e'(3f+2/〃x_2)=xe'［*+(/〃+3)x+2S一2］.

???F(x)在［-2,」］上單調(diào)遞增,

,當x￡［_2,-1］時,f'(x)20.

又?..當x￡［_2,_1］時,xer<0,

???當x￡［_2,-1］時,夕+(勿+3)x+2m_2W0,

」(-2)2-2(，”+3)+2吁2<0

??〈，解得加W4,

(-l)2-(m+3)+2m-2<0

當必G(-8,4］時，f(x)在［-2,-1］上單調(diào)遞增.

s*.8<?二運」富。.?運.。囑.?區(qū)罐??:嗨「。運°」,。.—?。亳.?S?*.<

☆技巧點撥☆

1.函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略

(1)函數(shù)極值的判斷：先確定導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為0的點的左、右兩側的導數(shù)符號.

(2)求函數(shù)“X)極值的方法：

①確定函數(shù)/(x)的定義域.

②求導函數(shù)/'(X).

③求方程廣(x)=0的根.

④檢查/'(外在方程的根的左、右兩側的符號，確定極值點.如果左正右負，那么“X)在這個根處取

得極大值；如果左負右正，那么“X)在這個根處取得極小值；如果/'(x)在這個根的左、右兩側符號

不變，則“X)在這個根處沒有極值.

(3)利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)/'(X),求方程/'("=0的根的情況，

得關于參數(shù)的方程(或不等式)，進而確定參數(shù)的取值或范圍.

2.求函數(shù)f(x)在［a,6］上最值的方法

(1)若函數(shù)/>(x)在［a,3上單調(diào)遞增或遞減，則/?(a)與F(6)一個為最大值，一個為最小值.

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(8,6)內(nèi)有極值，先求出函數(shù)/*(x)在區(qū)間(a,份上的極值，與fQ)、f(A)

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

(3)函數(shù)/?(x)在區(qū)間(a,6)上有唯一一個極值點時，這個極值點就是最大(或最小)值點.

注意：(1)若函數(shù)中含有參數(shù)時，要注意分類討論思想的應用.

(2)極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最值，函數(shù)的最值

也不一定是極值.要注意利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象直觀研究確定.

運韁?二運°?*?.o<.?二運城運。.?鬻。??運J。蠹.??

題組三(導)函數(shù)圖象與單調(diào)性、極值、最值的關系

調(diào)研5已知定義在R上的函數(shù)/Xx)滿足/■(_3)=f(5)=l,f(x)為/"(x)的導函數(shù)，且導函數(shù)y=F'(x)

的圖象如圖所示，則不等式f(x)<l的解集是

A.(_3,0)

C.(0,5)D.(-8,.3)U(5,+8)

【答案】B

【解析】依題意得，當x>0時，f'U)>0,/U)是增函數(shù)；當水0時，f'(x)<0,f(x)是減函數(shù).又/X_3)

=f(5)=l,因此不等式/Xx)。的解集是(_3,5),選B.

運*.B<.%?*曰。.?運.《雄,?二「。運°」冬。??運J。*.???<

☆技巧點撥☆

1.導數(shù)與函數(shù)變化快慢的關系：如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變

化得快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

2.導函數(shù)為正的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，導函數(shù)為負的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間，導函數(shù)圖象與x軸的交點的橫

坐標為函數(shù)的極值點.

運1%??。運°.?醒J。<.??@?，域運。.?嵋°.?運「。霜/融

題組四生活中的優(yōu)化問題和導數(shù)與方程、不等式等的綜合問題

調(diào)研6已知f(x)=lnx-x+a+l.

(1)若存在xd(O,+00),使得/'(x)20成立，求a的取值范圍;

(2)求證：在(1)的條件下，當x>l時，,f+ax_a>xlnx+'成立.

22

【答案】(1)[0,+8)；(2)見解析.

【解析】(1)原題即為存在x〉0,使得lnx_x+a+l20成立，

a》-lnx+x-l,

1Y—1

令g(x)=_lnx+x_l,則,(x)=_一+1=------.

XX

令g'(x)=0,解得x=l.

??,當0。<1時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，當x>l時，gfU)>0,g(x)為增函數(shù)，

?1g(x)0?iu=g(l)=0,d2g(l)=0.

故a的取值范圍是[0,+°°).

(2)原不等式可化為1f+ax-xlnx-a.L〉0(才>1,a20).

22

令G(x)=—/+ax^x\x\x-a-—,則61(1)=0.

22

由(1)可知x_lnx_l>0,則C'(x)=x+a>lnx_l2x_lnx_l〉0,

.??G(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

???G(x)>G(l)=0成立，

/.—x+ax-xYx\x-a^—>0成立，HP-/+ax-a>x\.x\x+—成立.

2222

【思路分析】(1)原題即為存在x>0,使得a2」nx+x_l成立，即該不等式有解，求函數(shù)g(x)=」nx+x」

的單調(diào)性和最小值即可；

(2)原不等式轉(zhuǎn)化為6(x)=Lx2+ax_xlnx_a_L>0,研究這個函數(shù)的單調(diào)性，求得這個函數(shù)的最值大于0

22

即可.

調(diào)研7將2張邊長均為1分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影部分.

(1)在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長及底面

半徑；

(2)在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個長方體的表面，求長方體體積的最大值.

甲p

【答案】（1）底面半徑為5及一2分米,母線長為20及一8分米;（2）且立方分米.

232336

【解析】（1）設圓錐的母線長及底面半徑分別為/,r,

5V2-2

1C,Cr--------，

義2兀/=2兀廠,23

則《4解得7-

,20V2-8

/+r+V2r=,I---------

23

（2）設被完全覆蓋的長方體底面邊長為尤，寬為y,高為z,

Z

z=1—X,

x+Z-1,

則V2y+2z=l解得1

V=X—.

2

則長方體的體積：

〃(1U\33,111

V-xyz=x\%--l(1-x)=-x+2X-—<%<1.

所以十（同=一3爐+3%-；.令V'（x）=O,得x=g+或也

也（舍去）.

26

列表:

X1昱

二6G嚕|)

嗔X)+0—

0(x)極大值

所以，當x=1+且時，Vmax=—.

2636

【思路分析】(1)設圓錐母線長為/,圓錐底面圓半徑為r,貝ij有/+r+夜r=0,1x2兀/=2〃，從而

4

可解得/,r.

Z=l-X,

1所以長方體的體積

y=x--

{2

V=XyZ=x(X--\\-X)=-X3+-X2--X,L<X<1.利用導數(shù)可求得其最大值.

L2)222

運?二運.?<°<.?意??源運??:嗨..。運°一篇。??痣?。雄.???*.<

☆技巧點撥☆

1.利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：

(1)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最

值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，/(無)2。恒成立，只需/(x)minNa即可；恒成立，只需

/(?max"即可.

(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，

然后構建不等式求解.

2.生活中的優(yōu)化問題

(1)實際生活中利潤最大，容積、面積最大，流量、速度最大等問題都需要利用導數(shù)來求解相應函數(shù)的

最大值.若在定義域內(nèi)只有一個極值點，且在極值點附近左增右減，則此時唯一的極大值就是最大值.

(2)實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等問題都需要利用導數(shù)求解相應函數(shù)的最

小值.用料最省、費用最低問題出現(xiàn)的形式多與幾何體有關，解題時根據(jù)題意明確哪一項指標最省(往往

要從幾何體的面積、體積入手)，將這一指標表示為自變量”的函數(shù)，利用導數(shù)或其他方法求出最值，

但一定要注意自變量的取值范圍.

3.利用導數(shù)研究函數(shù)綜合問題的一般步驟：

(1)確定函數(shù)的定義域，審清題意，確定解題方向，明確出發(fā)點.

(2)進行合理轉(zhuǎn)化，構造函數(shù)關系，進行求導.

(3)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值或最值，有參數(shù)時進行分類討論.

(4)利用極值或最值，判斷函數(shù)的零點，得出正確結論.

(5)反思回顧，查看關鍵點、易錯點及解題過程的規(guī)范性.

運??。運<0.*S.o<.???J。運。.?嵋°??運霜/融?,,<

1.(江西省重點中學盟校2018屆高三第一次聯(lián)考)函數(shù)y=V的圖象在原點處的切線方程為

A.y=xB.x=Q

C.y=0D.不存在

【答案】C

【解析】函數(shù)y=V的導數(shù)為y'=3x2,在原點處的切線斜率為0,則在原點處的切線方程為

y—0=0(*-0),即為y=0,故選C.

2.(齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點中學2018屆高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)

/(x)=/(l)x2+2x4-2/(1),則尸⑵的值為

A.-2B.0

C.-4D.-6

【答案】I)

【解析】由題意/(1)=/'。)+2+2/(1),化簡得

而/'(%)=2/(1)%+2,所以/(1)=2/'(1)+2,得/。)=—2,故/(1)=0,

所以/(%)=-2f+2x,二/(x)=-4x+2,所以/'(2)=-6,故選D.

3.(河南省溪河市高級中學2018屆高三上學期第三次模擬考試(期中))正項等比數(shù)列｛4“｝中的4,%034是

函數(shù)/(X)一根￡的極值點，則山。2018的值為

A.1B.—1

C.0D.與機的值有關

【答案】C

z22

【解析】/(x)=x-2mx+\,JJiiJa2-a4034=1,/.a2018=a2-am4=1,a2018=1,

/.lna20lg=Ini=0,故選C.

4.(廣州市2018屆高三上學期第一次調(diào)研測試)已知直線>=履-2與曲線y=xlar相切，則實數(shù)左的值

為

A.In2B.1

C.l-ln2D.1+ln2

【答案】D

【解析】由y=玨吠得y'=Lx+l,設切點為,則上=1叫)+1,<t>

jo=%In%

2

二/一2=J.k—lii^H—>對比k=+二％=2,二無=ln2+l>故選D.

5.(河南省林州市第一中學2018屆高三12月調(diào)研考試)設曲線/(x)=，和2+icosx(〃好R)上任一點

(x,y)處的切線斜率為g(x),則函數(shù)y=%2g(x)的部分圖象可以為

【解析】由函數(shù)的解析式可得了'(x)=-后7+1sinx(7nGR),

則y=x2g(x)=-yjm1+lx2sinx^meR)，該函數(shù)為奇函數(shù)，選項B、C錯誤;

又當工=兀時，y=0,當％時，y<0,選項A錯誤;

本題選擇D選項.

【名師點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：

(D從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

6.(廣西貴港市2018屆高三上學期12月聯(lián)考)若函數(shù)/(力=區(qū)-21nr在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，則k的

取值范圍是

A.(—℃>,—2]B.(—oo,—l]

C.[1,+?>)D.[2,+8)

【答案】D

【解析】因為〃x)=a-21nx,所以/'(x)=k——，

x

因為〃%)在區(qū)間&網(wǎng))上單調(diào)遞熠，所以在區(qū)間(L上/(力=無-**。恒成立，即比之￡恒成

xx

7

立，當時，0<—<2,所以上之2,故選D.

x

7.(河南省豫南豫北2018屆高三第二次聯(lián)考聯(lián)評試卷)若關于x的方程a(lnx+x)-=0有唯一的實

數(shù)解，則正數(shù)。=

A.1B,1

23

C.1D,1

49

【答案】A

1

【解析】方法一：驗證法.當。=5時，可得函數(shù)y=0與函數(shù)),二1舊在工=1處的切線是相同的.

故選A.

方法二：因為〃>0,由a(lnr+x)—=o得g+i=J_x.設=—+19,

2x2ax2a

由題意得當且僅當函數(shù)/(無)和g(x)的圖象相切時滿足題意，設切點為(%,%),

1Jo

2axQ

則，解得a=L選A.

/2

1_1-Inx0

2

2ax0

【名師點睛】本題考查方程解的情況，解題中將方程有唯一實數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一公共

點的問題，通過合理的構造函數(shù)，經(jīng)分析得到當兩圖象在某點處相切時滿足條件，故可用導數(shù)的幾何意

義求解，在設出切點的前提下，構造出關于參數(shù)的方程組使得問題得以解決.

8.(四川省成都市龍泉第二中學2018屆高三高考模擬考試)已知函數(shù)畫1的定義域為R"-2)=2021|,

對仟意卜€(wěn)(-8,+81.都有應三成立，則不等式f(x)>x2+2017的解集為

A.1(-2,+8)|B.1(-2,可

C.1(_8,_2)D.1(-8,+海

【答案】c

【解析】令函數(shù)F(X)=/(X)-X2-2017,則尸CO=r(x)-2x<0,則函數(shù)尸(%)是單調(diào)遞減函數(shù),

且滿足產(chǎn)(-2)=/(-2)-4-2017=0,故不等式〃力>/+2017可化為F(x)>尸(-2),即原不等式

〃力>￡+2017的解集為國-2},應選C.

【名師點睛】本題求解時，充分運用題設條件中的有效信息，巧妙構造函數(shù)斤(%)=/(工)-尤2-2。17,

借助導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系先斷定函數(shù)的單調(diào)性，再將原不等式進行等價轉(zhuǎn)化，依據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性建立不等式，通過解不等式使得問題巧妙獲解.

9.(安徽省蒙城縣第一中學、淮南第一中學等2018屆高三上學期“五校”聯(lián)考)已知定義在(0,；)匕的函

數(shù)/(力,/(力是它的導函數(shù),恒有"x)cosx+/'(x)sin_r>0成立,則

B.

必出"0

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設g(x)=/(x)sinx(O<x<q),則，(x)=/(x)sinx+/(x)8sx,

X-

又由當?！从取垂r,恒有〃%)8Sx+/a)sinx>0成立,貝=/'(%)sinx+/(x)8sx>。,

2

則函數(shù)g(x)在(og)上為熠函數(shù)，

又因為1吟，所以g⑴)/閆,即/⑴sinl>噌>琮=()x；,即/⑴

故選B.

【名師點睛】本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用問題，其中解答中涉及導數(shù)的公式的逆用，利用

導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小等知識點的運用，試題有一定的綜合性，

屬于中檔試題，解答時根據(jù)題意構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關鍵.

Y1

10.(四川省成都市第七中學2018屆高三上學期一診)已知函數(shù)〃x)=ln]+3g(x)=ei,若

g(m)=/(")成立，則〃一〃?的最小值為

A.l-ln2B.In2

C.2^/e-3D.e--3

【答案】B

IJ1

【解析】不妨設g(〃[)=/(〃)=/,?,.e""2=ln—+—=r(r>0),

」si

/.m-2=Inr,m=2+Inr,n=2-e，、故〃一加=2e2-lnr-2(r>0),

」,1

令從t)=2.e2-lnr-2(r>0),則1(，)=2?e2--,

易知〃'⑺在(0,+8)上是增函數(shù)，且〃'(j=0,當時，〃'⑺>0,當0</<g時，//(r)<0,

即當f時，取得極小值同時也是最小值，此時61；)=2七寸5-2—ln；=2—2+ln2=ln2,

即〃一根的最小值為ln2,故選B.

11.(江西省南昌市2018屆高三第一輪復習訓練題)若曲線〃x)=lnx--+人在點處切線

TT

的傾斜角為，則。等于________.

4

【答案】1

【解析】由/（力=3_皿2+B,得/（x）=』_2?x,所以/（；）=2_a=tan：=l=a=l.故答

案為1-

12.(2017-2018學年度第一學期江蘇省南通如皋市高三年級第一次聯(lián)考)已知函數(shù)

/(月=；/+(。+4b一2111V在區(qū)間(1,2)上存在最值，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(一9,一5)

93x~4-f4-41x—2

【解析】???/'(x)=3x+(a+4)—：=-----笠」——，，題中問題等價于/'(1>/'(2)<0,即

(a+5)(a+9)<0,解得一9<“<一5,故答案為(—9,—5).

13.(廣東省五校(陽春一中、肇慶一中、真光中學、深圳高級中學、深圳二高)2018屆高三12月聯(lián)考)

已知函數(shù)/(x)=ax2-ev(AGR).

(1)若曲線y=/(x)在x=l處的切線與y軸垂直，求^=/'(X)的最大值；

(2)若對任意0W玉</，都有〃無2)+%2(2—21112)</&)+龍|(2-21112),求a的取值范圍.

【答案】(1)0；(2)

【解析】(1)由_f(x)=2ax—e',得/'(l)=2a—e=0,即a=；,

令g(x)=/'(x)=ex—e*,則g'(x)=e-e*,可知函數(shù)g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增,在(1,+?°)上單

調(diào)遞減，

所以ra)2=/()=o-

(2)由題可知函數(shù)〃(x)=/(x)+x(2-21n2)=ax2+x(2-21n2)-e*在［0,+8)上單調(diào)遞減，

從而〃'(x)=2ar+(2—21n2)—e，W0在［0,+8)上恒成立，

令尸(x)=2ar+(2-21n2)-e%xN0),則尸'(尤)=2a—e*,

當時，F(xiàn)'(x)<0,所以函數(shù)尸(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，則尸(x)心=F(0)=l—21n2<0；

當時，令/'(x)=2〃-e'=0,得x=ln2a,

所以函數(shù)尸(X)在［o.ln勿)上單調(diào)遞增，在［ID也)上單調(diào)遞減，

貝ij斤(%)11al=F(ln2<3)=2oln2<34-2—21D2—2?<0,S［12aln2a-2a<2ln2-2,

通過求函數(shù)y=Ynx-x的導數(shù)可知它在［L+0。)上單調(diào)遞增，故;<。w1.

綜上，a<l,即。的取值范圍是(ro』.

【思路分析】(1)由曲線y=/(x)在％=1處的切線與y軸垂直，可得/'(l)=2a—e=0,即a=；,

再求出/'(X)的導函數(shù)g'(x)=e-e'可得廣(x)的單調(diào)性，從而可得f”)1rax=/⑴=0.

(2)易知〃%)+/(2_2上2)</(石)+石(2_21112)等價于函數(shù)人(%)=/(%)+%(2—21112)=

0￥2+%(2-21112)-2在［0,2)上單調(diào)遞減,即〃'(同=26+(2—21112)-6飛0在［0,+8)上恒成

立，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出l(x)的最大值即可得結果.

【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線斜率及研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.應用導數(shù)的幾何意

義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)已知切點A(x0,/(xo))求斜率左，即求該點處的導數(shù)攵=/'(%)；

(2)已知斜率左求切點參數(shù)，即解方程了'(玉)=%；

(3)已知切線過某點M(x15/(xj)(不是切點)求切點，設出切點4(%,/(尤0)),利用

求解.

用一與

14.(陜西省榆林市第二中學2018屆高三上學期第七次模擬考試)已知函數(shù)〃x)=lnx—"fj；).

(1)試討論“X)的單調(diào)性；

2［

(2)若g(x)=回(工)+""+：'_］如2_〃有兩個極值點X］，X2,且西<工2，求證：尢1冗2>。2.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

入，,,/、，、,,/、1a(x+l)—〃(工―1)r+2(1—a)x+l

【解析】(1)函數(shù)/(九)的定義域為(0,+8),f=-——』_一二------一g一，

1(x+1)x(x+l)

令夕（x）=f+2（l-〃）x+l,zl=4（1-（7）2-4,

當/4。時，解得此時刎>)NO在(0,侄)上恒成立，

故可得了'(%)之。在(。.+8)上恒成立，即當。時，〃x)在(。,+8)上單調(diào)遞熠.

當/>。時，解得.<0或a>2,方程f+20-a)x+l=O的兩根為尤;=(°-1)一>/^^和

x'2=(a—1)+-2a,

當a<0時，可知W<0,總<0,此時在9枚)上刎㈤>0,〃力在(。,田)上單調(diào)遞熠；

當。>2時，易知W>0,4>0,此時可得“X)在(0,。一1一斤瓦)上單調(diào)遞增，在

(o—1—Ja?_2仇a-l+^Ja2—2<aj上單調(diào)遞減，在(a—1+^Ja1—2a,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可知，當。=2時，/(%)在(0,+。。)上單調(diào)遞熠；

當a>2時，/(x)在區(qū)間(0,。一1一〃2一2。)和區(qū)間卜_1+，/2—2凡+8)上單調(diào)遞增,在區(qū)間

(a-1-\la~-2a,a-1+Ja?-2a)上單調(diào)遞減.

ax(x-l)11，/、

（2）g（九）=xInx-+-------—mx2-x=x\nx--nix2-x,則g(x)=lnx-