四單變量的描述統(tǒng)計離散趨勢分析和集中趨勢分析演示

（優(yōu)選）四單變量的描述統(tǒng)計離散趨勢分析和集中趨勢分析1現(xiàn)在是1頁\一共有66頁\編輯于星期六知識點：

兩個維度——七個統(tǒng)計量數(shù)現(xiàn)在是2頁\一共有66頁\編輯于星期六學習要求1、集中趨勢各測量法的計算方法；2、集中趨勢各測量法的特點和應用；3、離散程度各測量法的計算方法；4、離散程度各測量法的特點與應用；

現(xiàn)在是3頁\一共有66頁\編輯于星期六單變量描述統(tǒng)計在統(tǒng)計分析中，是否可以找出一個有代表性的數(shù)值來說明變量的分布，反映資料的集中或差異情況？集中趨勢測量，就是以一個數(shù)值來代表變量的資料分布，反映的是變量值向中心值聚集的程度，也就是說以這一個數(shù)值（或稱典型值）來估計或預測每一個研究對象的數(shù)值時發(fā)生的錯誤總數(shù)在理論上是最小的。離散趨勢測量（Measuresofdispersion）就是用一個值表示數(shù)據(jù)之間的差異情況。離散趨勢測量法和集中趨勢測量法具有互補作用。在進行統(tǒng)計分析時，既要測量變量的集中趨勢，也要測量離散趨勢。

現(xiàn)在是4頁\一共有66頁\編輯于星期六集中趨勢測量/分析集中趨勢測量：用某一個典型的變量值或特征值來代表全體變量的問題，這個典型的變量值或特征值就稱作集中值或集中趨勢?！锉娭担∕ode)——定類層次★中位值（Median)——定序?qū)哟巍锞担∕ean)——定距層次現(xiàn)在是5頁\一共有66頁\編輯于星期六一、眾數(shù)（mode）1、出現(xiàn)頻次最多的變量值；2、眾數(shù)的不唯一性；3、主要應用于定類變量，當然也可以應用于定序和定距變量現(xiàn)在是6頁\一共有66頁\編輯于星期六

眾數(shù)的特點：不唯一性原始數(shù)據(jù)：4、5、7、8、19（無眾值）原始數(shù)據(jù)：4、5、7、5、5、16（一個眾值）原始數(shù)據(jù)：4、4、5、7、7、9（兩個眾值）現(xiàn)在是7頁\一共有66頁\編輯于星期六例1：非連續(xù)取值現(xiàn)在是8頁\一共有66頁\編輯于星期六例2分組數(shù)據(jù)收入(元)fCf↑Cf↓500-6991010550700-8996575540900-10991262114751100-12991583693391300-14991415101811500-16994055040總數(shù)550現(xiàn)在是9頁\一共有66頁\編輯于星期六從分布來看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢點的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點所對應的數(shù)值及為眾數(shù)?，F(xiàn)在是10頁\一共有66頁\編輯于星期六二、中位值（Median）1、把一組數(shù)據(jù)按順序排列，處于中間位置的那個數(shù)值就是中位值。2、主要應用于定序變量，也可用于定距變量，但不可用于定類變量。50%50%Md現(xiàn)在是11頁\一共有66頁\編輯于星期六（1）未分組數(shù)據(jù)求中位數(shù)：Md位置=

（2）中位數(shù)=中間位置的值注意：先找位置，再找中位數(shù)將各個個案由低至高排列起來，居序列中央位置的個案值就是中位值?，F(xiàn)在是12頁\一共有66頁\編輯于星期六（1）、個案數(shù)為奇數(shù)【例1】：甲地的5戶人家的人數(shù)為：2，4，3，6，8，求中位值。

解：Md的位置＝＝＝3排序2，3，4，6，8中位值Md=4現(xiàn)在是13頁\一共有66頁\編輯于星期六（2）個案數(shù)為偶數(shù)【例2】：乙地的6戶人家的人數(shù)為：2，4，3，6，8，5求中位值。解：Md的位置＝＝＝3.5排序2，3，4，5,6，8Md==4.5現(xiàn)在是14頁\一共有66頁\編輯于星期六（3）頻數(shù)分布表【例3】根據(jù)下表求中位值。解：Md位置＝＝

＝250.5中位值Md＝乙現(xiàn)在是15頁\一共有66頁\編輯于星期六2、分組數(shù)據(jù)根據(jù)統(tǒng)計表中的累積百分比，找出含有50%的區(qū)間找出含有50%區(qū)間的上界值U，下界值L，上界累計百分數(shù)U%，下界累計百分數(shù)L%以及組距等信息根據(jù)線段對應成比例的原理，計算出累計百分比為50%的變量值現(xiàn)在是16頁\一共有66頁\編輯于星期六L：中位數(shù)組的下限f：中位數(shù)組的頻數(shù)w：中位數(shù)組的組距（U-L）cf：低于中位數(shù)組下限的累加次數(shù)n：全部個案數(shù)Md位置=n/2（上下各50%的位置）現(xiàn)在是17頁\一共有66頁\編輯于星期六例：分組數(shù)據(jù)：首先將各組的次數(shù)累加起來求中位數(shù)的位置：Md位置=n/2=212/2=106第106個位置在25-35之間現(xiàn)在是18頁\一共有66頁\編輯于星期六分組變量看作是一組連續(xù)的數(shù)值259435124?106103012現(xiàn)在是19頁\一共有66頁\編輯于星期六【例4】：根據(jù)下表數(shù)據(jù)求中位值。解：Md位置＝50；從累積頻數(shù)cf欄找到中位數(shù)位置所在組為“300－400”引入公式：=350現(xiàn)在是20頁\一共有66頁\編輯于星期六三、均值1、均值的定義：總體各單位取值之和除以總體單位數(shù)目。2、僅適用于定距變量，不適用于定類和定序；現(xiàn)在是21頁\一共有66頁\編輯于星期六1、未分組數(shù)據(jù)

（1）簡單原始資料求均值現(xiàn)在是22頁\一共有66頁\編輯于星期六均值的計算——未分組數(shù)據(jù)【例5】某班10名學生年齡分別為20、21、19、19、20、20、21、22、18、20歲，求他們的平均年齡。解：根據(jù)平均數(shù)的計算公式有：現(xiàn)在是23頁\一共有66頁\編輯于星期六（2）、加權(quán)平均數(shù)某個變項值重復出現(xiàn)多次，可以先統(tǒng)計每個值（x）的次數(shù)（f），再求次數(shù)與相應變量值的乘積（fx），利用各乘積之和求出均值。（f也稱為權(quán)數(shù),f/n稱為權(quán)重）公式：現(xiàn)在是24頁\一共有66頁\編輯于星期六未分組數(shù)據(jù)加權(quán)平均數(shù)【例6】調(diào)查某年120名學生的年齡，結(jié)果如下表，求平均年齡。解：根據(jù)公式得＝18.9歲現(xiàn)在是25頁\一共有66頁\編輯于星期六2、分組資料求均值：根據(jù)組中值求均值先求出組中值組中值=（上限+下限）/2計算組中值的和計算分組數(shù)據(jù)的均值組中值現(xiàn)在是26頁\一共有66頁\編輯于星期六眾值、中位數(shù)和均值的比較1注：▲表示該數(shù)據(jù)類型最適合用的測度值現(xiàn)在是27頁\一共有66頁\編輯于星期六眾數(shù)、中位數(shù)和平均值的比較眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。但在社會調(diào)查中眾數(shù)的代表性較小現(xiàn)在是28頁\一共有66頁\編輯于星期六中位數(shù)和平均數(shù)的比較計算平均數(shù)時用到數(shù)據(jù)中所有的數(shù)值，而求中位數(shù)時只用到數(shù)值的相對位置，平均數(shù)比中位數(shù)利用了更多的有關數(shù)據(jù)的信息平均數(shù)容易受到極端值的影響，而中位數(shù)則不會受這種影響。當樣本中數(shù)據(jù)值的分布是高度傾斜的，中位數(shù)一般比平均數(shù)更適合一些如100，200，400，500，600，均值為360，中位數(shù)為400100，200，400，500，1000，均值為440，中位數(shù)為400現(xiàn)在是29頁\一共有66頁\編輯于星期六對隨機抽樣調(diào)查來說，平均數(shù)比中位數(shù)更穩(wěn)定，它隨樣本的變化比較小平均數(shù)比中位數(shù)更容易進行算術(shù)運算?，F(xiàn)在是30頁\一共有66頁\編輯于星期六眾數(shù)、中位數(shù)、均值比較2但兩種情況不宜用均值：(1)分組數(shù)據(jù)的極端組沒有組限。(2)個別數(shù)值非常特殊。現(xiàn)在是31頁\一共有66頁\編輯于星期六現(xiàn)在是32頁\一共有66頁\編輯于星期六練習：

求下表(單項數(shù)列)所示數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。人口數(shù)（X）戶數(shù)(f)頻率(P)23456785816106410.100.160.320.200.120.080.02合計501.00現(xiàn)在是33頁\一共有66頁\編輯于星期六求下表所示數(shù)據(jù)的的算術(shù)平均數(shù)間距頻數(shù)（f）組中值（X)148―152152―156156―160160―164164―168168―172172―176176―180180―184184―188188―192192―19612510192517125301150154158162166170174178182186190194合計100——現(xiàn)在是34頁\一共有66頁\編輯于星期六求54，65，78，66，43這些數(shù)字的中位數(shù)。求54，65，78，66，43，38這些數(shù)字的中位數(shù)?，F(xiàn)在是35頁\一共有66頁\編輯于星期六某年級學生身高如下，求中位數(shù)現(xiàn)在是36頁\一共有66頁\編輯于星期六人口數(shù)（X）戶數(shù)(f)頻率(P)23456785816106410.100.160.320.200.120.080.02合計501.00求下表中的眾數(shù)現(xiàn)在是37頁\一共有66頁\編輯于星期六求下表中的眾數(shù)現(xiàn)在是38頁\一共有66頁\編輯于星期六

城鎮(zhèn)自殺率的分組次數(shù)分布自殺率次數(shù)真實組限組中值向上累積次數(shù)3-5126-8359-118112-145215-173018-20721-23924-263合計229現(xiàn)在是39頁\一共有66頁\編輯于星期六第五講單變量的描述統(tǒng)計（2）

離散趨勢測量40現(xiàn)在是40頁\一共有66頁\編輯于星期六離散趨勢測量（Measuresofdispersion）反映的是各變量值偏離其中心值的程度，是個案與個案之間的差異情況。這種測量法，與前面所講的集中趨勢測量法具有相互補充的作用。集中趨勢求出的是一個最能代表變量所有資料的值，但是集中趨勢值代表性的高低還要看各個個案之間的差異情況?，F(xiàn)在是41頁\一共有66頁\編輯于星期六舉例：某校3個系各選5名同學參加智力競賽，他們的成績?nèi)缦拢褐形南担?8，79，80，81，82

（＝80）數(shù)學系：65，72，80，88，95（＝80）英語系：35，78，89，98，100（＝80）如果僅從集中趨勢測量（平均分數(shù)）來看，這三個系的成績都一致，不存在什么差別。但從直觀上可看出，三個系選手之間的差距程度（離散程度）很不一樣……？？？現(xiàn)在是42頁\一共有66頁\編輯于星期六

異眾比率/離異比率（Variationratio)——定類層次四分位差（Interquartilerange)——定序?qū)哟畏讲睿╒ariance)標準差（Standarddeviation)——定距層次現(xiàn)在是43頁\一共有66頁\編輯于星期六一、異眾比率（Variationratio)1、異眾比率(簡寫Vr)：指非眾值在總數(shù)中所占的比率。表示以眾數(shù)來預測一組數(shù)據(jù)時，所犯錯誤的大小.即Vr值越大,則眾值的代表性就越小.Vr值越小,則眾值的代表性就越大.2、計算公式：：眾值的頻次現(xiàn)在是44頁\一共有66頁\編輯于星期六異眾比率(先找出眾值.找到眾值的頻次分布)【例1】：根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，計算眾值和異眾比率。解：眾值Mo＝“核心家庭”異眾比率現(xiàn)在是45頁\一共有66頁\編輯于星期六例2：眾數(shù)和異眾比率的比較表2甲乙兩校學生的父親職業(yè)甲乙兩校學生的父親職業(yè)的眾數(shù)都為“農(nóng)民”甲校乙校眾數(shù)的代表性中甲校小于乙校，甲校中有47.6%非農(nóng)民，乙校只有38.5%.現(xiàn)在是46頁\一共有66頁\編輯于星期六異眾比率&眾值異眾比率是眾值的補充。取值范圍是[0，1]。不屬于眾數(shù)的個案所占的比例愈大，就表示眾數(shù)的代表性愈小，以之作估計或預測時所犯的錯誤也就愈大。當Vr＝0，說明變量只有一個值，那就是眾值；當Vr0，說明資料比較集中，眾值的代表性比較高；當Vr1，說明資料比較分散，眾值的代表性低?，F(xiàn)在是47頁\一共有66頁\編輯于星期六二、四分位差（Interquartilerange)

將數(shù)據(jù)由低至高排列，然后分為四等分（即每個等分包括25％的數(shù)據(jù)），第一個四分位置的值（Q1）與第三個四分位置的值（Q3）的差異，就是四分位差（簡寫為Q）。Q1Q2Q3Q425%25%25%25%現(xiàn)在是48頁\一共有66頁\編輯于星期六1.離散程度的測度值之一2.也稱為內(nèi)距或四分間距3.上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差4.反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度5.不受極端值的影響6.用于衡量中位數(shù)的代表性現(xiàn)在是49頁\一共有66頁\編輯于星期六基本公式求位置，找出4分位對應的數(shù)值Q1=Q3=四分位差Q＝Q3－Q1。現(xiàn)在是50頁\一共有66頁\編輯于星期六1、根據(jù)原始未分組資料求四分位差解：

Q1的位置＝=75.25Q3的位置＝＝225.75那么Q1＝不滿意；Q3＝一般Q＝Q3－Q1＝一般－不滿意結(jié)論，有一半的家庭對住房評價在不滿意到一般之間。表甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410894443024132226270300合計300—【例3】求下表的四分位差現(xiàn)在是51頁\一共有66頁\編輯于星期六例4：調(diào)查甲乙兩村的家庭人數(shù)其中甲村有11戶人家，每戶人數(shù)為2，2，3，4，6，9，10，10，11，13，15乙村有8戶人家，每戶人口數(shù)為2，3，4，7，9，10，12，12則甲村中：Q1位置=（n+1）/4=（11+1)/4=3，Q1=3Q3位置=3（n+1)/4=9，Q3=11

Q=Q3-Q1=11-3=8則乙村中：Q1位置=（n+1）/4=2.25，Q1=3+0.25(4-3)=3.25Q3位置=3（n+1)/4=6.75，Q3=10+0.75(12-10)=11.5

Q=Q3-Q1=11.5-3.25=8.25甲的離散程度低于乙村，以中位置估計甲乙兩村的人口數(shù)時，在甲村犯的錯誤小于乙村現(xiàn)在是52頁\一共有66頁\編輯于星期六2、根據(jù)分組資料求四分位差有四步：計算向上累加次數(shù)求出Q1和Q3的位置

Q1=Q3=參考累加次數(shù)分布，決定Q1和Q3屬于哪一組從所屬組中，計算Q1位置和Q3位置的數(shù)值?，F(xiàn)在是53頁\一共有66頁\編輯于星期六公式如下：L1=Q1屬組之真實下限L3=Q3屬組之真實下限f1=Q1屬組之次數(shù)f3=Q3屬組之次數(shù)cf1=低于Q1屬組之累計次數(shù)cf3=低于Q3屬組之累計次數(shù)w1=Q1屬組之組距w3=Q3屬組之組距n=全部個案數(shù)目現(xiàn)在是54頁\一共有66頁\編輯于星期六四分位差&中位數(shù)四分位差反映的是中位數(shù)的代表性差距越大，中位數(shù)的代表性越小，用中位數(shù)估計變量時所犯的錯誤越大；反之，中位數(shù)的代表性越大，用中位數(shù)作估計犯的錯誤越小?，F(xiàn)在是55頁\一共有66頁\編輯于星期六三、方差和標準差1. 離散程度的測度值之一2. 最常用的測度值3. 反映了數(shù)據(jù)的分布4.反映了各變量值與均值的平均差異5.根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱為總體方差或標準差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標準差4681012X=8.3現(xiàn)在是56頁\一共有66頁\編輯于星期六三、方差與標準差所謂方差（Variance)，觀察值與其均值之差的平方和除以全部觀察總數(shù)N。方差的平方根就是標準差（Standarddeviation)，用或S現(xiàn)在是57頁\一共有66頁\編輯于星期六表示以均值作代表值時引起的偏差或錯誤，也就是說用均值來估計或預測各個個案的數(shù)值，所犯的錯誤（）平均是σ標準差是用得最多，也是最重要的離散量數(shù)的統(tǒng)計量；方差是統(tǒng)計學上的一個重要概念，在以后的統(tǒng)計方法學習過程中會進一步了解；只適用于定距層次的變量；現(xiàn)在是58頁\一共有66頁\編輯于星期六總體方差和標準差未分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：方差的計算公式標準差的計算公式現(xiàn)在是59頁\一共有66頁\編輯于星期六樣本方差和標準差

分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：方差的計算公式標準差的計算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!未分組數(shù)據(jù)現(xiàn)在是60頁\一共有66頁\編輯于星期六樣本方差的

自由度(degreeoffreedom)一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為

n時，若樣本均值x

確定后，只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x=5。當