第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)

第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)1第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

例1

證明函數(shù)y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。

證

在x0處，函數(shù)的改變量為所以y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。2、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價(jià)形式。第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例2證第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定理3.單側(cè)連續(xù)第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3解即不右連續(xù)也不左連續(xù),x

y-11O第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例4解第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日二、連續(xù)函數(shù)第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例5證第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和初等函數(shù)的連續(xù)性定理1例如,1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2、反函數(shù)的連續(xù)性第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定理33、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日4、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★★均在其定義域內(nèi)連續(xù).第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.也就是說(shuō)，對(duì)初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，連續(xù)區(qū)間即為其定義域。第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

利用函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算一些極限.

初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例6例7解解第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例8解極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例9解類似可得第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例10解前面已證第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日常用等價(jià)無(wú)窮小:第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日等價(jià)代換原理：證只有在乘、除的極限運(yùn)算中才能替換；注意在加、減的極限運(yùn)算中不能替換！第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例11解第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例12解解錯(cuò)第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例13解第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例14解例15解第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且能取得最大值和最小值.1、有界性與最大值最小值定理四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)記作第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2、介值定理與零點(diǎn)定理推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日幾何解釋:MBCAmab第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日幾何解釋:定義第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例16證由零點(diǎn)定理,第三十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8