角動量守恒剛體力學

角動量守恒剛體力學第一頁，共八十六頁，2022年，8月28日§4－1角動量定理與角動量守恒1、質點對一參考點的角動量O定義：動量為的質點，相對某一參考點O的角動量（動量矩）為大?。悍较颍簼M足右手螺旋法則。一、質點的角動量定理與角動量守恒第二頁，共八十六頁，2022年，8月28日2、力對一參考點的力矩O定義：力F相對某一參考點O的力矩為：大?。悍较颍簼M足右手螺旋法則。若質點同時受多個力作用，則對一參考點的力矩矢量和等于合力對該點的力矩：第三頁，共八十六頁，2022年，8月28日3、質點對參考點的角動量定理、角動量守恒定律質點所受的合外力對某一參考點的力矩等于質點對該點的角動量對時間的變化率—角動量定理。第四頁，共八十六頁，2022年，8月28日角動量守恒定律是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。力矩M=0的條件：（1）力臂r=0

（有心力作用），（2）力F=0，（3）r與F相互平行。若質點所受的合外力矩如果對于某一固定點，質點所受的合外力矩為零，則質點對該固定點的角動量矢量保持不變—角動量守恒定律。第五頁，共八十六頁，2022年，8月28日例1、質點運動時，位矢r在單位時間內掃過的面積稱為掠面速度。試證明：作勻速直線運動的質點，其掠面速度為常數。解：質點作勻速直線運動，受合外力F＝0，因而對原點O的力矩＝0，對O點的角動量守恒。角動量大小因而掠面速度：第六頁，共八十六頁，2022年，8月28日例2、行星運動的開普勒第二運動定律：行星對太陽的位矢在相等的時間內掃過相等的面積。解：行星在太陽引力（有心力）作用下沿橢圓軌道運動，因而行星在運行過程中，它對太陽的角動量守恒因而掠面速度：第七頁，共八十六頁，2022年，8月28日rm2m1OR例3、發(fā)射一宇宙飛船去考察一質量為m1，半徑為R的行星。當飛船靜止于空間中距行星中心r=4R時，以初速v0發(fā)射一質量為m2(m2遠小于飛船質量)的探測器，要使探測器正好能掠著行星表面著陸，角應多大？解：探測器飛行過程中只受到行星的引力，因而對O點的角動量守恒：又由機械能守恒：代入r=4R，求出第八頁，共八十六頁，2022年，8月28日4、質點對軸的角動量定理、角動量守恒定律Z動量為的質點對Z軸的角動量：為質點動量在與Z軸相垂直的平面上的分量，也在該平面上。Z同樣，力對Z軸的力矩：為力在垂直于Z軸平面上的分量第九頁，共八十六頁，2022年，8月28日質點對軸的角動量定理為：力對Z軸的力矩等于質點對Z軸的角動量隨時間的變化率。也可認為是質點對Z軸上任一點O的角動量定理在Z軸上的投影。當MZ=0時，LZ=常量—質點對軸的角動量守恒。第十頁，共八十六頁，2022年，8月28日解：小球運動過程中受重力和繩中張力的作用。張力不作功機械能守恒：mg例4、一小球用擺長為L的輕繩系于O點，開始時將小球移開使繩與豎直方向成角，并給小球一水平初速度v0使小球繞O點旋轉，若希望在運動過程中，繩與豎直方向的最大瞬時夾角為90°，問v0

應多大？LO重力對豎直軸無力矩，張力過O點也對豎直軸無力矩，因而對豎直軸角動量守恒：求出：第十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、質點系的角動量定理、角動量守恒1、質點系對一參考點的角動量定理與角動量守恒設一質點系中各質點相對參考點O的位矢用(i=1,2,3,…)，各質點的運動速度用(i=1,2,3,…)表示，則質點系對O點的角動量為：質點系中各質點所受外力對O點的力矩和為：第十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日而質點系中內力總是成對出現(xiàn)的，因而對同一參考點而言，內力矩之和總為零。因而質點系對一參考點的角動量定理為：質點系相對參考點O的角動量隨時間的變化率等于所有外力對該點力矩的矢量和。當時，當外力對參考點O的力矩矢量和為零時，質點系對該點的角動量守恒。第十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日2、質點系對軸的角動量定理與角動量守恒考慮質點系中質點都在垂直于Z軸的平面上運動的情形，可得出質點系對軸的角動量定理：質點系對Z軸的角動量隨時間的變化率等于質點系所受一切外力對Z軸的力矩之和。當質點系所受一切外力對Z軸的力矩之和=0時，質點系對Z軸的角動量守恒。第十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日3、角動量守恒定律可以解釋星系的圓盤形結構。觀察表明銀河系及許多星系都呈扁平的圓盤形結構。銀河系最初可能是球形的，由于某種原因（如與其它星系的相互作用）而具有一定的角動量。正是這個角動量的存在，使球形的銀河系不會在引力作用下凝聚（坍縮）成一團，而只能形成具有一定半徑的圓盤形結構。這是因為在凝聚過程中，角動量守恒（r2ω=常量）要求轉速隨r的減小而增大，因而使離心力增大，它往往比引力增大得更快，最終引力會和離心力相互平衡，即角動量守恒限制了星系在垂直于轉軸方向的進一步坍縮。但角動量守恒并不妨礙星系沿轉軸方向的坍縮，因為對這種坍縮，角動量守恒不要求增加轉速。故星系最終坍縮成圓盤狀，在沿軸向坍縮過程中減少的引力勢能將以輻射的形式釋放掉。第十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日三、質點系對質心的角動量定理和守恒定律前述角動量定理和角動量守恒定律都是相對某慣性系的，若參考系是一非慣性系，則還要考慮各質點所受的慣性力的力矩。選系統(tǒng)質心C為參考系，并設質心具有加速度

,質點系相對質心C的角動量為，用表示作用在質點系上各外力對質心C的力矩矢量和，再考慮各質點所受的慣性力矩，有：第十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日因而在質心系中，有：即質心系中的角動量定理和慣性系中的角動量定理有完全相同的形式。這說明質心系的特殊和重要。第十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日§4－2對稱性、對稱性與守恒定律一、自然界中的對稱性對稱是自然界固有的一種屬性。如球體關于球心對稱；圓柱體關于軸對稱；人和動物“左、右”對稱；花、草有對稱性；各種建筑物也“左、右”對稱，等。人們也習慣了“對稱”之美。第十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日我們要給對稱性下一個較嚴格的定義：若對某一幾何形體施行某種操作后會使其狀態(tài)與初態(tài)完全相同，則稱它具有對稱性。常見的對稱性有:平移對稱性：如果一個形體發(fā)生一平移后，它和原來一模一樣，那么該形體具有空間平移對稱性。轉動對稱性:

如果一個形體繞某一固定軸轉動一個角度，它又和原來一模一樣,則稱它具有轉動對稱性。左右對稱又稱鏡象對稱性:人們照鏡子時，鏡中的像與你實際上是不同的，你的像將你的左、右對換了。所以鏡象對稱操作也稱為空間反演變換。第十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、物理定律的對稱性物理學中討論的對稱性要比上述形體上的對稱性有更深的內涵。物理學家認為，若某一事物、某一性質、某一規(guī)律在某種變換之后仍保持不變，就稱其具有對稱性，也稱為在這種變換下的不變性。由于事物在變換后完全復原，因而在變換前、后是不能區(qū)分的，也無法作出辨別性的測量。故物理學中將對稱性、在變換下的不變性、不可區(qū)分性和不可測性四者給予相同的涵義。物理學中也研究幾何對稱性，但更重要的是物理定律的對稱性，即物理定律在某種變換下的不變性。這些變換包括：時間平移、空間平移和轉動、空間鏡像、慣性系坐標變換等。第二十頁，共八十六頁，2022年，8月28日物理定律的時間平移不變性：無論是過去、現(xiàn)在還是將來，物理定律都不會改變。一個實驗只要不改變實驗條件和使用的儀器，不管是昨天、今天還是明天去做，都應得到相同的結果。這一事實表明物理定律具有時間平移的對稱性?；蛘哒f對物理定律而言，時間有均勻性。物理定律的空間平移不變性：物理定律在空間中任何位置上都相同。這一性質稱為物理定律的空間平移對稱性，即對物理定律而言，空間具有均勻性。物理定律的空間轉動不變性:物理定律在空間所有方向上都相同,不管將實驗儀器在空間中如何轉向,只要實驗條件相同,就應得到相同的實驗結果。這一性質稱為物理定律的空間轉動不變性，或者說對物理定律而言，空間為各向同性。第二十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日物理定律的鏡像不變性：著名的物理學家費因曼講過一個例子：若依據一只鐘的鏡像制作出另一只鐘，并將這兩只互為鏡像的鐘的發(fā)條上的一樣緊，則這兩只鐘將以相同的速率走動，它們遵從相同的力學定律。類似地，若制造出兩臺互為鏡像的電動機，這兩臺電動機也應遵從相同的電磁學定律?？梢姡锢矶稍阽R像變換下具有不變性，或者說對物理定律而言，空間是左、右對稱的。物理定律的慣性系變換不變性：按相對性原理，當從一個慣性系變換到另一個慣性系時，物理定律保持不變。這表明對物理定律而言，所有的慣性系是完全對稱的。第二十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日物理定律的對稱性都可用一種否定的形式來表述：人們無法通過任何物理實驗來確定人們所處的時間絕對值、所在的空間絕對位置、空間絕對方向，也不能確定絕對的左和右。在參考系內做任何實驗也無法確定參考系在空間的絕對速度。物理定律的對稱性歸根到底反映了我們所處時空的特性。三、物理定律的對稱性與守恒定律由于物理定律具有某種對稱性，就以相應的方式限制了物理定律，繼而使遵循物理定律的物質體系的運動受到某種制約，這種制約就是物質體系在運動中保持某個物理量為恒量。于是物理定律的一種對稱性就導致一條守恒定律，反之有一條守恒定律也必定有一種對稱性與之相應。第二十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日不可測量性物理定律變換不變性守恒定律時間絕對值時間平移能量空間絕對位置空間平移動量空間絕對方向空間轉動角動量空間左和右空間反演宇稱慣性系等價伽利略變換洛倫茲變換時空絕對性時空四維間隔帶電粒子與中性粒子的相對位置電荷規(guī)范變換電荷重子與其它粒子的相對位置重子規(guī)范變換重子數輕子與其它粒子的相對位置輕子規(guī)范變換輕子數粒子與反粒子電荷共軛電荷宇稱第二十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日例1

空間平移對稱性與動量守恒定律

設由兩個質點組成的封閉系統(tǒng)，二者間只存在保守內力（如引力）的相互作用，如圖所示。將兩個質點沿同一方向平移，二者的相互作用勢能改變：但因空間具有平移對稱性，平移后兩質點的相對位置不變，因而勢能不變，即。因此有：即第二十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日例2、空間旋轉對稱性與角動量守恒設兩質點位于以O點為圓心，R為半徑的圓周上，二者對圓心的連線之間的夾角為θ，讓兩質點在此圓周軌道上沿同一方向轉過的角度dθ，如圖所示。在此過程中系統(tǒng)勢能改變量O，，其中分別是力對O點的力矩。由于空間具有旋轉對稱性，旋轉后兩質點的相對位置不變，因而勢能應不變。即第二十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日四、對稱性的自發(fā)破缺一個原先具有較高對稱性的體系，在沒有受到任何不對稱因素的影響下，突然間對稱性明顯下降的現(xiàn)象稱為對稱性的自發(fā)破缺。當系統(tǒng)中存在或受到破壞對稱性的微攏時，若這種微攏會被不斷地放大，最終就會出現(xiàn)明顯的不對稱，產生對稱性的自發(fā)破缺。設想將一支削得十分均勻的鉛筆筆尖朝下豎立在桌面上，放手后只要有十分微小的一點點攏動，筆就會倒下，筆未倒之前，對豎直軸線具有軸對稱性，倒下后這種對稱性就被打破了，出現(xiàn)對稱性的自發(fā)破缺。目前，人們應用對稱性原理有三個邏輯步驟：⑴假設某個絕對量不可觀測；⑵導出時空的某種對稱性即物理定律在某種變換下的不變性；⑶推出某條守恒定律第二十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日這種對稱性的自發(fā)破缺何時發(fā)生、在何處發(fā)生都具有偶然性。運動的多樣性的一個重要表現(xiàn)，是自然界同時顯現(xiàn)出許多不同類型的對稱性。這些對稱性互相交織在一起，在演化過程中不斷地有對稱性發(fā)生破缺，同時往往又顯現(xiàn)出新的對稱性。對稱是美麗的，但若完全對稱又會顯得單調、平淡而缺乏生機，真正的美正是對稱與不對稱的完美結合，那蜿蜒曲折、此起彼伏而又錯落有致的層層山巒不正是大自然創(chuàng)造出的美景嗎？

對稱性導致守恒而對稱性的自發(fā)破缺則產生變化，二者的有機結合才有了大自然的變化莫測和多彩多姿。第二十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日§4－3剛體運動的描述剛體是一種特殊的質點系統(tǒng)，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內任意兩質點間的距離始終保持不變。形狀、大小都不變的物體稱為剛體。剛體是可以忽略由于受力而引起物體形狀和體積改變的理想模型。第二十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日一、剛體的平動：剛體運動時，剛體上任一條直線的位置始終保持彼此平行，稱為平動。此時，剛體中所有質點的位移、速度和加速度都相同，可任選剛體上一點的運動來代表。即剛體的平動滿足質心運動定理：第三十頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、剛體的定軸轉動：剛體繞一固定直線（轉軸Z）的轉動。z此時軸外各質點都在垂直于轉軸的平面上作圓周運動，在同一時間間隔內，走過的弧長雖不同，但角位移，因而角速度、角加速度都一樣。適合用圓周運動的角量描述：第三十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日三、剛體的定點轉動：剛體繞一固定點O的轉動，稱為定點轉動。實際上，在任一瞬時，剛體上都存在一條軸線（瞬時轉軸Z）各質點都在垂直于瞬時轉軸的平面上作圓周運動。zO與定軸轉動不同的是，此瞬時轉軸的方位，在空間中不斷變化。若能確定出瞬時轉軸的方位（三個方位角，，中的兩個），接下來就與定軸轉動毫無差別了。第三十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日角速度矢量：定義剛體轉動的角速度為矢量。

方向：沿(瞬時)轉軸，與轉動方向成右手螺旋關系。大小：角速度可定義為矢量，是因為角速度合成時符合平行四邊形法則。演示實驗角速度矢量合成第三十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日注意：角速度是矢量，因而無限小的角位移是矢量，但有限大的角位移合成結果與轉動的先后次序有關，不服從交換律，因此它一般不是矢量。演示動畫：轉動的次序影響轉動結果角加速度矢量：因角速度是矢量，所以角加速度也是矢量。對定軸轉動，均沿轉軸方向。第三十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日四、剛體的平面運動：剛體在運動過程中，各質點均在平面內運動，且這些平面均與一固定的平面平行，稱為平面運動。如車輪沿一直線的滾動?？烧J為：平面運動=質心平動+過質心軸的定軸轉動演示:車輪的無滑動滾動第三十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日五、剛體的一般運動：

剛體的一般運動=平動+定點轉動。演示動畫手榴彈的運動第三十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日§4－4

剛體定軸轉動一、剛體定軸轉動的角動量質點mi的動量mi對O點的角動量剛體對O點的角動量：通常角動量與角速度的方向并不一致。演示：剛體對點的角動量第三十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日剛體對定軸Z的角動量LZ定義：剛體對Z軸的轉動慣量I有：第三十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、剛體轉動慣量的計算rdm剛體對某一轉軸的轉動慣量I，是剛體轉動時慣性大小的量度。其地位和作用都有與質點動力學中的質量m相當。常用的計算方法有：積分法：dm為質量元，簡稱質元。r為質元到轉軸的距離。I與質量大小、質量分布、及轉軸位置有關。演示：影響剛體轉動慣量的因素第三十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日常見剛體的轉動慣量第四十頁，共八十六頁，2022年，8月28日例1求質量為m，長為l的均勻細棒對下面轉軸的轉動慣量：(1)轉軸通過棒的中心并和棒垂直；(2)轉軸通過棒的一端并和棒垂直。解：(1)在棒上離軸x處，取一長度元dx，設棒的質量線密度為，則dm=dx，有：（2）當轉軸通過棒的一端A并與棒垂直時：第四十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日例2求質量為m、半徑為R、厚為h的均質圓盤對通過盤心并與盤面垂直的軸的轉動慣量。解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，它的轉動慣量為：積分：注意：I與h無關一個質量為m、半徑為R的實心圓柱體對其中心軸的轉動慣量也與上述結果相同。第四十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日平行軸定理：dICCIDIC、ID分別是剛體對過質心軸，和與之相平行的另一轉軸的轉動慣量。兩轉軸間距為d薄板的正交軸定理：yxzoX,Y軸在薄板面上，Z軸與薄板垂直。第四十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日例3、質量m，長為l的四根均勻細棒，組成一正方形框架，繞過其一頂點O并與框架垂直的軸轉動，求轉動慣量。Om,lC解：由平行軸定理，先求出一根棒對框架質心C的轉動慣量：因而框架對質心C的轉動慣量再次用平行軸定理，得：第四十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日OIR例4、一質量為m，半徑為R的薄圓盤，繞與盤邊相切的軸轉動，求轉動慣量IZXY解：取圖示坐標系，已知由垂直軸定理得又由平行軸定理，有第四十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日三、剛體定軸轉動的角動量定理、轉動定律把剛體看成是質點組，由質點組角動量定理得出剛體定軸轉動的角動量定理：剛體對軸的外力矩總和=剛體對軸的角動量變化率?；蛴脹_量矩寫成：通常，給定的剛體的IZ為常量，得出轉動定律：第四十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日例5一質量為M，半徑為R的定滑輪（當作圓盤）上面繞有細繩。繩的另一端掛一質量為m的物體而下垂忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時的速度和此時滑輪的角速度。對物體m，由牛頓第二定律滑輪和物體的運動學關系為解：對定滑輪M，由轉動定律，對于軸O，有第四十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日物體下落高度h時的速度這時滑輪轉動的角速度以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為第四十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日例6

待測物體裝在轉動架上，細線的一端繞在半徑為R的輪軸上，另一端通過定滑輪懸掛質量為m的物體。測得m自靜止下落高度h的時間為t，求待測剛體對轉軸的轉動慣量。忽略各軸承的摩擦、滑輪質量，已知轉動架的轉動慣量為I0解：對物體m，應用牛頓定律：對待測物體，應用轉動定律：并有關系式：求出：TT第四十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日例7

如圖，以水平力f打擊懸掛在P點的剛體，打擊點為O，若打擊點選擇合適，則打擊過程中軸對剛體的切向力Ft=0，該點稱為打擊中心。求打擊中心到軸的距離rO解：剛體在水平外力f的力矩作用下定軸轉動。由轉動定律，有：剛體質心的切向加速度為αCt=rCβ，沿此方向的運動方程為:當Ft=0時，得對細棒第五十頁，共八十六頁，2022年，8月28日例8

一質量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后棒的角速度ω。已知棒長為l，質量為M解：以f代表棒對子彈的阻力，對于子彈有子彈對棒的反作用力f’對棒的沖量矩為因f=f’，有第五十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日例9

兩個均勻圓柱各自繞自身的軸轉動，兩軸互相平行。圓柱半徑和質量分別為R1,R2,M1,M2.開始時兩柱分別以角速度ω1,ω2同向旋轉。然后緩緩移動它們，使之互相接觸。求兩柱在相互之間摩擦力的作用下所達到的最終角速度ω’1、ω’2.解：最終狀態(tài)是兩柱表面沒有相對滑動，即ω’1、ω’2方向相反，并滿足由于兩柱接觸時摩擦力f大小相等,方向相反，它們的沖量矩的大小正比于半徑，方向相同：第五十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日消去得：解出其中用到兩圓柱體的轉動慣量公式：請考慮，此例中由兩柱所構成的系統(tǒng)總角動量守恒嗎？為什么？第五十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日例題一質量為m、半徑為R的勻質圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以o的角速度轉動。現(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數為μ，求圓盤經多少時間、轉幾圈將停下來？解摩擦力是分布在整個盤面上的，計算摩擦力的力矩時，應將圓盤分為無限多個半徑為r、寬為dr的圓環(huán)積分。故摩擦力矩為rdro于是得第五十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日rdro由=

o+t=0得又由2-o2=2，所以停下來前轉過的圈數為第五十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日四、剛體定軸轉動的角動量守恒定理由前知當MZ=0時，LZ=常量剛體對軸的角動量守恒?；蛟谇昂笕我鈨蓚€時刻，有：此式也適用于剛體的轉動慣量有發(fā)生變化的情形。例如跳水、冰上芭蕾舞、茹可夫斯基凳等。演示：茹可夫斯基凳第五十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日解系統(tǒng):圓盤+人。系統(tǒng)什么量守恒？(1)外力(重力和軸的支撐力)對轉軸的力矩為零，所以系統(tǒng)角動量守恒，于是有(I盤+I人)O=I盤

+m人v(R/2)

上式正確嗎？顯然是錯誤的。oR/2例題:勻質園盤(m、R)與一人(m/10,視為質點)一起以角速度o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉動,如圖所示。如果此人相對于盤以速率v、沿半徑為R/2的園周運動(方向與盤轉動方向相反),求:(1)圓盤對地的角速度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？第五十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日所以在應用角動量守恒定律求解問題時，應代入人相對于慣性系(地面)的角速度。正確的式子是：解出：R/2(2)欲使盤靜止，可令得式中負號表示人的運動方向與盤的初始轉動(o)方向一致。角動量守恒定律只適用于慣性系。第五十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日五、剛體定軸轉動的動能定理1、力矩的功外力Fi使剛體轉動一微小角度d

所作的元功：剛體轉過有限大角度時力矩的功有多個力矩作用在剛體上時：第五十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日2、定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能：為剛體各質點動能之和因得到外力矩對剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量。剛體定軸轉動的動能定理：第六十頁，共八十六頁，2022年，8月28日3、剛體的重力勢能剛體的重力勢能是組成剛體的各個質點重力勢能之和剛體的重力勢能相當于質量集中在剛體質心C的重力勢能。ohihcxmCmy對于包含剛體的系統(tǒng)，功能原理仍然成立：系統(tǒng)外力所作的功與系統(tǒng)非保守內力所作的功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。第六十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日解：細棒下降過程中只有重力矩做功。桿重心下降了l/2,應用機械能守恒：例1一質量為m、長為l的均勻細棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內轉動。今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時下端點A的速度，和O點處的受力。OAG第六十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日設在豎直位置時，桿在O點受力N，將它分解成水平與豎直的兩個分量。由于此時N與G都過轉軸O，對O點的力矩=0。由轉動定律知，棒轉動的角加速度=0因而ONnNtNGC第六十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日例3質量M長L的均勻細桿可繞過O點的水平軸轉動，初始時桿靜止于豎直位置質量m的小球以v0垂直撞向桿的下端與桿發(fā)生完全彈性碰撞，求碰后小球回彈速度v,桿角速度及上擺的最大角度M,Lm,v0O解：相撞過程系統(tǒng)對O軸的角動量守恒；撞前后動能相等，上擺過程機械能守恒：求出第六十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日4－5

剛體平面運動動力學一、剛體的動量，質心運動定理，動能1、剛體的質心：前面已知質點系的質心取剛體中小質元dm，其位矢為，則剛體的質心：或：第六十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日2、剛體的動量，質心運動定理定義剛體的動量其中m是剛體質量，是剛體質心運動速度。若剛體所受外力矢量和為零，則剛體的動量守恒。質心運動定理：其中是作用在剛體上所有外力的矢量和，是剛體質心加速度。3、平面運動剛體的動能第六十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、剛體平面運動基本方程剛體平面運動=質心平動+繞過質心軸的定軸轉動質心平動基本方程過質心軸的定軸轉動基本方程實際上，剛體質心的平動與一個質點的運動沒有區(qū)別，因而可應用質點動力學的所有公式；同樣，繞質心軸的定軸轉動也可應用定軸轉動的所有公式。第六十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日例1質量為m、半徑為R的均質圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，求質心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFacbf解：設靜摩擦力f的方向如圖，則由質心運動方程圓柱對質心的轉動定律純滾動條件為又求出當R>2L時，f>0,向后；當R<2L時，f<0,向前。第六十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日例2長l質量m的均勻直桿，在光滑的水平桌面上由豎直位置自然倒下。求當桿與豎直線的夾角為時桿質心的速度和轉動角速度。ycA解：只有重力作功，故系統(tǒng)機械能守恒。設桿與豎直線的夾角為時桿質心速度為vc，桿的角速度為，由機械能守恒定律有其中從A點運動疊加可知解出第六十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日例3圓盤質量為m，半徑為R，初始角速度為ω0（逆時針轉動），質心初始速度vc0向右，圓盤與桌面間的滑動摩擦系數為，討論其運動。

Rfvc解：開始階段，由于質心初始速度向右，圓盤逆時針轉動，圓盤必定是又滾又滑，所受摩擦力為滑動摩擦力。在摩擦力作用下無論是質心速度還是角速度均要隨時間而衰減。有：求出第七十頁，共八十六頁，2022年，8月28日圓盤作純滾動的條件為：由此求出圓盤開始作純滾動的時刻圓盤開始作純滾動后，滑動摩擦力變?yōu)榱?，將保持此質心速度和角速度一直運動下去?？汕蟪觯嚎梢?，圓盤的實際運動取決于ω0、vc0和R的大小。

情形一2vc0>0R情形二

2vc0<0R情形三

2vc0=0R第七十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日例4質量m,半徑R的球體，從高h的斜面上由靜止開始無滑動滾下，求它到底部時質心速度和轉動角速度解：純滾動時摩擦力不作功，機械能守恒：純滾動條件：對實心球體求出第七十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日例5

在光滑的桌面上有一質量為M、長2l的細桿，一質量為m的小球沿桌面以速率v0垂直地撞擊在細桿的一端。設碰撞是完全彈性的，求碰后球和桿的運動情況解：設碰撞后小球和桿的質心速度分別為v1和vC，桿繞質心的角速度為ω，有動量守恒：關于質心角動量守恒：碰前后系統(tǒng)動能相等求出第七十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日OR1R2Mm例半徑R1,R2的兩滑輪同軸合在一起，總質量M，對質心軸轉動慣量IC。內輪上纏繞的細線懸掛于天花板，外輪上也用細線懸掛另一重物。求物體加速度，滑輪質心加速度、角加速度，及細線中張力。T1T2aac解：畫出受力和加速度如圖。列出方程組：求出第七十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日4－6剛體的平衡剛體平衡的充分必要條件是它所受合外力=0；對任意一參考點的合外力矩=0：例1

一架均勻的梯子，重為W，長為2l，上端靠于光滑的墻上，下端置于粗糙的地面上，梯與地面的摩擦系數為μ。有一體重W1的人攀登到距梯下端l1的地方。求梯子不滑動的條件。第七十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日解：設梯子不滑動，它與地面夾角為，地面與墻的法向力分別為N1和N2，地面摩擦力為f。力平衡方程為1力矩的參考點可以任意選擇。為了簡單，可以選圖中N1和N2延長線的交點C。求出梯子不滑的條件第七十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日即1對于一定的傾角，人所能攀登的高度為角愈大允許人攀登得愈高；μ愈大允許人攀登得也愈高。如果要求攀到一定的高度l1，則要求梯子的傾角l1愈小允許愈小，μ愈大允許愈小。

第七十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日天平靈敏度問題。天平的主要結構是通過刀口架在立柱上的一根橫梁，其兩端掛有秤盤。橫梁的重心必須在刀口的下方。通常靈敏天平的橫梁的下方都固聯(lián)一根擺動指針，針上裝有一個螺絲，用以調節(jié)重心的高低。第七十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日求出或如圖，設刀口在O，臂長為l，橫梁重為W0，重心在C點,OC=h。兩邊重量稍有不同，此時橫梁傾角為