多元統(tǒng)計分析時間序列分析

概述時間序列可能是應用最普遍的數(shù)據(jù)表現(xiàn)形式和數(shù)據(jù)存儲格式按照時間順序把隨機事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成時間序列（TimeSeries）時間序列在形式上表現(xiàn)為變量Y的一連串值，這些值是在不同時間測得，并根據(jù)時間排序現(xiàn)在是1頁\一共有74頁\編輯于星期五時間序列的特點：順序、相關(guān)時間序列分析（TimeSeriesAnalysis）主要針對不同時間的數(shù)據(jù)，從中提取有意義和有用的信息，發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展變化的規(guī)律既可用于描述和解釋因變量Y的變化，還可用于預測Y值分析及處理原則：慣性、遠小近大、分解、轉(zhuǎn)化現(xiàn)在是2頁\一共有74頁\編輯于星期五時間序列分析描述性時序分析統(tǒng)計性時序分析時域分析方法頻域分析方法時間序列確定性分析時間序列隨機性分析趨勢分析季節(jié)分析平穩(wěn)的非平穩(wěn)的ARMA(p,q)ARIMA(p,d,q)ARMA(p,d,q)(P,D,Q)S現(xiàn)在是3頁\一共有74頁\編輯于星期五時間可以理解為一個變量，完全均勻地、獨立于其他所有事件地發(fā)生變化。時間順序?qū)⑹录潭?，不能改變順序排列按變量Y的時間關(guān)系可區(qū)分以下兩種變量：針對時間點的變量針對時間段的變量很多時間段事實上不是等間隔現(xiàn)在是4頁\一共有74頁\編輯于星期五根據(jù)依據(jù)時間序列個數(shù)，時間序列分析大致分為兩種：單個時間序列分析；多個時間序列的相關(guān)分析；單個時間序列分析，定量預測法，時間序列外推法現(xiàn)在是5頁\一共有74頁\編輯于星期五多個時間序列分析，因果預測法，以分析多個時間序列關(guān)系為基礎(chǔ)，先確定描述時間序列變量間因果關(guān)系的模型，然后根據(jù)時間序列數(shù)據(jù)估計該模型，這種模型又稱為結(jié)構(gòu)模型或經(jīng)濟計量模型現(xiàn)在是6頁\一共有74頁\編輯于星期五時間序列的組合成分通常認為時間序列有以下四種成分組合而成：（1）長期趨勢：指時間序列隨時間的變化而逐漸增加或減少的長期變化趨勢（2）季節(jié)變動：指時間序列在一年中或固定時間內(nèi)，呈現(xiàn)出固定規(guī)則的變動（3）循環(huán)變動：指沿著趨勢線如鐘擺般地循環(huán)變動，即周期性成分（4）不規(guī)則變動：指在時間序列中由于隨機因素影響所引起的變動現(xiàn)在是7頁\一共有74頁\編輯于星期五趨勢項、周期項、季節(jié)項都可看做是確定性成分，其余看做隨機成分確定性過程可以用關(guān)于時間的函數(shù)描述隨機過程用一些統(tǒng)計量，如均值、方差、協(xié)方差等來描述隨機過程的基本統(tǒng)計特性現(xiàn)在是8頁\一共有74頁\編輯于星期五應用舉例例子：人造黃油生產(chǎn)廠的經(jīng)理對銷售地區(qū)A的高銷量感到驚訝和高興。但如果要保持或再提高此高銷量，經(jīng)理必須調(diào)整該地區(qū)的供貨。為了做出決策，需要分析和預測此銷售地區(qū)的銷量變化情況。為此，他收集了近十年的銷量數(shù)據(jù)：現(xiàn)在是9頁\一共有74頁\編輯于星期五時間（t）銷量（盒）116572186431950422045228862410724148253492739102785銷售地區(qū)A的銷量時間序列現(xiàn)在是10頁\一共有74頁\編輯于星期五分析過程時間序列的分析和預測過程一般分為五個步驟：（1）繪制時間序列圖（2）建模（3）估計模型（4）進行預測（5）檢驗預測有效性現(xiàn)在是11頁\一共有74頁\編輯于星期五（1）繪制時間序列圖現(xiàn)在是12頁\一共有74頁\編輯于星期五（2）建模時間序列的趨勢走向可能有各種各樣的形式，同時也存在無數(shù)種模型或多或少可能與時間序列趨勢走向相匹配時間序列建模的一個基本原則是把時間序列分解為不同成分進行組合，有如下兩類組合方式：相加的時間序列分解Y=A+K+S+u，預測變量、趨勢項、波動項、季節(jié)項、隨機項相乘的時間序列分解Y=A×K×S×u，預測變量、趨勢項、波動項、季節(jié)項、隨機項現(xiàn)在是13頁\一共有74頁\編輯于星期五趨勢項A代表Y值的長期發(fā)展情況，可能為正或負，可能是線性的，也可能是非線性的K和S是呈周期性變動的項，變動在幾年時間內(nèi)波動或一年時間內(nèi)季節(jié)性周期性地重復，可定不是線性的A、K、S被稱為系統(tǒng)項，u稱為隨機項現(xiàn)在是14頁\一共有74頁\編輯于星期五在本例中，根據(jù)圖形可簡化為Y=A+uA盡管時間序列的變化略呈非線性，但仍假設(shè)其呈線性趨勢變化Y=α+βt+u其中，α，β是未知參數(shù)，β說明各時期Y的增長情況，是趨勢參數(shù)；現(xiàn)在是15頁\一共有74頁\編輯于星期五（3）估計模型利用回歸分析根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)估計參數(shù)α和β把值t=1,2，…的時間指標作為自變量，也可用年份數(shù)（如1991）替代指標值1,2，...，這對β無影響，但對常數(shù)項α有影響現(xiàn)在是16頁\一共有74頁\編輯于星期五決定系數(shù)R2=0.972F統(tǒng)計量F=276.8（F理論=5.32）回歸標準誤差：s=66.0Durbin/Watson統(tǒng)計量：d=1.551（d=2）現(xiàn)在是17頁\一共有74頁\編輯于星期五（4）進行預測利用估計函數(shù)，可直接進行預測這稱為點預測，相對地，區(qū)間預測給出預測值的一個范圍，未來真值以一定的信任概率或置信度位于該區(qū)間內(nèi)點預測：現(xiàn)在是18頁\一共有74頁\編輯于星期五預測誤差，預測總存在誤差，計算預測誤差的基礎(chǔ)是回歸估計的標準誤差，顯而易見，預測未來時間越遠，誤差越大。通常，T+k時期的預測誤差計算式為：現(xiàn)在是19頁\一共有74頁\編輯于星期五第11期的預測誤差為：預測值與實際值y11之間的偏差平均為80盒現(xiàn)在是20頁\一共有74頁\編輯于星期五區(qū)間預測，用置信區(qū)間說明未知值y11一定概率落在某個區(qū)間其中，t是置信度為1-α，自由度為T-2的t分布雙邊檢驗的分位數(shù)現(xiàn)在是21頁\一共有74頁\編輯于星期五當置信度為0.95，自由度T-2=8，查t值表，得2.306則銷量y11的區(qū)間預測為：現(xiàn)在是22頁\一共有74頁\編輯于星期五（5）檢驗預測有效性預測有效性及模型可靠性的檢驗，要求比較預測值與支持區(qū)間外的預測區(qū)間[T+1,T+k]中的實際值。由于預測時點的實際值未知，不能馬上檢驗預測有效性，需等到事件發(fā)生另一種方法是用現(xiàn)有后期預測法檢驗預測有效性現(xiàn)在是23頁\一共有74頁\編輯于星期五通常用于模型估計的支持區(qū)間小于觀察時間區(qū)間，即估計模型時不使用最后幾個時間序列值，然后用這些值與現(xiàn)有后期預測值相比較若把數(shù)據(jù)區(qū)間又10減少到8，則估計函數(shù)為：現(xiàn)在是24頁\一共有74頁\編輯于星期五現(xiàn)在預測第9和10時期的銷量：計算誤差指標，以評價經(jīng)驗預測的有效性tytet927202739-19102843278558現(xiàn)在是25頁\一共有74頁\編輯于星期五平均絕對誤差（MeanAbsoluteDeviation）平均絕對比例誤差（MeanAbsolutePercentageError）現(xiàn)在是26頁\一共有74頁\編輯于星期五Theil的U統(tǒng)計量：現(xiàn)在是27頁\一共有74頁\編輯于星期五非線性趨勢模型現(xiàn)實的趨勢很少是線性的，尤其是長期趨勢平方根模型，趨勢并非完全線性，而是略呈凹形現(xiàn)在是28頁\一共有74頁\編輯于星期五平方根模型：雖然關(guān)于時間變量t是非線性的，但待估參數(shù)是線性的，構(gòu)造新變量X時間（t）銷量（盒）X=時間（t）銷量（盒）X=116571624102.449218641.414724142.646319501.732825342.828422042927393522882.2361027853.162現(xiàn)在是29頁\一共有74頁\編輯于星期五得到的回歸函數(shù)：點預測：預測誤差：現(xiàn)在是30頁\一共有74頁\編輯于星期五區(qū)間預測：可得第11期的區(qū)間預測為：2702≤y11≤2979線性趨勢：2765≤y11≤3133現(xiàn)在是31頁\一共有74頁\編輯于星期五對數(shù)模型，同平方根模型一樣，也用于描繪增長緩慢的模型對數(shù)模型比平方根模型更平緩現(xiàn)在是32頁\一共有74頁\編輯于星期五指數(shù)模型按β值不同，模型有不同的形狀當β>1時，遞增上升當0<β<1時，遞減下降現(xiàn)在是33頁\一共有74頁\編輯于星期五冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)一樣靈活，但包含三個未知參數(shù)：當γ>1，遞增上升；0<γ<1，遞減上升；γ=0.5，為平方根模型現(xiàn)在是34頁\一共有74頁\編輯于星期五模型估計函數(shù)R2F11期預測值11期預測誤差線性0.972277294980平方根0.983459284060對數(shù)0.9451392722104指數(shù)0.971265276196冪0.984216286659y10=2785現(xiàn)在是35頁\一共有74頁\編輯于星期五模型名稱方程線性化線性Y=α+βt對數(shù)Y=α+βlnt倒數(shù)Y=α+β/tY=α+β×(1/t)平方Y(jié)=α+β1t+β2t2立方Y(jié)=α+β1t+β2t2+β3t3冪Y=αtβlnY=lnα+βlnt指數(shù)Y=αβtlnY=lnα+tlnβS曲線Y=e(α+β/t)lnY=α+β×(1/t)LogisticY=1/((1/M)+αβt)ln(Y-M)=lnα+tlnβ增長Y=e(α+βt)lnY=α+βt常用曲線擬合模型現(xiàn)在是36頁\一共有74頁\編輯于星期五人造黃油市場的時間序列分析自己公司人造黃油銷量總體上持續(xù)上升，但波動巨大生產(chǎn)廠經(jīng)理決定分析和預測整個德國的人造黃油市場情況為此，他獲得了過去四年人造黃油的月銷量現(xiàn)在是37頁\一共有74頁\編輯于星期五人造黃油的市場銷量的時間序列現(xiàn)在是38頁\一共有74頁\編輯于星期五模型1線性趨勢現(xiàn)在是39頁\一共有74頁\編輯于星期五模型2趨勢+季節(jié)性啞變量現(xiàn)在是40頁\一共有74頁\編輯于星期五模型3趨勢+季節(jié)性啞變量+氣溫現(xiàn)在是41頁\一共有74頁\編輯于星期五人口數(shù)量一般對消費品需求有決定性影響，為此引入人口變化變量現(xiàn)在是42頁\一共有74頁\編輯于星期五模型4季節(jié)性變量+氣溫+人口現(xiàn)在是43頁\一共有74頁\編輯于星期五德國黃油銷量特點：季節(jié)波動性大、略稱下降氣溫的影響只能解釋約25%的波動；圣誕節(jié)和復活節(jié)的影響明顯更大模型2簡單能很好預測短期銷量；模型3精度更高，使用時需預測月平均溫度模型4考慮人口變化，若人口變化明顯用該模型更合理現(xiàn)在是44頁\一共有74頁\編輯于星期五考慮周期性波動利用啞變量也可以考慮離散型時間序列中的周期性波動，如季節(jié)效應或經(jīng)濟波動現(xiàn)在是45頁\一共有74頁\編輯于星期五季節(jié)效應許多基于月度或季度的經(jīng)濟時間序列都表現(xiàn)出季節(jié)特征可以用虛擬變量對數(shù)據(jù)的季節(jié)性進行分析例：冰箱銷量分析。季度銷量數(shù)據(jù)如下表所示現(xiàn)在是46頁\一共有74頁\編輯于星期五FRIGD2D3D4FRIGD2D3D413170009430001615100117510016620101269010129500197300112710001102000155510013441001639010164101012380011225001127700014290001258100169910014170101749010118500111170011196000124200014101001684100141701017640109190011328001現(xiàn)在是47頁\一共有74頁\編輯于星期五現(xiàn)在是48頁\一共有74頁\編輯于星期五Yt=α1+α2D2t+α3D3t+α4D4tYt'=1222.13+245.38D2t+347.63D3t-62.13D4t第一節(jié)度為基準組，各季度虛擬變量的系數(shù)就是級差截距，表示在虛擬變量取值為1的那個季度里，Y的平均值與基準季度相比有多大差異，或者說，季節(jié)虛擬變量的系數(shù)將給出Y的平均值相對基準季度的增加而減少現(xiàn)在是49頁\一共有74頁\編輯于星期五季節(jié)模型季節(jié)變動是指客觀事物由于自然條件、生產(chǎn)條件和生活習慣等因素的影響，隨著季節(jié)的轉(zhuǎn)變而呈現(xiàn)的周期性變動季節(jié)變動是客觀事物常有的一種變化規(guī)律。季節(jié)變動的特點是有規(guī)律性，每年重復出現(xiàn)，表現(xiàn)為逐年同月有相同的變化方向和大致相同的變化幅度現(xiàn)在是50頁\一共有74頁\編輯于星期五季節(jié)性水平模型形式：預測值，時序平均水平，季節(jié)系數(shù)，i=1,...,12;1,...,4;季節(jié)系數(shù)計算公式為：現(xiàn)在是51頁\一共有74頁\編輯于星期五適用于無明顯趨勢變動，主要受季節(jié)和不規(guī)則變動影響的時間序列一般需要3-5年分月（或季）的數(shù)據(jù)例：分析預測某市汗衫零售量。已知過去10年的銷售情況。現(xiàn)在是52頁\一共有74頁\編輯于星期五年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量年月銷量1141012191416182330182151220172220233337203383543434158666959924102536462749091911201395141104159111158129139192311324619118017423724022326434833434371742081892272152351862542702718848510093127819212212219394131465341427859706210201321242323513433271112814131616251923171212101914121723271613現(xiàn)在是53頁\一共有74頁\編輯于星期五1.時序變化分析汗衫主要是夏季服裝，銷量會受到季節(jié)的影響現(xiàn)在是54頁\一共有74頁\編輯于星期五2.建模季節(jié)水平模型的建立主要計算平均水平以及季節(jié)指數(shù)從數(shù)據(jù)上看，后面的銷量較高，可把最后一年的平均銷量作為平均水平季節(jié)指數(shù)按公式計算，也可采用移動平均處理現(xiàn)在是55頁\一共有74頁\編輯于星期五得到預測模型：10.31505320.40490731.02463641.57032053.25413664.55208874.15681081.99865190.951953100.486552110.291839120.292868現(xiàn)在是56頁\一共有74頁\編輯于星期五3.預測季節(jié)性水平模型預測期為下一個周期Y133=135.58×31.51%=42.71（萬件）現(xiàn)在是57頁\一共有74頁\編輯于星期五季節(jié)性交乘趨向模型季節(jié)性交乘趨向模型是趨勢和季節(jié)的乘法模型形式：a+bt是時間序列趨勢變動部分，可以是線性的，也可以是非線性的；fi是時間序列各月（或季）的季節(jié)指數(shù)現(xiàn)在是58頁\一共有74頁\編輯于星期五最簡單的季節(jié)指數(shù)計算公式如下：F是各期的實際季節(jié)指數(shù)，由當期的實際值除以趨勢值得到，反映當期由于季節(jié)影響實際值高于或低于趨勢值的比例；T是季節(jié)周期的長度，月度數(shù)據(jù)為12，季度數(shù)據(jù)為4；f是理論季節(jié)指數(shù)，反映由于季節(jié)影響，在每年同一月或季實際值高于或低于預測值的比例現(xiàn)在是59頁\一共有74頁\編輯于星期五適用條件：既有季節(jié)變動又有趨勢變動，且季節(jié)波動幅度隨趨勢增加而加大的時間序列。通常要有5年分月的數(shù)據(jù)例：工業(yè)總產(chǎn)值的分析預測。部分數(shù)據(jù)如下表所示現(xiàn)在是60頁\一共有74頁\編輯于星期五11421.41757.81984.22179.12903.32996.721367.41485.71812.42408.72513.82740.331719.71893.92274.72869.43409.03580.941759.61969.82328.92916.73499.53746.351795.72033.72373.13022.13462.63817.961848.12103.02515.83274.53871.44046.671637.31836.32288.02862.93373.03483.981670.11914.72321.02864.23463.43510.691760.12022.22441.12908.03663.73703.1101789.52045.12502.62911.83753.43810.7111888.62069.22608.83101.33793.24091.0121981.42136.02823.83664.34469.04650.8現(xiàn)在是61頁\一共有74頁\編輯于星期五1.時序變化分析線性增長趨勢、季節(jié)波動、波動幅度隨趨勢而增大現(xiàn)在是62頁\一共有74頁\編輯于星期五2.建?？梢允褂靡徊糠謹?shù)據(jù)建模，預留一部分數(shù)據(jù)對模型的效果進行分析評價（1）建立趨勢模型Vt=a+bt參數(shù)采用最小二乘法，各月數(shù)據(jù)對時間變量t進行回歸，得到線性估計模型Vt=1374.86+35.49t現(xiàn)在是63頁\一共有74頁\編輯于星期五（2）計算季節(jié)系數(shù)在序列實際值中取出趨勢值，剩余部分可認為是季節(jié)影響造成的變動Y值除以V值得到F值，表示各月由于季節(jié)影響帶來的變動。對{Ft}進行季節(jié)平均，得到理論季節(jié)指數(shù)fi時間YVFYY1990.11421.41410.41.0078351259.31990.21367.41445.80.9457461164.71990.31719.71481.31.1609121512.7現(xiàn)在是64頁\一共有74頁\編輯于星期五得到預測模型：3.預測利用模型得到各月的預測產(chǎn)值，計算這一時期的MAPE為4.96，預測精度在滿意范圍現(xiàn)在是65頁\一共有74頁\編輯于星期五平均絕對百分誤差(meanabsolutepercentageerror,MAPE)，評價擬合精度的一個指標當MAPE<10，模型的預測精度較高現(xiàn)在是66頁\一共有74頁\編輯于星期五季節(jié)性疊加趨向模型季節(jié)性疊加趨向模型是時間序列的趨勢與季節(jié)變動的加法模型，形式如下：(a+bt)是趨勢變動，可以是線性也可以是非線性的；di是各月（季）的季節(jié)增量，反映由于季節(jié)影響，實際值大于或小于趨勢值的數(shù)量現(xiàn)在是67頁\一共有74頁\編輯于星期五T是季節(jié)周期的長度，月度數(shù)據(jù)為12，季度數(shù)據(jù)為4。di的簡單計算公式，D為各期實際的季節(jié)增量，由當期實際值減去趨勢值得到，反映當期由于季節(jié)影響實際值大于或小于趨勢值的數(shù)量；m為季節(jié)周期的個數(shù)，即年份數(shù)現(xiàn)在是68頁\一共有74頁\編輯于星期五適用條件：既有趨勢變化又有季節(jié)變動，且季節(jié)波動幅度基本不隨趨勢的增加而變化的時間序列。需要5年分月的數(shù)據(jù)例：社會商品零售總額的分析預測。部分數(shù)據(jù)如下表所示現(xiàn)在是69頁\一共有74頁\編輯于星期五時間YVFYY1995.Q14658.85066.5-407.75112.81995.Q24783.85231.4-447.64790.81995.Q35052.95396.4-343.55033.81995.Q46124.25561.4562.86318.315816.75726.490.35772.825774.35891.4-117.1545