完整版高等代數(shù)作業(yè)多項式答案

五、證明題五、證明題一、填空題二、判斷題1.數(shù)集abi|a,b是有理數(shù),i21是數(shù)域()V2.數(shù)集abi|a,b是整數(shù),i21是數(shù)域()xx3.若f(x)|g(x)h(x),f(x)/g(x),則f(x)|h(x)()4.若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),則f(x)|h(x)()V5.數(shù)集ab.2|a,b是有理數(shù)是數(shù)域()V6.數(shù)集n.2|n為整數(shù)是數(shù)域()x除法不封閉若f(x)|g(x)h(x)，則f(x)|g(x)或f(x)|h(x)()X當f(x)是不可約時才成立fxgxfx/h(x)，則f(x)/g(x)h(x)()X如f(x)x2,g(x)h(x)x時不成立9.若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x)h(x)，則f(x)|g(x)且f(x)|h(x)()V三、選擇題1.以下數(shù)集不是數(shù)域的是()B2.關(guān)于多項式的整除，以下命題正確的是()CA、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)/g(x),則f(x)|h(x)B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),則g(x)h(x)|f(x)四、計算題數(shù)域P中的數(shù)m,p,q適合什么條件時,多項式mxxpxqpmxf(1)f(1)c2高等代數(shù)第二次作業(yè)、填空題1.當p(x)是多項式時，由p(x)|f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。不可約2.當f(x)與g(x)時，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)?；ニ?.設(shè)f(x)x33x2axb用x1除余數(shù)為3,用x1除余數(shù)為5,那么ab。a=0,b=1pxpxfxgxpxfxpxgx)x8.若p(x)|g(x)h(x),且，則p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。p(x)是不可約多項式二、判斷題2.若(f(x)g(x),h(x))1,則(f(x),h(x))1，(g(x),h(x))1()V3.若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),則(f(x),h(x))1()X4.設(shè)p(x)是數(shù)域P上不可約多項式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，貝Up(x)是f(x)的k1重因5.若有d(x)f(x)u(x)g(x)v(x),則d(x)是f(x),g(x)的最大公因式()Xpxfxk因式，貝Up(x)是f(x)的k1重因式()X如f(x)xk11三、選擇題1.關(guān)于多項式的最大公因式，以下結(jié)論正確的是()DxhxCdxfx),且有f(x)u(x)g(x)v(x)d(x)，則d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式xhx2.關(guān)于不可約多項式p(x),以下結(jié)論不正確的是()CB、若q(x)也是不可約多項式，則(p(x),q(x))1或p(x)cq(x),c03.關(guān)于多項式的重因式，以下結(jié)論正確的是()DA、若不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式，貝Up(x)是f(x)的k1重因式B式p(x)是f(x)的k重因式，貝Up(x)是f(x)，f(x)的最大公因式C、若不可約多項式p(x)是f(x)的因式，貝Up(x)是f(x)的重因式D、若不可約多項式p(x)是f(x)的重因式，貝Up(x)是的單因式四、計算題x32x1,求(f(x),g(x))以及u(x),v(x),使uxfx1.設(shè)f(x)x4x3x22x1,g(x)解：利用輾轉(zhuǎn)相除法得1g(x)n(x)q(x)D(X)(x2x)(x1)x1g(x)n(x)q(x)D(X)(x2x)(x1)x1,A(x)r(x)c(x)(x1)(x).22b證明：兩式相加得:2x(f(x)g(x))2(x2c)g(x).由c0得(x,x2c)1.因此有因此(f(x),g(x))x1.又12q(x)f(x)(1q(x)q(x)).〔(x12q(x)f(x)(1q(x)q(x)).22xxx2?設(shè)f(x)x5x34x23x22g(x)q(x))q(x)2x2.(1)判斷f(x)在R上有無重因式？如果有,求出所有的重因式及重數(shù)；⑵求f(x)在R上的標準分解式.fxxxx.運用輾轉(zhuǎn)相除法可得：(f(x),f(x))x2x1.x2x1為f(x)在R上二重因式.(2)由(1)可得f(x)在R上的標準分解式為ffx檢驗211因此有f(x)(x42x33x22x1)(xf(x)在R上的標準分解式為fx2).理根，由綜合除法可得220(x2).x2x1為f(x)在R上二重因式2).：24232)(x243x1)2解法2:f(x)的可能有理根為1,2,經(jīng)五、證明題kxgkx證明：當f(x)|g(x)時，有g(shù)(x)f(x)q(x),因此gk(x)反之設(shè)fkxqkxfkxgkx.中P1(x),P2(x)丄,Ps(x)是互不相同的不可約多項式,ri0,mi0(i1,2,L,s).由fk(x)|gk(x)可得2.已知a,b,cP,ab,a0,c0，且(xa)f(x)(xb)g(x)(x2c)h(x)(xa)f(x)(xb)g(x)(x2c)h(x)則x2cf(x),x2cg(x).2xCf(x)g(x).兩式相減有2af(x)2bg(x)0,,因此有x2c2af(x)2bg(x).由x2cf(x)g(x)及x2c2af(x)2bg(x)可得x2c(2a2b)f(x).又ab,因此有x2cf(x).類似有x2cg(x).高等代數(shù)第三次作業(yè)§9一、填空題5.以I為二重根，2,1i為單根的次數(shù)最低的實系數(shù)多項式為f(x)=。ifxxx35x22x2的一個根，則f(x)的全部根是。二、判斷題fx域上是可約的，則f(x)必有有理根。()XV三、選擇題1.關(guān)于多項式的根，以下結(jié)論正確的是()DA、如果f(x)在有理數(shù)域上可約，則它必有理根。B、如果f(x)在實數(shù)域上可約，則它必有實根。C、如果f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約。D、一個三次實系數(shù)多項式必有實根。2.關(guān)于多項式的根，以下結(jié)論不正確的是()BA、是f(x)的根的充分必要條件是x|f(x)B、若f(x)沒有有理根，則f(x)在有理數(shù)域上不可約C、每個次數(shù)的復數(shù)系數(shù)多項式，在復數(shù)域中有根xxD、一個三次的實系數(shù)多項式必有實根fx3x2tx1是整系數(shù)多項式，當t=()時，f(x)在有理數(shù)域上可約。D4.設(shè)f(x)3tx25x1是整系數(shù)多項式，當t=()時，f(x)在有理數(shù)域上可約。A35.設(shè)f(x)xtx23x1是整系數(shù)多項式，當t=()時，f(x)在有理數(shù)域上可約。D3A、f(x)在有理數(shù)域上不可約B、f(x)在有理數(shù)域上可約C、f(x)有一實根D、f(x)沒有有理根7.設(shè)f(x)xppx1,p為奇素數(shù)，以下結(jié)論正確的是()AA、f(x)在有理數(shù)域上不可約B、f(x)在有理數(shù)域上可約C、f(x)在實數(shù)域上不可約D、f(x)在復數(shù)域上不可約四、計算題1.已知f(x)x36x123px8，試確定p的值，使f(x)有重根，并求其根.此有2ab6,a2,a1,a22ab3p,解得b2,或b8,解法2:若f(x)有重根,則(f(x),f'(x))1.fxxxp(x24xp).1f(x)-f'(x)(x2)(2p8)x(82p)3(x24xp)(x2)(2p8)(x1),11f'(x)(x1)(x5)(p5).pfxxfxp(f(x),f'(x))f'(x)4x3xf(x)xf'(x)4a4(x3a).吃f'(x)(3axx29b44bx生)4a4b327a3當b327a4時，(f(x),f'(x))x—,—為f(x)的二重根.顯然ab0也滿足b327a4.因此當b327a4時f(x)有重根.五、證明題1.設(shè)f(x)是整系數(shù)多項式，a為整數(shù),證明:(5a)|f(5)(5a)|f(a).證明：若(5a)|f(5)，令f(x)(xa)q(x)r，其中q(x)為整系數(shù)多項式，r為整數(shù).f(5)(5a)q(5)r.由(5a)|f(5)可得r0.因此有類似可證當(5a)|f(a)(5a)|f(5).2.設(shè)c0,證明：若f(x)f(xc)，則f(x)只能是常數(shù).證明:反證法證明.假設(shè)f(x)不是常數(shù).(f(x))n0.在復數(shù)域上考慮，f(x)至少有一個復根0f()f(c)f((c)c)Lf(kc)L,kN.即，c,2c,L,kc,L都是f(x)的根，與f(x)至多有n個根相矛盾.因此