傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的指數(shù)形式與傅里葉變換

傅里葉(Fourier級(jí)數(shù)的指數(shù)形式與傅里葉變換專題摘要：根據(jù)歐拉〔Euler〕公式，將傅里葉級(jí)數(shù)三角表示轉(zhuǎn)化為指數(shù)表示，進(jìn)而得到傅里葉積分定理，在此基礎(chǔ)上給出傅里葉變換的定義和數(shù)學(xué)表達(dá)式。在通信與信息系統(tǒng)、交通信息與控制工程、信號(hào)與信息處理等學(xué)科中，都需要對(duì)各種信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)行分析。通過(guò)對(duì)描述實(shí)際對(duì)象數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)分析、求解，對(duì)所得結(jié)果給以物理解釋、賦予其物理意義，是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。這種數(shù)學(xué)分析方法主要針對(duì)確定性信號(hào)的時(shí)域和頻域分析，線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述以及信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析與變換域分析。所有這些分析方法都離不開(kāi)傅里葉變換、拉普拉斯變換和離散時(shí)間系統(tǒng)的z變換。而傅里葉變換的理論基礎(chǔ)是傅里葉積分定理。傅里葉積分定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式。不但傅里葉變換依賴于傅里葉級(jí)數(shù)，就是純數(shù)學(xué)分支的調(diào)和分析也來(lái)源于函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。因此，傅里葉級(jí)數(shù)無(wú)論在理論研究還是在實(shí)際應(yīng)用中都占有非常重要的地位。我們承認(rèn)滿足狄里克萊〔Dirichlet〕條件下傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性結(jié)果，不去討論和深究傅里葉展式的唯一性問(wèn)題。傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式一個(gè)以t為周期的函數(shù)f(t)，在［-~2^2］上滿足狄里克萊條件：1。f(t)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2o只有有限個(gè)極值點(diǎn)。那么f(t)在［-2】上就可以展成傅里葉級(jí)數(shù)。在連續(xù)點(diǎn)處1〕23〕f(t)=^o+才(acosn31+bsinn?t),2n1〕23〕其中n=1其中2[za= 2f(t)cosn?tdt, (n=0,1,2,…)，nTZ22fzb= 2f(t)sinn?tdt, (n=1,2,3,…)，nTZ2根據(jù)歐拉〔Euler〕公式：efi=cos0+jsin0，⑴式化為f(t)=af(t)=a0點(diǎn)ejn?t+e-jn?t ejn?t—e_jn?ta +bn2nn=12j=—^+L2n=1ajb—n n2a+jbejn?t+—n ne—jn?t2假設(shè)令f(f(t)dtc=na一jb 1[t 1tnn= 2f(t)cosnwtdt一j 2f(t)sinc=na一jb 1[t 1tnn= 2f(t)cosnwtdt一j 2f(t)sinnwtdt2 T-t T-t一2一21[t= 2f(t)[cosnwt-jsinnwt]dtT-t21Pt= 2f(t)e-jnwtdt,n=1,2,3,???2c-n1J]f(t)ejn^dt, n=1,2,3，?…2綜合c0,c,c,可合并成一個(gè)式子1Ptc=J2f(t)e-jnwdt, n=0,+1,+2,…，nTT25〕假設(shè)令w=nw,nn=0,土1,土2,…，貝y〔i〕式可寫(xiě)為f(t)=c+區(qū)(cejw”t+ce-jwnt)=藝cejw”t,0nn=16〕這就是傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的指數(shù)形式?；?qū)懗蒮(t)=T另Jn=—g-傅里葉積分定理nn=-gT2f(T)e一jw/dTejwnt。T27〕因?yàn)槿魏我粋€(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T 時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的，即豐fT(t)=f(t)。于是有f(t)=limTT+8丄藝JT_

n=-8T2f(T)e-jwnTdTe叫。TT2可以證明〔詳細(xì)過(guò)程可參閱文［46］〕，當(dāng)TT+8時(shí)，有J+8J+8f(T)e-jwTdTejwtdw,f(t)=丄2兀-8-88〕公式〔8〕稱為傅里葉積分公式。從而得到一個(gè)非周期函數(shù)可用傅里葉積分公式表示的傅里葉積分定理。傅里葉變換根據(jù)傅里葉積分定理，設(shè)9〕F(w)=J+8f(t)e-jwtdt9〕-8

f(t)-1J+sF(①)ej?d①， 〔10〕2兀一s從上兩式可以看出，f(t)和F(①)通過(guò)指定的積分運(yùn)算可以相互表達(dá)?！?〕式叫做f(t)的傅