第四章彈性桿件橫截面上切應(yīng)力分析講解

第四章彈性桿件橫截面上的切應(yīng)力剖析§4-1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力§4-2非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力§4-3梁橫力曲折時(shí)橫截面上的切應(yīng)力§4-4曲折中心§4-5小結(jié)請(qǐng)判斷哪一部件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)和剪切請(qǐng)判斷哪些部件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)傳動(dòng)軸請(qǐng)判斷軸受哪些力將發(fā)生什么變形關(guān)于實(shí)心截面桿件以及某些薄壁截面桿件,關(guān)于實(shí)心截面桿件以及某些薄壁截面桿件,當(dāng)其橫截面上僅有扭矩(M或剪力或剪力(F面上僅有扭矩z)或剪力Qy或FQz)時(shí),與這些內(nèi)力重量相時(shí)對(duì)應(yīng)的散布內(nèi)力,其作用面與橫截面重合.對(duì)應(yīng)的散布內(nèi)力,其作用面與橫截面重合.這時(shí)散布內(nèi)力在一點(diǎn)處的集度,即為切應(yīng)力在一點(diǎn)處的集度,即為切應(yīng)力.扭矩和剪力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力的方法不完整同樣.剖析與扭矩和剪力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力的方法不完整同樣剖析與扭矩和剪力對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力的方法不完整同樣.關(guān)于扭矩存在的情況,依舊借助于均衡,變形協(xié)調(diào)與物性關(guān)于扭矩存在的情況,依舊借助于均衡,關(guān)系,其過(guò)程與正應(yīng)力剖析相像.關(guān)于剪力存在的情況,關(guān)系,其過(guò)程與正應(yīng)力剖析相像.關(guān)于剪力存在的情況,在必定的前提下,則僅借助于均衡方程.在必定的前提下,則僅借助于均衡方程.本章要點(diǎn)介紹圓截面桿在扭矩作用下其橫截面切應(yīng)力本章要點(diǎn)介紹圓截面桿在扭矩作用下其橫截面切應(yīng)力以及矩形桿件的曲折切應(yīng)力剖析矩形桿件的曲折切應(yīng)力剖析.以及矩形桿件的曲折切應(yīng)力剖析.§4-1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力{P}kW{Me}N.m=9549{n}r/minMe(單位為Nm)——外扭轉(zhuǎn)力偶矩外扭轉(zhuǎn)力偶矩P(單位為kW)——軸傳達(dá)的功率軸傳達(dá)的功率n(單位為r/min)——軸的轉(zhuǎn)速軸的轉(zhuǎn)速T=Me(a)aABCDABγ(b)τC'τD'yτ′AdyBdx根D據(jù)dz力偶C均衡理論τ(τdydz)dx=(τ′dxdz)dy切x應(yīng)力τ互=等τ′定理z研究思路:研究思路:幾何關(guān)系應(yīng)變散布物理關(guān)系應(yīng)力散布均衡方程應(yīng)力表達(dá)式變形1平面假定及變形幾何關(guān)系即變形協(xié)調(diào)方程平面假定及變形幾何關(guān)系即變形變形協(xié)受扭后表面變形規(guī)律(1)各圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一細(xì)小轉(zhuǎn)角,對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一細(xì)小轉(zhuǎn)角,但大小形狀及互相間距不變.距不變.(2)因?yàn)槭切∽冃?各因?yàn)槭切∽冃?縱線平行地傾斜一個(gè)細(xì)小角度,以為仍為細(xì)小角度,直線;直線;因此各小方格變形后成為菱形.變形后成為菱形.1平面假定及變形幾何關(guān)系即變形協(xié)調(diào)方程平面假定及變形幾何關(guān)系即變形變形協(xié)平面假定變形前橫截面為圓形平面,變形后變形前橫截面為圓形平面,仍為圓形平面,不過(guò)各截面繞軸線相對(duì)"仍為圓形平面,不過(guò)各截面繞軸線相對(duì)"剛性地"轉(zhuǎn)了一個(gè)角度.剛性地"轉(zhuǎn)了一個(gè)角度.rd變形協(xié)調(diào)方程:γ(ρ)變=形ρ協(xié)調(diào)方程dx2物性關(guān)系剪切虎克定律若在彈性范圍內(nèi)加載,即切應(yīng)力小于某一極限值時(shí),關(guān)于大部分各向同性資料,切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在線性關(guān)系,以以下圖所示.于是有τ剪切胡克定律τ=Gγ物γ性關(guān)系與應(yīng)力散布τ=Gγdγ(ρ)=ρdxdτ結(jié)=論G:橫γ截=面G上ρ各dx點(diǎn)的切應(yīng)力與點(diǎn)結(jié)論橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力與點(diǎn)到截面中心的距離成正比,到截面中心的距離成正比,即切應(yīng)力沿截面的半徑呈線性散布.力沿截面的半徑呈線性分布.3靜力學(xué)方程dτρ=τ(ρ)=Gγ(ρ)=GdxρGIPdxd應(yīng)Mx力分=布靜力學(xué)方程∫ρτρdA=MAxIP=∫ρdA扭2轉(zhuǎn)A剛GIP度4—切應(yīng)力表達(dá)式dτ=Gγ=GρdxMxρτ(ρ)=IPdMx=dx切GIP應(yīng)力4表達(dá)式τρMxρd=Gρ=稱dx為圓IP軸的扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度.扭轉(zhuǎn)剛度IP為截面對(duì)此中心的極慣性矩GIP極慣性矩;極慣性矩最大切應(yīng)力為:最大切應(yīng)力為:MxρmaxMxτmax==IPWPWP=ρmaxIPWp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)關(guān)于直徑為d的實(shí)心圓截面πd4IP=,32π-DIP1=α,3244πd3WP=16πD1α-WP=163關(guān)于內(nèi),關(guān)于內(nèi),外直徑分別為d和D圓環(huán)截面()(4)α例=d/D題4-1實(shí)心圓軸與空心圓軸經(jīng)過(guò)牙嵌式離合器相聯(lián),實(shí)心圓軸與空心圓軸經(jīng)過(guò)牙嵌式離合器相聯(lián),例題并傳達(dá)功率,如右圖所示.已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min,并傳達(dá)功率,如右圖所示.已知軸的轉(zhuǎn)速,傳達(dá)的功率P=7.5kW.若要求兩者橫截面上的最大切應(yīng)傳達(dá)的功率.力均等于40Mpa,且已知空心圓軸的內(nèi),外徑之比力均等于,且已知空心圓軸的內(nèi),α=0.試5,確立實(shí)心軸的直徑和空心軸的外徑.,試確立實(shí)心軸的直徑和空心軸的外徑.例題4-2右圖所示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,功率從輪輸入,經(jīng)過(guò)右圖所示傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中,功率從輪B輸入輸入,例題錐形齒輪將其一半傳達(dá)給鉛垂C軸另一半傳達(dá)給H水錐形齒輪將其一半傳達(dá)給鉛垂軸,另一半傳達(dá)給水平軸.已知輸入功率P平軸.已知輸入功率1=14kw,水平軸和H)轉(zhuǎn)速,水平軸(E和轉(zhuǎn)速n1=n2=120r/min;錐齒輪和D的齒數(shù)分別為1=36,的齒數(shù)分別為Z;錐齒輪A和的齒數(shù)分別為,Z3=12;各軸的直徑分別為1=70mm,d2=50mm,;各軸的直徑分別為d,,d3=35mm,試確立各軸橫截面上的最大切應(yīng)力.,試確立各軸橫截面上的最大切應(yīng)力.34§-2非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力1截面翹曲截面翹曲——非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)試驗(yàn)結(jié)果表示:非圓正方形矩形,三角形,正方形,試驗(yàn)結(jié)果表示:非圓(正方形,矩形,三角形,橢圓形等)截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí),形等截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面外周線將改變本來(lái)的形并且不再位于同一平面內(nèi).狀,并且不再位于同一平面內(nèi).桿橫截面將不再保持平面,而發(fā)生翹曲翹曲.持平面,而發(fā)生翹曲2依據(jù)均衡獲得重要結(jié)論角點(diǎn)切應(yīng)力等于零重要結(jié)論邊沿各點(diǎn)切應(yīng)力沿切線方向3矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題矩形截面自由扭轉(zhuǎn)時(shí),矩形截面自由扭轉(zhuǎn)時(shí),橫截面上只有切應(yīng)力切應(yīng)力沒(méi)有橫截面上只有切應(yīng)力沒(méi)有正應(yīng)力.正應(yīng)力.(1)四個(gè)角點(diǎn)處剪應(yīng)力為零.(2)邊沿各點(diǎn)的切應(yīng)力與周邊相切,沿周邊方向形成剪流.(3)最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)處.3矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題長(zhǎng)邊中點(diǎn)處τmaxMx=WP短邊中點(diǎn)處WP=C1hb2τ1=Cτ'1單m位ax長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角Mxθ=1bb4Ghb3[0.21(14)]3h12h狹長(zhǎng)矩形截面h1C1=.333≈03τmax=3Mx厚h度δ2§4δ-3梁δ橫力曲折時(shí)橫截面上的切應(yīng)力1矩形截面梁假定1)(1)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力方向均平行于剪力F應(yīng)力方向均平行于剪力Q.(2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻)散布.散布.My1M*N1=∫σIdA=∫dA=SzIzIzA*A*(M+dM)y1(M+dM)*N2=

∫σ

II=∫dA=SzIzIzA*A*式中,*A為微塊的側(cè)面面積,σI(II)為面積σA*中距中性S=∫y1dA*zA*軸為y1處的正應(yīng)力.My1M*N1=∫σIdA=∫dA=SzIzIzA*A*(M+dM)y1(M+dM)*N2=∫σIIdA=∫dA=Sz平Iz衡Iz條A*件A*∑x=0N1+N2τ′b=0dxdM*Szτ′bdx=0IzdM=FQ,τ′=τdxdMSτ′=dxFQSbIz*z橫線上各點(diǎn)的剪應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)中性軸的靜矩.對(duì)中性軸的靜矩.此剪應(yīng)力計(jì)算公式也合用于其余截面形式的梁.Sz為面積A*關(guān)于矩形截面梁:bhS=∫y1dA=∫by1dy1=(y2)24A*zh2y2τ=FQSbIz*zFQ在hτ=(y2)2Iz中性軸上,y=0時(shí)在中性軸上,y=0時(shí)2τmax3FQ=2A式中A=bh,即矩形截面梁的即矩形截面梁的式中最大切應(yīng)力是其是其均勻剪應(yīng)最大切應(yīng)力是其均勻剪應(yīng)力的3/2倍力的倍.2圓形截面梁在中性軸上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行于剪力F設(shè)為均勻散布.在中性軸上各點(diǎn)剪應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q,設(shè)為均勻散布.τ=求得FQSbIz*zτmax式中A=4Q=3Aπ即4圓截面的最大剪應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的4/3倍.d2,3工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣構(gòu)成.依據(jù)計(jì)算公式,工字形截面梁由腹板和翼緣構(gòu)成.依據(jù)計(jì)算公式,在翼緣上切應(yīng)力很小,在腹板上切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化.切應(yīng)力很小,在腹板上切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化最大剪應(yīng)力在中性軸上,其值為:最大剪應(yīng)力在中性軸上,其值為:τmax=*FQ(S)maxzdI式Z中(Sz)max為中性軸一側(cè)截面面積對(duì)中性軸的靜矩.面積對(duì)中性軸的靜矩.關(guān)于軋制的工字鋼,的工字鋼,式中的Iz*(Sz)max能夠從型鋼表中查得.能夠從型鋼表中查得.計(jì)算結(jié)果表示,計(jì)算結(jié)果表明,腹板擔(dān)當(dāng)?shù)募袅s為(約為(0.95~0.97)FQ,所以也可)FQ用下式計(jì)算的近似值τmax≈h1d式中h為腹板的高度,為腹板的寬度為腹板的寬度.式中為腹板的高度,d為腹板的寬度.1切應(yīng)力流§4-4曲折中心關(guān)于薄壁截面,與剪力相對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力擁有以下明顯特點(diǎn):(1)依據(jù)切應(yīng)力成對(duì)定理,若桿件表面無(wú)切向力作用,則薄壁截面上的切應(yīng)力作用線必平行于截面周邊的切線方向,并形成切應(yīng)力流.(2)因?yàn)楸诤鼙?故切應(yīng)力沿壁厚方向可視為均勻散布.2觀察局部均衡即可獲得橫截面上切應(yīng)力公式τ=τ′=FS*Qz曲折δ中Iz心2關(guān)于薄壁截面,因?yàn)榍袘?yīng)力方向一定平行于截面周邊的切線方向,所以與切應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的散布力系向橫截面所在平面內(nèi)不一樣點(diǎn)簡(jiǎn)化,將獲得不一樣的結(jié)果.假如向某一點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果所得的主矢不