2022年新高考數(shù)學模擬試卷

2022年新高考數(shù)學模擬試卷（2）一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合，1，2，3，，，則集合中元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)A． B． C． D．3．（5分）已知函數(shù)，若實數(shù)，滿足，則的最小值為A． B．4 C．6 D．84．（5分）新冠肺炎疫情防控期間，7名醫(yī)學大學生志愿者到，，三個社區(qū)參加疫情聯(lián)防聯(lián)控工作，根據(jù)工作實際需要，社區(qū)要分配三名志愿者，，兩個社區(qū)各2名志愿者，則不同的分配方法共有A．210種 B．240種 C．420種 D．480種5．（5分）如果一個凸多面體的每個面都是全等的正多邊形，而且每個頂點都引出相同數(shù)目的棱，那么這個凸多面體叫做正多面體．古希臘數(shù)學家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究了正多面體的作圖，并證明了每個正多面體都有外接球．若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長之比為A． B． C． D．6．（5分）已知正的邊長為2，是邊邊上一點，且，則A．1 B．2 C．4 D．67．（5分）下列說法正確的是A．命題“，，使”的否定為“，，都有” B．命題“若向量與的夾角為銳角，則”及它的逆命題均為真命題 C．命題“在銳角中，”為真命題 D．命題“若，則”的逆否命題為真命題8．（5分）已知，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）記數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列說法正確的是A．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列” B．若是等差數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則公差 C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列” D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比10．（5分）甲、乙兩類水果的質量（單位：分別服從正態(tài)分布，，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是A．乙類水果的平均質量 B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右 C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小 D．乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的參數(shù)11．（5分）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是A．直線與平面所成的角等于 B．點到面的距離為 C．兩條異面直線和所成的角為 D．二面角的平面角的余弦值為12．（5分）已知函數(shù)．則下面結論正確的是A．是奇函數(shù) B．在，上為增函數(shù) C．若，則 D．若，則三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）已知復數(shù)，則．14．（5分）若函數(shù)稱為“準奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)，，使得對定義域內的任意值，均有，請寫出一個，的“準奇函數(shù)”（填寫解析式）．15．（5分）如圖，圓柱的底面圓半徑為1，是一條母線，是的直徑，是上底面圓周上一點，，若，兩點間的距離為，則圓柱的高為，異面直線與所成角的余弦值為．16．（5分）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅（杰出數(shù)學家祖沖之的兒子），提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．已知曲線，直線為曲線在點處的切線．如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體為．過，作的水平截面，所得截面面積（用表示），試借助一個圓錐，并利用祖暅原理，得出體積為．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）若數(shù)列的首項為1，且，（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，求證：數(shù)列的前項和．18．（12分）某商場購進一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發(fā)現(xiàn)：銷售單價（元件）與每天銷售量（種之間滿足如圖所示的關系．（1）求出與之間的函數(shù)關系式；（2）寫出每天的利潤與銷售單價之間的函數(shù)關系式，并求出售價定為多少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？19．（12分）已知直三棱柱中，為正三角形，，為的中點．點在棱上，且．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20．（12分）進入冬天，大氣流動性變差，容易形成霧握天氣，從而影響空氣質量．某城市環(huán)保部門試圖探究車流量與空氣質量的相關性，以確定是否對車輛實施限行．為此，環(huán)保部門采集到該城市過去一周內某時段車流量與空氣質量指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：時間周一周二周三周四周五周六周日車流量萬輛）1099.510.51188.5空氣質量指數(shù)78767779807375（1）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求關于的線性回歸方程．（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2，則認為得到的線性回歸方程是可靠的．請根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？注：回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為，．21．（12分）已知橢圓過點，且以，，為焦點，橢圓的離心率為．（1）求實數(shù)的值；（2）過左焦點的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，問橢圓上是否存在點，使線段和線段相互平分？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．22．（12分）已知函數(shù)有兩個不同零點，．（1）求的取值范圍；（2）證明：當時，．

2022年新高考數(shù)學模擬試卷（2）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合，1，2，3，，，則集合中元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，1，2，3，，，，1，2，，中元素的個數(shù)為：4．故選：．2．（5分）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)A． B． C． D．【解答】解：，．故選：．3．（5分）已知函數(shù)，若實數(shù)，滿足，則的最小值為A． B．4 C．6 D．8【解答】解：由于故，則，，，由于，故，故選：．4．（5分）新冠肺炎疫情防控期間，7名醫(yī)學大學生志愿者到，，三個社區(qū)參加疫情聯(lián)防聯(lián)控工作，根據(jù)工作實際需要，社區(qū)要分配三名志愿者，，兩個社區(qū)各2名志愿者，則不同的分配方法共有A．210種 B．240種 C．420種 D．480種【解答】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：①先在7名大學生志愿者中任選3人，安排到社區(qū)，有種安排方法，②在剩下的4名大學生中任選2人，安排到社區(qū)，有種安排方法，③剩下的2名大學生安排到社區(qū)，有1種安排方法，則有種安排方法，故選：．5．（5分）如果一個凸多面體的每個面都是全等的正多邊形，而且每個頂點都引出相同數(shù)目的棱，那么這個凸多面體叫做正多面體．古希臘數(shù)學家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究了正多面體的作圖，并證明了每個正多面體都有外接球．若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長之比為A． B． C． D．【解答】解：①設正四面體的棱長為，所以利用勾股定理的應用：，解得．②正方體的棱長為，則：，解得：．③設正八面體的棱長為，所以：，解得，所以：．故選：．6．（5分）已知正的邊長為2，是邊邊上一點，且，則A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：，，，且，．故選：．7．（5分）下列說法正確的是A．命題“，，使”的否定為“，，都有” B．命題“若向量與的夾角為銳角，則”及它的逆命題均為真命題 C．命題“在銳角中，”為真命題 D．命題“若，則”的逆否命題為真命題【解答】解：①命題“，，使”的否定為“，，都有”，則項錯誤；②命題“若向量與的夾角為銳角，則”的逆命題為“若，則向量與的夾角為銳角”，當時，向量與的夾角為銳角或0，假命題，則項錯誤；③在銳角中，，，，則項情誤；④命題“若，則”為真命題，則其逆否命題為真命題，則項正確．故選：．8．（5分）已知，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．【解答】解：由，，，得：，故選：．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）記數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列說法正確的是A．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列” B．若是等差數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則公差 C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列” D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比【解答】解：若是等差數(shù)列，且公差，當，可得，數(shù)列為“和有界數(shù)列”；當，可得，數(shù)列不為“和有界數(shù)列”，故錯誤；若是等差數(shù)列，且數(shù)列為“和有界數(shù)列”，可得存在實數(shù)，使得對任意的，都有，即恒成立，可得，故正確；若是等比數(shù)列，且公比，，則是“和有界數(shù)列”，故正確；若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，若，即當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，可得存在實數(shù)，使得對任意的，都有，故錯誤．故選：．10．（5分）甲、乙兩類水果的質量（單位：分別服從正態(tài)分布，，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是A．乙類水果的平均質量 B．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右 C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小 D．乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【解答】解：由圖象可知甲圖象關于直線對稱，乙圖象關于直線對稱，，，故正確，正確，甲圖象比乙圖象更“高瘦”，甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右，故正確；乙圖象的最大值為1.99，即，，故錯誤．故選：．11．（5分）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是A．直線與平面所成的角等于 B．點到面的距離為 C．兩條異面直線和所成的角為 D．二面角的平面角的余弦值為【解答】解：如圖，取的中點，連接，易證平面，所以是直線與平面所成的角，為，故正確；點到平面的距離為的長度，為，故正確；易證，所以異面直線和所成的角為或其補角，因為為等邊三角形，所以兩條異面直線和所成的角為，故錯誤；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故錯誤．故選：．12．（5分）已知函數(shù)．則下面結論正確的是A．是奇函數(shù) B．在，上為增函數(shù) C．若，則 D．若，則【解答】解：已知函數(shù)．則，故函數(shù)為偶函數(shù)，故選項錯誤；當時，．，所以函數(shù)為增函數(shù)，故選項正確；當時，由基本不等式得，當且僅當時等號成立，又由在上為增函數(shù)，所以（2），又由函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，，綜上，當時，，選項正確；由與函數(shù)為偶函數(shù)，由，得，則，解得，故選項正確．故選：．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）已知復數(shù)，則．【解答】解：，，則．故答案為：．14．（5分）若函數(shù)稱為“準奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)，，使得對定義域內的任意值，均有，請寫出一個，的“準奇函數(shù)”（填寫解析式）．【解答】解：由，可得“準奇函數(shù)”的圖像關于點對稱，若，，即函數(shù)的圖像關于點對數(shù)，如的圖像關于點對數(shù)．故答案為：．15．（5分）如圖，圓柱的底面圓半徑為1，是一條母線，是的直徑，是上底面圓周上一點，，若，兩點間的距離為，則圓柱的高為2，異面直線與所成角的余弦值為．【解答】解：連接，由題意可得，，又，所以，因為底面，所以，在中，，，所以，即圓柱的高為2．連接并延長交圓于點，連接，則且，所以異面直線與所成的角為或其補角，由，，，可得，在中，，，，所以，即異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：2，．16．（5分）我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅（杰出數(shù)學家祖沖之的兒子），提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．已知曲線，直線為曲線在點處的切線．如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體為．過，作的水平截面，所得截面面積（用表示），試借助一個圓錐，并利用祖暅原理，得出體積為．【解答】解：過點的直線與拋物線的交點為，，．直線為曲線在點處的切線，則切線的斜率為，切線方程為．過點的直線與切線的交點為，，用平行于底面的平面截幾何體所得截面為圓環(huán)，截面面積為；取底面直徑與高均為1的圓錐，用一個平行于底面的平面截圓錐，得到截面為圓，圓的半徑為，截面面積為，符合題意．則體積等于圓錐的體積等于．故答案為：，．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）若數(shù)列的首項為1，且，（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，求證：數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）證明：，，，而，是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，；（3）證明：，，，．18．（12分）某商場購進一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發(fā)現(xiàn)：銷售單價（元件）與每天銷售量（種之間滿足如圖所示的關系．（1）求出與之間的函數(shù)關系式；（2）寫出每天的利潤與銷售單價之間的函數(shù)關系式，并求出售價定為多少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【解答】解：（1）依題意可設與之間的函數(shù)關系式為：，由題意可知，點和點在函數(shù)圖象上，代入得，解得，所以與之間的函數(shù)關系式為：；（2）由題意可知，每天的利潤，即，所以當售價定為130時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1600元．19．（12分）已知直三棱柱中，為正三角形，，為的中點．點在棱上，且．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取中點，連接，設，以為坐標原點，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，，，，，直線平面．（Ⅱ），設平面的法向量為，，不妨取，則，．，平面的法向量為，設二面角的平面角為，．20．（12分）進入冬天，大氣流動性變差，容易形成霧握天氣，從而影響空氣質量．某城市環(huán)保部門試圖探究車流量與空氣質量的相關性，以確定是否對車輛實施限行．為此，環(huán)保部門采集到該城市過去一周內某時段車流量與空氣質量指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：時間周一周二周三周四周五周六周日車流量萬輛）1099.510.51188.5空氣質量指數(shù)78767779807375（1）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求關于的線性回歸方程．（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)