專題12圓（基礎知識）（原卷版）

專題12圓（基礎知識）一、知識梳理一、圓的基本概念圓的定義（1）從畫圓的角度：在一個平面內，線段OA繞固定的端點O旋轉一周，另外一個端點A的軌跡形成的圖形叫做圓．（2）從集合的角度：平面內到一個定點距離相等的所有的點組成的集合叫做圓．表示：若圓心為O，通常記為“”，線段OA叫做半徑．相關概念：同圓、同心圓、等圓圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，確定了圓心和半徑即確定了圓．圓心半徑同圓相同相同同心圓相同不相同等圓不作要求相同三角形外接圓定理：過平面中不共線的三點，有且只能畫一個圓．外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫三角形外接圓．任意三角形都有且僅有一個外接圓．外心：外接圓的圓心叫外心．

弦和弧【與三角形、四邊形相比，圓沒有邊也沒有角，所以，得造出些邊角．】（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦．特別地，直徑是最長的弦，但半徑不是弦．（2）?。簣A上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱：?。雸A：直徑把圓分為兩個完全相同的部分，每個部分都叫半圓，半圓也是??；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧，為了區(qū)分，優(yōu)弧AB可記為；劣?。盒∮诎雸A的弧，通常指劣弧AB．【易錯點】在同圓或等圓中，長度相等的弧叫等?。袛囝}：長度相等的弧叫等弧（×）分析：等弧不僅強調長度相等，也要求形狀一樣，簡單說，要能完全重合才叫等?。畧A心角、圓周角（1）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角；（2）圓周角：頂點在圓上，且兩邊和圓相交的角叫做圓周角．【小結】考慮圓本身并無邊、角，所以弧、弦、圓心角、圓周角將會是圓中重點研究的對象．

二、圓中三大基本定理垂徑定理（1）定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?）逆定理：平分弦（該弦非直徑）的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．【逆定理里要排除掉一種情況：任意兩條直徑均互相平分，但并不一定互相垂直．】【小結】垂徑定理與逆定理結合，可得的結果就是：直徑與弦，垂直與平分可互推．（3）垂徑定理應用如圖，圓心和弦的距離稱為“弦心距”，即圖中的OE．△OED和△OEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式：在這里可以給條件作變化，但終究還是利用勾股定理求得線段長度，若無直角三角形，無腦作垂直即可．【小結】關于求弦長：欲求弦長，先求弦長的一半．弧、弦、圓心角關系定理：（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．當∠AOB=∠COD時，則AB=CD，【圓的旋轉對稱性：當∠AOB=∠COD時，將△AOB繞O點旋轉，可與△COD重合．】（2）推論：在同圓或等圓中，若兩個圓心角、兩條弧、兩條弦有一組量相等，那么它們所對應的其它各組量分別相等．圓周角定理（1）定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半．證明：連接AO并延長交圓于D點，易證：,，∴，即．（2）推論：①同圓或等圓中，若兩個圓周角相等，則它們所對的弧也相等．②直徑所對的圓周角是直角．③圓的內接四邊形對角互補，外角等于內對角．即∠A+∠BCD=180°，∠A=∠DCE．

【補充】關于四點共圓（課內不作要求）：若A、B、C、D四點共圓，則有：（1）四邊形對角互補；（2）∠1=∠7，∠2=∠4，∠3=∠6，∠5=∠8；（3）△PAB∽△PDC，△PAD∽△PBC；（4）托勒密定理：．如何判定四點共圓？以上三條中的任意一個條件都可判定“四點共圓”．即性質與判定可互推．

三、直線與圓的位置關系點與圓的位置關系（1）點在圓上； （2）點在圓內； （3）點在圓外．【小結】具體的位置關系由圓的半徑r和點到圓心的距離d的大小關系決定．直線與圓的位置關系（1）相離：直線與圓無公共點；（2）相切：直線與圓有且僅有一個公共點；（3）相交：直線與圓有兩個公共點．r<d r=d r>d【小結】具體的位置關系由圓的半徑r與圓心到直線的距離d的大小關系決定．切線（1）性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．應用：連半徑，得垂直．（2）推論：①經過圓心且垂直于切線的直線比經過切點．②經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（3）切線的判定①定義：與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；②距離法：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【思考】如何選擇距離法與判定定理？【策略】切線長（1）定義：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長度叫做這點到圓的切線長．如圖，過圓外一點P作圓的切線PA交圓于A點，則PA的長叫做P到圓O的切線長．（2）切線長定理①由圓外一點作圓的兩條切線，其切線長相等：PA=PB；②圓心與這個點的連線平分兩條切線形成的夾角：∠OPA=∠OPB．弦切角（1）定義：頂點在圓上，一邊和圓相切，另一邊和圓相切的角叫弦切角．（2）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．（不能直接用）四、正多邊形與圓正多邊形（1）各條邊相等，且各個內角也都相等的多邊形叫正多邊形．（2）正多邊形相關概念①中心：正多邊形外接圓的圓心；②半徑：正多邊形外接圓的半徑；③中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角；邊心距：中心到正多邊形邊的距離．（3）重新認識正三、四、六邊形通過這里的特殊角，可以計算“邊：邊心距：半徑”．（4）性質正多邊形是軸對稱圖形，有n條對稱軸正偶數邊形是中心對稱圖形，但正奇數邊形不是，所以正多邊形也是旋轉對稱圖形．

五、扇形與圓錐扇形（1）定義：一條弧和經過這兩條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形．【扇形相當于圓的一個部分，圓就是圓心角為360°的扇形．】①圓心角（n）：∠AOB； ②半徑（r）：OA、OB； ③弧（l）：（2）兩個重要公式：①弧長：②面積：或（將用l替換掉，結果類似于三角形面積公式）圓錐（1）定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．（2）高（h）：圓錐的頂點和圓錐的底面圓心之間的距離；（3）母線（l）：底面圓周上任意一點到頂點的距離；（側面展開形成扇形的半徑）（4）側面積（）：側面展開（是個扇形）的面積；（5）表面積（S）：側面展開扇形面積+底面圓面積（）【劃重點】側面展開扇形弧長=底面圓周長：→陰影部分面積（1）割補法：割割補補，哪里需要補哪里（2）拼湊法：拼拼湊湊，拼湊出新的圖形（3）等積變形利用平行線間距離處處相等，可找到等面積三角形．

六、圓中的相似相交弦定理（1）定理：如圖，弦AB與弦CD交于圓O內一點P，則PA·PB=PC·PD．（2）證明：連接AD、BC，根據有圓周角定理可得：∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，∴△APD∽△CPB，∴∴PA·PB=PC·PD

切割線定理（1）定理：如圖，P為圓O外一點，PA是圓的切線，PC是圓的割線，求證：．（2）證明：連接AB、AC，根據弦切角定理，可得：∠PAB=∠C，又∠P是公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴．

割線定理（1）定理：如圖，P是圓O外一點，PB、PD是圓的兩條割線，則PA·PB=PC·PD．（2）證明：法一：連接AC、BD，根據圓內接四邊形外角等于內對角，可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，∴△PAC∽△PDB，∴，∴．法二：連接AD、BC，根據圓周角定理，可得：∠B=∠D，又∠P是公共角，∴△PAD∽△PCB，∴∴．二、中考真題演練一、垂徑定理1．（2020?濱州）在中，直徑，弦于點，若，則的長為A．6 B．9 C．12 D．152．（2021?長沙）如圖，在中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則的度數為．3．（2021?自貢）如圖，為的直徑，弦于點，于點，若，，則的長度是A．9.6 B． C． D．104．（2021?牡丹江）半徑為的圓中，垂直平分半徑的弦長為．5．（2021?涼山州）點是內一點，過點的最長弦的長為，最短弦的長為，則的長為6．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標系中，直線與相交于，兩點，且點在軸上，則弦的長為．7．（2020?武漢）如圖，在半徑為3的中，是直徑，是弦，是的中點，與交于點．若是的中點，則的長是A． B． C． D．8．（2021?淄博）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現在的幾何語言表達即：如圖，為的直徑，弦，垂足為點，寸，寸，則直徑的長度是A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸9．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端，量的弧的中心到的距離，，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為4．10．（2021?鄂州）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2．已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點為運行軌道的最低點，則點到弦所在直線的距離是A．1米 B．米 C．2米 D．米11．（2021?柳州）往水平放置的半徑為的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度，則水的最大深度為A． B． C． D．12．（2021?青海）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為A．1.0厘米分 B．0.8厘米分 C．1.2厘米分 D．1.4厘米分13．（2020?廣州）往直徑為的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為A． B． C． D．14．（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧，點是這段弧所在圓的圓心，，點是的中點，點是的中點，且，則這段彎路所在圓的半徑為A． B． C． D．15．（2021?西寧）如圖，是的直徑，弦于點，，，則的半徑．16．（2020?寧夏）我國古代數學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。娩徣ヤ忂@木材，鋸口深寸，鋸道長尺尺寸）．問這根圓形木材的直徑是26寸．二．弧、弦、圓心角的關系+圓周角定理1．（2021?鞍山）如圖，為的直徑，，為上的兩點，若，則的度數為A． B． C． D．2．（2021?阜新）如圖，，，是上的三點，若，則的度數是A． B． C． D．3．（2021?牡丹江）如圖，點，，為上的三點，，，則的度數為A． B． C． D．4．（2021?桂林）如圖，是的直徑，點是上一點，連接，，則的度數是A． B． C． D．5．（2021?赤峰）如圖，點，在以為直徑的半圓上，且，點是上任意一點，連接、．則的度數為A． B． C． D．6．（2021?常州）如圖，是的直徑，是的弦，若，則的度數是A． B． C． D．7．（2021?黃石）如圖，、是上的兩點，，交于點，則等于A． B． C． D．8．（2021?吉林）如圖，四邊形內接于，點為邊上任意一點（點不與點，重合）連接．若，則的度數可能為A． B． C． D．9．（2021?海南）如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，連接．若，則的度數是A． B． C． D．10．（2021?宜昌）如圖，，是上直徑兩側的兩點，設，則A． B． C． D．11．（2021?聊城）如圖，，，是半徑為1的上的三個點，若，，則的度數為A． B． C． D．12．（2021?長沙）如圖，點，，在上，，則的度數為A． B． C． D．13．（2021?邵陽）如圖，點，，是上的三點．若，，則的大小為A． B． C． D．14．（2021?嘉峪關）如圖，點，，，，在上，，，則A． B． C． D．15．（2021?眉山）如圖，在以為直徑的中，點為圓上的一點，，弦于點，弦交于點，交于點．若點是的中點，則的度數為A． B． C． D．16．（2021?重慶）如圖，是的直徑，，是的弦，若，則的度數為A． B． C． D．17．（2021?重慶）如圖，四邊形內接于，若，則的度數是A． B． C． D．二．填空題（共8小題）18．（2021?寧夏）如圖，四邊形是的內接四邊形，，弦，則的半徑等于．19．（2021?阿壩州）如圖，，，是上的三個點，，則的度數為．20．（2021?朝陽）已知的半徑是7，是的弦，且的長為，則弦所對的圓周角的度數為．21．（2021?淮安）如圖，是的直徑，是的弦，，則的度數是．22．（2021?徐州）如圖，是的直徑，點、在上，若，則．23．（2021?黑龍江）如圖，在中，是直徑，弦的長為，點在圓上且，則的半徑為．24．（2021?鹽城）如圖，在內接四邊形中，若，則．25．（2021?常德）如圖，已知四邊形是圓的內接四邊形，，則．三、正多邊形與圓+扇形面積弧長+圓錐一．正多邊形和圓（共2小題）1．（2021?興安盟）一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數是A．3 B．6 C．8 D．122．（2021?赤峰）如圖，在擰開一個邊長為的正六角形螺帽時，扳手張開的開口，則邊長．二．弧長的計算（共12小題）3．圖1是一把扇形書法紙扇，圖2是其完全打開后的示意圖，外側兩竹條和的夾角為，的長為，貼紙部分的寬為，則的長為A． B． C． D．4．（2021?牡丹江）一條弧所對的圓心角為，弧長等于半徑為的圓的周長的5倍，則這條弧的半徑為A． B． C． D．5．（2021?梧州）若扇形的半徑為3，圓心角為，則此扇形的弧長是A． B． C． D．6．（2021?臺灣）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為，則另一個扇形的圓心角度數是多少？A．30 B．60 C．105 D．2107．（2021?蘭州）如圖，傳送帶的一個轉動輪的半徑為，轉動輪轉，傳送帶上的物品被傳送，則．8．（2021?哈爾濱）一個扇形的弧長是，圓心角是，則此扇形的半徑是．9．（2021?長春）如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，半徑的長度為200米，圓心角，則這段鐵軌的長度為米．（鐵軌的寬度忽略不計，結果保留10．（2021?婁底）如圖所示的扇形中，已知，，，則．11．（2021?河南）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，均在小正方形的頂點上，且點，在上，，則的長為．12．（2021?溫州）若扇形的圓心角為，半徑為17，則扇形的弧長為．13．（2021?泰州）扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的弧長為．14．（2021?綏化）一條弧所對的圓心角為，弧長等于半徑為的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為．三．扇形面積的計算（共3小題）15．（2021?衢州）已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的面積是A． B． C． D．16．（2021?青海）如圖，一根長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊（羊只能在草地上活動）那么小羊在草地上的最大活動區(qū)域面積是A． B． C． D．17．（2021?郴州）如圖，方老師用一張半徑為的扇形紙板，做了一個圓錐形帽子（接縫忽略不計）．如果圓錐形帽子的半徑是，那么這張扇形紙板的面積是（結果用含的式子表示）．四．圓錐的計算（共21小題）18．（2021?德陽）已知圓錐的母線長為3，底面圓半徑為1，則圓錐側面展開圖的圓心角為A． B． C． D．19．（2021?鎮(zhèn)江）設圓錐的底面圓半徑為，圓錐的母線長為，滿足，這樣的圓錐的側面積A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值20．（2021?湖北）用半徑為，圓心角為的扇形紙片恰好能圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面半徑為A． B． C． D．21．（2021?河池）如圖，圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角是．22．（2021?西藏）已知一個圓錐的底面圓半徑是2，母線長是6．則圓錐側面展開圖的扇形圓心角度數是．23．（2021?興安盟）將圓心角為的扇形圍成底面圓的半徑為的圓錐，則圓錐的母線長為．24．（2021?淮安）若圓錐的側面積為，底面半徑為3，則該圓錐的母線長是．25．（2021?南通）圓錐的母