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一、本單元的內(nèi)容要本節(jié)要點積分性質(zhì)第一類曲面積分的方法第二類曲面積分的定義;二、本單元的教學(xué)要三、本單元教學(xué)的重點與難第一類曲面積分的 i M , 0是一片光滑曲面,函數(shù)f(xyz)在曲面上劃分成有限多個小塊△1△2…△ n(iii)nf(i,i,iif(x,y,即nf(x,y,z)dslimf(i,i,in 0積分性性質(zhì) f(x,y,n nf(x,y,z)dsf(x,y, 若函數(shù)f(x,y,z)為曲面上的密度函數(shù)(x,y,z),則M(x,y,第一類曲面積分的
zz(x,yxyD給出,Df(x,y,z)ds fx,y,z(x,y)1z2z2d
(1 nf(x,y,z)dslimf(i,i,i 0將曲面分割成n個小曲面塊,在第i個曲面塊?i上點(iii),在xoy平面上的投影為?Di,則
i,i,iz
i,iS 1z2(x,y)z2(x,
i x S 1z2(,)z2( 注意i,i,i,i均為小閉區(qū)域Di中的點,因nf(i,i,i)sininf[,,z(,n
1z2(,)z2(,i
1z2(x,y)1z2(x,y)z2(x,xiynf[,,z(n
)]1z2(,)z2(i
nf(x,y,z)ds in
f(i,i,i 0i
f[,,z(,)]1z2(,)z2(, f[,,z(,)]1z2(,)z2(,DR2x2例 求x2y2dsR2x2解
,
RRx2Rx2Rx21z2yyRx2yyRx2 x2y2ds Rx2 4
d
Rr5cos2sin2 R2R2 42sin2sin4d 41142R622425
R6sin5x2 求(xyz)ds,其中x2
0z解由于積分區(qū)域關(guān)于xozyoz (xyz)dszds
D
x2y2 22
2d 2 2
ds其中為圓柱面x2+y2=R2x x
y2zz=0和z=H之間的部解由對稱性,設(shè) ds4 ds.x2y2z xx1
y2z 設(shè)D為1在yoz平面上的投影, Dy,z0yR,0zH x ds
dsx x
y2z
y2z4D4
R zHzH
dz
dxdzRRxRRxRxRx R2RlnR2z2 arcsinR
RR HR 求f(x,y,z)ds,其中為球面x2+y2+z2=a2,x2x2x2x2 z解22 y2
,z 設(shè)球面被錐面截下的上面部分為1,則由f(x,y,z)的表f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds a2x2x2a2x2D
y22d
23
aa22daa22
a4sin3 22a4cost1cos3t 2 第二類曲面積分的,n 1z21z2xy 1z2xy 1z2xy vx,yz)Px,yz)iQx,yz)jRx,yz)k是一面積為S SvcosSv其中en為平面的單位法向量,為平面與法向量之間的將曲面分割成n個小曲面?1,?2,…,n。在上取點(i,i,i),當(dāng)?I的直徑很小時,相應(yīng)的流量,,,,,,s z?z?oxyn i,i,i,eni,i,isi令=max{d(?i)}0 00 vi,i,i,eni,i,i定 F(x,y,z)
P(x,y,z)iQ(x,y,z)j
R(x,y,
F(x,yz)F(x,y, F(x,y,z)dsFi,i,i,eni,i,i, encosicosjcosk, R(x,y,z)cos]dsP(x,y,z)cosdsQ(x,y, R(x,y,第二類曲面積分的設(shè)曲面,方程z=z(x,y),曲面在xoy平面上的投影 1z21z2xy
,
R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cos 1z2xyR[x,1z2xyDR[x,y,z(x,D若取下側(cè),則
1z2z2R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x, P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y, Q(x,y,z)dxdzQ[x,y(x,z),z]dxdz. 例 求積分zdxdy,其中為半球面z ax2 曲面在xoy平面上的投影Dx,yx2y2 aazdxdy a2x2y2d d
a22d 22a3sintcos2tdt a3 例 求積分x2dydzy2dzdxz2dxdy其中為球解x2dydzy2dzdxz2dxdy3z2dxdy, 3z2dxdy31x2y2
32d
12 a3
4
4
3a4.8 R2x2例 R2x2
x2y2Rx解xz2dxdyxR2x2y222
2R22d2R52
2R51214226
0 33 553 設(shè)曲面的方程為z=z(x,y)xoy平面上的投影為D,函數(shù)P,Q,R上連續(xù),則P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,DRx,y,z(x, zdxdyxydzdx,:zx2y2,x0,y0,0z解zdxdyxydzdx2xy2x2y2 d
cossin
d
sind2 x2y3zx2
:zaax2Dx,yx2y2x2y2y3z2x2y2(y3a2D
a2x2a2x2a2x2 x2a2x2 x2D 2d
a222
0
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