課件高數(shù)同濟完美版

一、本單元的內(nèi)容要本節(jié)要點積分性質(zhì)第一類曲面積分的方法第二類曲面積分的定義;二、本單元的教學(xué)要三、本單元教學(xué)的重點與難第一類曲面積分的 i M , 0是一片光滑曲面，函數(shù)f(xyz)在曲面上劃分成有限多個小塊△1△2…△ n(iii)nf(i,i,iif(x,y,即nf(x,y,z)dslimf(i,i,in 0積分性性質(zhì) f(x,y,n nf(x,y,z)dsf(x,y, 若函數(shù)f(x,y,z)為曲面上的密度函數(shù)(x,y,z)，則M(x,y,第一類曲面積分的

zz(x,yxyD給出，Df(x,y,z)ds fx,y,z(x,y)1z2z2d

(1 nf(x,y,z)dslimf(i,i,i 0將曲面分割成n個小曲面塊，在第i個曲面塊?i上點(iii)，在xoy平面上的投影為?Di，則

i,i,iz

i,iS 1z2(x,y)z2(x,

i x S 1z2(,)z2( 注意i,i,i,i均為小閉區(qū)域Di中的點，因nf(i,i,i)sininf[,,z(,n

1z2(,)z2(,i

1z2(x,y)1z2(x,y)z2(x,xiynf[,,z(n

)]1z2(,)z2(i

nf(x,y,z)ds in

f(i,i,i 0i

f[,,z(,)]1z2(,)z2(, f[,,z(,)]1z2(,)z2(,DR2x2例 求x2y2dsR2x2解

,

RRx2Rx2Rx21z2yyRx2yyRx2 x2y2ds Rx2 4

d

Rr5cos2sin2 R2R2 42sin2sin4d 41142R622425

R6sin5x2 求(xyz)ds，其中x2

0z解由于積分區(qū)域關(guān)于xozyoz (xyz)dszds

D

x2y2 22

2d 2 2

ds其中為圓柱面x2+y2=R2x x

y2zz=0和z=H之間的部解由對稱性，設(shè) ds4 ds.x2y2z xx1

y2z 設(shè)D為1在yoz平面上的投影， Dy,z0yR,0zH x ds

dsx x

y2z

y2z4D4

R zHzH

dz

dxdzRRxRRxRxRx R2RlnR2z2 arcsinR

RR HR 求f(x,y,z)ds,其中為球面x2+y2+z2=a2，x2x2x2x2 z解22 y2

,z 設(shè)球面被錐面截下的上面部分為1，則由f(x,y,z)的表f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds a2x2x2a2x2D

y22d

23

aa22daa22

a4sin3 22a4cost1cos3t 2 第二類曲面積分的,n 1z21z2xy 1z2xy 1z2xy vx,yz)Px,yz)iQx,yz)jRx,yz)k是一面積為S SvcosSv其中en為平面的單位法向量，為平面與法向量之間的將曲面分割成n個小曲面?1,?2,…,n。在上取點(i,i,i)，當(dāng)?I的直徑很小時，相應(yīng)的流量,,,,,,s z?z?oxyn i,i,i,eni,i,isi令=max{d(?i)}0 00 vi,i,i,eni,i,i定 F(x,y,z)

P(x,y,z)iQ(x,y,z)j

R(x,y,

F(x,yz)F(x,y, F(x,y,z)dsFi,i,i,eni,i,i, encosicosjcosk, R(x,y,z)cos]dsP(x,y,z)cosdsQ(x,y, R(x,y,第二類曲面積分的設(shè)曲面，方程z=z(x,y)，曲面在xoy平面上的投影 1z21z2xy

,

R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cos 1z2xyR[x,1z2xyDR[x,y,z(x,D若取下側(cè)，則

1z2z2R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x, P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y, Q(x,y,z)dxdzQ[x,y(x,z),z]dxdz. 例 求積分zdxdy，其中為半球面z ax2 曲面在xoy平面上的投影Dx,yx2y2 aazdxdy a2x2y2d d

a22d 22a3sintcos2tdt a3 例 求積分x2dydzy2dzdxz2dxdy其中為球解x2dydzy2dzdxz2dxdy3z2dxdy, 3z2dxdy31x2y2

32d

12 a3

4

4

3a4.8 R2x2例 R2x2

x2y2Rx解xz2dxdyxR2x2y222

2R22d2R52

2R51214226

0 33 553 設(shè)曲面的方程為z=z(x,y)xoy平面上的投影為D，函數(shù)P,Q,R上連續(xù)，則P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,DRx,y,z(x, zdxdyxydzdx,:zx2y2,x0,y0,0z解zdxdyxydzdx2xy2x2y2 d

cossin

d

sind2 x2y3zx2

:zaax2Dx,yx2y2x2y2y3z2x2y2(y3a2D

a2x2a2x2a2x2 x2a2x2 x2D 2d

a222

0