2021-2022學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(B卷)(解析版)

2021-2022學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（B卷）一、單選題1．若三個(gè)數(shù)8，A，2成等差數(shù)列，則A（）A．±5B．±4C．5D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)公式求解即可．【詳解】三個(gè)數(shù)8，，2成等差數(shù)列，則2A28，所以A5．A故選：C2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．B．1xsinxcosxlnxD．C．1x3x13xx2x【答案】D【分析】利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一求導(dǎo)即可.【詳解】選項(xiàng)A.sinxcosx,故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.1x1,故選項(xiàng)B不正確.x2ln33選項(xiàng)C.3,故選項(xiàng)C不正確.xx選項(xiàng)D.11x2x,故選項(xiàng)D正確.2x故選：D3．設(shè)為數(shù)列n21，則a=（）5的前n項(xiàng)和，且SSannnA．26【答案】DB．19C．11D．9【分析】先求得a，然后求得a.5n【詳解】依題意Sn21，n當(dāng)n1時(shí)，aS2，11當(dāng)n2時(shí)，Sn121n22n2，n1第1頁共12頁aSS2n1，nn2,n1a2n1,n2，n5故選：D，則f1（）4．已知函數(shù)2A．2【答案】BD．1【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)fx，然后求得【詳解】fx22x1242x1，f14．所以yfx對(duì)于函數(shù)的描述正A．在,0上為減函數(shù)xB．在0處取得最大值C．在4,上為減函數(shù)D．在x2處取得最小值【答案】C【詳解】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0的關(guān)系以及極值的定義可進(jìn)行判定即可．詳解：根據(jù)函數(shù)當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．可知C正確，A錯(cuò)誤；第2頁共12頁由極值的定義可知，f（x）在x=0處函數(shù)f（x）取到極大值，x=2處函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，但極大值不一定為最大值，極小值不一定是最小值；可知B、D錯(cuò)誤．故選C．點(diǎn)睛：由導(dǎo)函數(shù)圖象推斷原函數(shù)的性質(zhì)，由f′（x）＞0得增區(qū)間，由f′（x）＜0得減區(qū)間，由f′（x）=0得到的不一定是極值點(diǎn)，需判斷在此點(diǎn)左右f′（x）的符號(hào)是否發(fā)生改變.6．高二（1）班4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的排球隊(duì)、足球隊(duì)、羽毛球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同的報(bào)名種數(shù)是（）A．3B．43C．6D．244【答案】A【分析】先求每一個(gè)同學(xué)報(bào)名的方法數(shù)，再由分步計(jì)數(shù)原理求4個(gè)同學(xué)不同的報(bào)名總數(shù).【詳解】每個(gè)同學(xué)報(bào)各都有3種情況，共有4個(gè)同學(xué)，則有3×3×3×3=3種報(bào)名方法．4故選：A7．函數(shù)f(x)x2lnx的最小值為11C．12eD．12eA．B．ee【答案】C(0,)【分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，再根?jù)函數(shù)單調(diào)求得最小值．【詳解】由題得x(0,)，f'(x)2xlnxxx(2lnx1)，令2lnx10解得xe1，21則當(dāng)x(0,e2)時(shí)f(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(e12,)f(x)時(shí)，為增函數(shù)，所以xe1點(diǎn)處的2函數(shù)值為最小值，代入函數(shù)解得f(e2)1，故選C．2e1【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，確定最值點(diǎn)，最后代回原函數(shù)8．已知a為函數(shù)f（x）=x3–12x的極小值點(diǎn)，則a=求函數(shù)最值，解此類題首先確定函數(shù)的定義域，其次判斷函數(shù)求得最值．A．–4B．–2C．4D．2【答案】D【詳解】試題分析：fx3x2123x2x2，令fx0得x2或x2，易2,得fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，2,22，即a2，故fx的極小值點(diǎn)為故選D.【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)第3頁共12頁f'(x)0【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)．在可導(dǎo)函數(shù)中，函數(shù)的極值點(diǎn)是方程x0的解，但是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，需要通過這個(gè)點(diǎn)兩邊的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來判斷，在x0xx時(shí)，xxxxf'(x)0，時(shí)f'(x)0，則是極小值點(diǎn)，如果時(shí)，附近，如果x0x0000f'(x)0，xx時(shí)，f'(x)0，則是極大值點(diǎn).x0011a9．在數(shù)列中，2，且aa1a，則（）2022a，nN*n1nn1A．2B．-1C．D．12【答案】C【分析】根據(jù)給定條件推導(dǎo)出數(shù)列a的周期，再借助周期性計(jì)算得解.n1a11111aa，則n21n【詳解】解：在數(shù)列a中，N，a1，an11n1nn1ann111(11)a1aan3n，n2an于是得數(shù)列a是周期數(shù)列，周期為3，n1111，111，所以a112a2，所以a1a12a又12312aaa1，220226733331所以.a22022故選：C.10．《張邱建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布（）善織，日減功遲，初日織五尺，A．113尺B．10529尺65C．尺29D．73尺【答案】B【解析】女子每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)和末項(xiàng)以及項(xiàng)數(shù)可求公差，從而可得第11天的織布數(shù).【詳解】設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為a，由題設(shè)可知a為等差數(shù)列，nn153014，a5,a1，故公差d且29130第4頁共12頁440105，2929aa1115故29111故選：B.二、填空題11．設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的位移xm與時(shí)間ts的關(guān)系是，則質(zhì)點(diǎn)在第3s時(shí)的瞬時(shí)速度等xt4t2于___________m/s.【答案】10t【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算3時(shí)，的值即可．x【詳解】解：，xt4t2x2t4，則3時(shí)，tx|23410，t33時(shí)的瞬時(shí)速度為，10m/ss故質(zhì)點(diǎn)在第故答案為：10．n項(xiàng)和為，且1，64，則等于12．已知等比數(shù)列的前_____________.aSa1aS4n4n【答案】51【分析】由已知條件求出等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.a1，a為等比數(shù)列，且a64，【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列14nqq464，解得，所以1351，1144所以S14故答案為：51.13．從2名教師和44名學(xué)生中，選出2人參加“我愛我的祖國(guó)”主題活動(dòng)，要求入選的2人中恰有一名教師，則不同的選取方案的種數(shù)是_____________.【答案】8【分析】根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理和組合公式即可求解．【詳解】從2名教師和4名學(xué)生中，選的2人中恰有一名教師有8種選法，CC1214故答案為：8．fxx12ex，下列結(jié)論中正確的是14．已知函數(shù)_____________.①函數(shù)fx有零點(diǎn)；②函數(shù)fx有極大值，也有極小值；第5頁共12頁fx的圖象與直線1有3個(gè)交點(diǎn)④函數(shù).y【答案】①②④判斷其他項(xiàng)的正確性．f10，所以①選項(xiàng)正確，【詳解】,1,1,上fx0,fx遞增，在區(qū)x1x1ｅx，所以fx在區(qū)間4fx有極大值f1ｅ所以當(dāng)x11，10，所以②選項(xiàng)正確，當(dāng)x1時(shí)，fx有極小值f0恒成立，所以f10是fx的最小值，③因?yàn)檫x項(xiàng)錯(cuò)誤，fx畫出fx的大致圖象如下圖所示，由圖可知函數(shù)()的圖象與直線y=1有3個(gè)交點(diǎn)，fx④選項(xiàng)正確．故答案為：①②④．三、雙空題Bxx3n1,nN*，把集合AB中的元素按N*15．設(shè)集合Axxn43,n，構(gòu)成數(shù)列a，則a______________；數(shù)列a的前20項(xiàng)和2nn從小到大依次排列，S20_____________.【答案】3660【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a，由不在集合A中，1、9在集3、272合A中，也在集合B中，推得81不在數(shù)列a的前20項(xiàng)內(nèi)，則數(shù)列a的前20項(xiàng)中包nn括4n33的前18項(xiàng)和數(shù)列中的3和27，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.n1第6頁共12頁4n3【詳解】由題意，集合構(gòu)成數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，A14集合構(gòu)成數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，n13Ba1，a3，可得12又由不在集合A中，1、9在集合A中，也在集合B中，3、27因?yàn)?，解得，此時(shí)n20，4n381n21所以81不在數(shù)列a的前20項(xiàng)內(nèi)，n則數(shù)列a的前20項(xiàng)的和為[159(4183)]327n181693063030660.2故答案為：3；660.四、解答題bana16．已知數(shù)列滿足a1，，等差數(shù)列滿足，.a2ba211ba113nnn（1）求數(shù)列a，b的通項(xiàng)公式；nnab的前n項(xiàng)和.nn（2）求數(shù)列11n3n2【答案】（1）a2n1，b73n；（2）21n2nna為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的a；由ba，通項(xiàng)公式計(jì)算可得nn13【分析】（1）依題意ba，求出公差，進(jìn)而得到b；n21（2）求得ab273n，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，n1nn可得所求和．a(chǎn)naa1，2【詳解】解：（1）由，11n可得2n1；and設(shè)等差數(shù)列的公差為，nba1，由ba4，2113可得dbb3，21則b43(n1)73n；n（2）ab273n，n1nn{ab}可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為(124...2)(41...73n)n1nn第7頁共12頁12111n3n2nn(473n)21．n12221fx3x17．已知函數(shù)()x31.x23（1）求函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間；fx（2）求函數(shù)()的極值.fx,1,3,【答案】（1）增區(qū)間：81,3，減區(qū)間：.（2）極大值，極小值8.31）利用導(dǎo)數(shù)求.【分析】（得單調(diào)區(qū)間（2）結(jié)合單調(diào)區(qū)間求得fx的極值.fxx22x3x1x3，1）【詳解】（'所以fx在區(qū)間1,3遞增，在區(qū)間上,1,3,fx0,fx上'f'x0,fx遞減.所以fx增區(qū)間：1,3，減區(qū)間：.,1,3,（2）由（8f1f38.1）得fx的極大值為，極小值為3.18．已知數(shù)列滿足a1，aa3a1nNn，*1n1n的前5項(xiàng)；(1)請(qǐng)寫出數(shù)列an(2)證明數(shù)列1是等比數(shù)列；a2n的通項(xiàng)公式.(3)求數(shù)列ana1，a4，a13，a40，a【答案】(1)121；12345(2)證明見解析；3n1(3)an.2【分析】（遞推式計(jì)算可得答案；1）代入已知的a+11+列a，即可證明出數(shù)是2n2n1（2）利用數(shù)列a的遞推公式證明出為非零常數(shù)a+1n2n等比數(shù)列；a+1的首項(xiàng)和公比，求列+1的通項(xiàng)公式，即可求出a.（3）確定等比數(shù)列出數(shù)an22nn.【詳解】(1)解：因?yàn)閿?shù)列a滿足a1，a3a1，nN*1n1nn第8頁共12頁a3a131+14，所以21a3a134+113，32a3a1313+140，43a3a1340+1121，54a1，a4，a13，a40，121所以數(shù)列的前5項(xiàng)為：；a51234123，13a1+13a+33a+a+n121212(2)解：3a1，a1nnna+1n1na+na+na+n2222n1a+n是等比數(shù)列；因此，數(shù)列21是以為首項(xiàng)，以23(3)解：由于+11+，所以，數(shù)列a13a+n3為公比的等比數(shù)22221列，13331na+3，因此，a.nn12222nn.fxlnxaxaR19．已知函數(shù)(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線在x1處的切線方程；yfx(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.fx【答案】(1)2xy10(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可，（2）求出函數(shù)的的正負(fù)可求【詳解】(1)a1時(shí)，fxlnxx，導(dǎo)數(shù)，然后分a0和a0兩種情況通過判斷導(dǎo)函數(shù)定義域，對(duì)函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1xfxf11f12則1，，，故切線方程為y12x1，即2xy10.0,；(2)函數(shù)fxlnxaxaR的定義域?yàn)?xax，fx第9頁共12頁1axx①當(dāng)a0時(shí)，fx0，0,上單調(diào)遞增；則函數(shù)fxlnxaxaR在1時(shí)，fx0，0,②當(dāng)a0時(shí)，xa0,1則函數(shù)fxlnxaxaR在a上單調(diào)遞增；x,時(shí)，fx0，1a1,則函數(shù)fxlnxaxaR在上單調(diào)遞減.a綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,；0,1a；單調(diào)遞減區(qū)間為1,.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為a20．已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S，a3，再?gòu)臈l件①條件②這兩個(gè)條件ann4中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n（2）S的最小值，并求S取得最小值時(shí)n的值.nnS24；4條件①：條件②：a2a.13注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）若選①a2n11，若選②an315；（2）若選①當(dāng)n5時(shí)S有最小nnnS25，若選②當(dāng)n4或n5時(shí)S有最小值且最小值為SS30．n45值且最小值為5【分析】若選擇條件①：根據(jù)a3；S424組成方程組可解出首項(xiàng)a和，從而可d41得a與S，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出S的最小值以及取得最小值時(shí)n的值．nnna3；a2a組成方程組可解出首項(xiàng)a和，從而可得a與S，再若選擇條件②：d4131nn根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出S的最小值以及取得最小值時(shí)n的值．n【詳解】解：若選擇條件①：a34，得a3d3①；又1S244（1）設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為，由d，得n434a1d24，即2a3d121②．2聯(lián)立①②，解得a9、12，所以a92(n1)2n11．dn第10頁共12頁（2）由（1）可知：S9nn(n1)2n210nn5225，所以510525，S22n5根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)5時(shí)S有最小值且最小值為S25．nn5若選擇條件②：{a}nda33①；又a2a，得13（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得a13d4a2(a2d)即a4d0②．111聯(lián)立①②，解得12、ad3，所以a123(n1)3n15．1n12nn(n1)33n22n32722432，由于nN，所（2）由（1）可知：S2228+nn4或以當(dāng)n5時(shí)S有最小值且最小值為SS30．n4521．某公司銷售某種