高中數學合情推理

高中數學合情推理第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日2．1合情推理與演繹推理2．1.1合情推理第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日【課標要求】1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理．2．了解合情推理在數學發(fā)現中的作用．【核心掃描】1．對合情推理含義的理解．(重點)2．能利用歸納和類比進行簡單的推理．(重點)第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日自學導引1．歸納推理和類比推理

(1)歸納推理：由某類事物的

具有某些特征，推出該類事物的

都具有這些特征的推理，或者由

概括出

的推理．簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理．

(2)類比推理：由兩類對象具有某些

特征和其中一類對象的某些

．推出另一類對象也具有這些特征．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．部分對象全部對象個別事實一般結論類似已知特征第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日想一想：歸納推理和類比推理的結論一定正確嗎？ 提示歸納推理的結論超出了前提所界定的范圍，其前提和結論之間的聯系不是必然性的，而是或然性的，結論不一定正確．類比推理是從人們已經掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠．第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日2．合情推理

(1)定義 歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過

、

、

、

，再進行

、

，然后提出

的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．

(2)合情推理的過程觀察分析比較聯想歸納類比猜想第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日想一想：由合情推理得到的結論可靠嗎？

提示一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數學家歐拉推翻了．第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日名師點睛1．歸納推理

(1)歸納推理的特點 ①歸納推理是由幾個已知的特殊情況歸納出一般性的結論，該結論超越了前提所包含的范圍． ②歸納出的結論具有猜測性質，是否屬實，還需邏輯證明和實踐檢驗，即結論不一定可靠． ③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現問題和提出問題．第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日(2)歸納推理的步驟①歸納對有限資料進行觀察、分析，發(fā)現某些相同性質．一般地，如果歸納的個別情況越多越具有代表性，那么推廣的一般性命題就越可能為真．②猜想：在以上基礎上提出帶有規(guī)律性的結論．③檢驗：檢驗猜想．第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日2．類比推理

(1)類比推理的一般步驟 ①找出兩類事物之間的相似性或一致性． ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題．

(2)類比推理的特點 ①類比是從人們已經掌握了的事物的屬性，推測正在研究中的事物的屬性，以舊認識為基礎，類比出新結果．第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日②類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性．如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題越可靠．③類比的結果是猜測性的，不一定正確．但它卻具有發(fā)現的功能．第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日(3)類比推理的適用前提①運用類比推理的前提是兩類對象在某些性質上有相似性或一致性，關鍵是把這些相似性或一致性確切地表述出來，再由一類對象具有的特性去推斷另一類對象也可能具有此類特性．②運用類比推理常常先要尋找合適的類比對象．第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日題型一歸納推理的應用【例1】

觀察如圖所示的“三角數陣”1…………第1行2

2…………第2行3

4

3…………第3行4

7

7

4…………第4行51114115…………第5行

…………

第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日記第n行的第2個數為an(n≥2，n∈N*)，請仔細觀察上述“三角數陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個數依次為________、________、________、________、________、________；(2)依次寫出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關系式．第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日[思路探索](1)觀察數陣，總結規(guī)律：除首末兩數外，每行的數等于它上一行肩膀上的兩數之和，得出(1)的結果．(2)由數陣可直接寫出答案．(3)寫出a3－a2，a4－a3，a5－a4，從而歸納出(3)的結論．第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日解由數陣可看出，除首末兩數外，每行中的數都等于它上一行的肩膀上的兩數之和，且每一行的首末兩數都等于行數．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此歸納：an＋1＝an＋n.

對于數陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數的特征，又要對上、下行，左、右列間的關系進行研究，找到規(guī)律，問題即可迎刃而解．第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日題型二類比推理的應用【例2】

如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示 為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角

A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間 四面體性質的猜想．

[思路探索]

第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日

(1)類比推理的基本原則是根據當前問題的需要，選擇適當的類比對象，可以從幾何元素的數目、位置關系、度量等方面入手．由平面中的相關結論可以類比得到空間中的相關結論．(2)平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點線線面邊長面積面積體積線線角二面角三角形四面體第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日題型三平面圖形與空間圖形的類比【例3】

三角形與四面體有下列相似性質：

(1)三角形是平面內由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形．

(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形． 通過類比推理，根據三角形的性質推測空間四面體的性質填寫下表：第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日

三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對應四面體的面，即平面的線類比到空間為面．三角形的中位線對應四面體的中位面，三角形的內角對應四面體的二面角，三角形的內切圓對應四面體的內切球．第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日[規(guī)范解答]

三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊四面體的中位面的面積等于第四個面的面積的，且中位面平行于第四個面三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形內切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日【題后反思】將平面幾何中的三角形、長方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長方體、球、體積等進行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法．第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日【變式3】

類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當的是(

)． ①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．③第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日解析由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個結論均符合推理結論，故均正確．答案C第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日方法技巧數形結合思想在合情推理中的應用本節(jié)關于數形結合思想的考查主要是利用圖形歸納、類比一般規(guī)律，從而作出猜想．第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日【示例】如圖所示是樹形圖，第一層是