2023屆天津市靜海區(qū)重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知平面上四個(gè)互異的點(diǎn)、、、滿足：，則的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形2．在中，角的對(duì)邊分別是，若，則角的大小為（）A．或 B．或 C． D．3．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π4．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象()A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位5．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④6．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．7．已知，的線性回歸直線方程為，且，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為A．變量，之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系 B．可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，C． D．由表格數(shù)據(jù)可知，該回歸直線必過(guò)點(diǎn)8．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱全面積與側(cè)面積的比為（）A． B． C． D．9．已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．10．己知的周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_______．12．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則an＝_____13．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.14．若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.15．在區(qū)間上，與角終邊相同的角為_(kāi)_________．16．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）．（Ⅰ）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：（）．18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，比較和的大小．19．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，在上，且.(1)求證：平面；(2)在線段上存在一點(diǎn)，，若平面，求實(shí)數(shù)的值.20．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)度.21．已知，函數(shù)（其中），且圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并過(guò)點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由向量的加法法則和減法法則化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，再由向量的垂直和等腰三角形的三線合一性質(zhì)得解.【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)，則所以在中，垂直于的中線，所以是等腰三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

通過(guò)給定條件直接利用正弦定理分析，注意討論多解的情況.【詳解】由正弦定理可得：，，∵，∴為銳角或鈍角，∴或．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中正弦定理的應(yīng)用，難度較易.出現(xiàn)多解時(shí)常借助“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”來(lái)進(jìn)行取舍.3、B【解析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系．【詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系，而這個(gè)聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn)．4、D【解析】

由函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及正弦的倍角公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據(jù)判斷②的正誤，由求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結(jié)合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因?yàn)?，故①正確因?yàn)?，故②不正確由得所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合的圖象知，必有此時(shí)，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)首先應(yīng)把函數(shù)化成三角函數(shù)基本型.6、C【解析】

作出可行域，利用平移法即可求出．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：當(dāng)直線平移至經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的解法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

A中，根據(jù)線性回歸直線方程中回歸系數(shù)0.82＞0，判斷x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系；B中，利用回歸方程計(jì)算x＝5時(shí)的值即可預(yù)測(cè)結(jié)果；C中，計(jì)算、，代入回歸直線方程求得m的值；D中，由題意知m＝1.8時(shí)求出、，可得回歸直線方程過(guò)點(diǎn)（，）．【詳解】已知線性回歸直線方程為0.82x+1.27，0.82＞0，所以變量x，y之間呈正相關(guān)關(guān)系，A正確；計(jì)算x＝5時(shí)，0.82×5+1.27＝5.37，即預(yù)測(cè)當(dāng)x＝5時(shí)y＝5.37，B正確；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回歸直線方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C錯(cuò)誤；由題意知m＝1.8時(shí)，1.5，2.5，所以回歸直線方程過(guò)點(diǎn)（1.5，2.5），D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的概念與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】解：設(shè)圓柱底面積半徑為r，則高為2πr，全面積：側(cè)面積=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2這個(gè)圓柱全面積與側(cè)面積的比為,故選A9、A【解析】

化圓心角為弧度值，再由扇形面積公式求解即可．【詳解】扇形的半徑為，圓心角為，即，該扇形的面積為，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用．10、C【解析】

根據(jù)的周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，求得，再利用正弦定理，得到，然后代入余弦定理，化簡(jiǎn)得到求解.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，所以，又因?yàn)?，所?由余弦定理得：，，所以，所以，即，因?yàn)锳為內(nèi)角，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由題意，得到，求出，再由等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則，所以，因此.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的求和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.12、【解析】

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，由此能求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題意，,不合題意舍去；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，即，解得，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

由，可得出，再令，可計(jì)算出，然后檢驗(yàn)是否滿足在時(shí)的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又不滿足.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，一般利用來(lái)計(jì)算，但要對(duì)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、；【解析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查不等式能成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最大值還是求最小值．15、【解析】

根據(jù)與終邊相同的角可以表示為這一方法，即可得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，所以與角終邊相同的角為.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的表示方法，考查對(duì)基本概念以及基本知識(shí)的熟練程度，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是簡(jiǎn)單題．16、【解析】

由和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知求，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），，（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，利用等比數(shù)列定義求得結(jié)果（Ⅱ）利用放縮法以及等比數(shù)列求和公式證得結(jié)果【詳解】（Ⅰ），由得，兩式相減得故，又所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，因此，即.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，故又當(dāng)時(shí)，，.因此對(duì)一切成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用和的關(guān)系以及構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)考查利用放縮法證明數(shù)列不等式，解題難點(diǎn)是如何放縮，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。18、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，利用等差數(shù)列的求和公式可得；（3）分別求得和，作差比較即可得到大小關(guān)系．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，化簡(jiǎn)得①．由，得，得②．由①②解得：，，則．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)且時(shí)，，兩式作差得：有：有：有：得由上知．（3）由（1）得由，由（2）得當(dāng)時(shí)，，令．則．由，有，得，故單調(diào)遞增．又由，故，可得．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，也考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，分類(lèi)討論思想和作差比較大小的問(wèn)題，屬于中檔題．19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】

(1)分別證明與即可.(2)設(shè)平面與的交點(diǎn)為,利用線面與面面平行的判定與性質(zhì)可知只需滿足,再利用平行所得的相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.【詳解】(1)連接.因?yàn)檎襟w,故,且,又.故平面.又平面,故.同理,,,故.又,平面.故平面.(2)設(shè)平面與的交點(diǎn)為,連接.因?yàn)?平面,,故.又,故.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為6,則因?yàn)?故故,所以.又平面則只需即可.此時(shí)又因?yàn)?故四邊形為平行四邊形.故.此時(shí).故.故【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及根據(jù)線面平行求解參數(shù)的問(wèn)題,需要根據(jù)題意找到線與所證平面內(nèi)的一條直線平行,并利用平面幾何中的相似方法求解.屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）中直接由余弦定理可得，然后得到的度數(shù)；（2）由（1）知，在中，由正弦定理可直接得到的值．【詳解】解：（